Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
Chương III :
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình một ẩn
• Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái;
g(x) là vế phải.
• Điều kiện xác đònh (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế
có nghóa.
• Mỗi số x
0
thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x
0
) = g(x
0
) là mệnh đề đúng, là một nghiệm
của phương trình. Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô
nghiệm.
2. Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ)
Cho hai phương trình (PT): f
1
(x) = g
1
(x) (1) & f
2
(x) = g
2
(x) (2).
+ PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f
1

b) f(x) = g(x)
⇔
f(x) . h(x) = g(x) . h(x) , nếu h(x)
≠
0 ,
Dx
∈∀
.
4. Phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b
∈
R ; a
≠
0. x được gọi
là ẩn còn a, b là các hệ số.
+ PT ax + b = 0 với a
≠
0 có nghiệm duy nhất x = -b/a.
5. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
• Nếu a
≠
0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a.
• Nếu a = 0, b
≠
0, PT vô nghiệm.
• Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x
∈
R.
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ?

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
Bài 3.2 Giải các phương trình :
a) 2x – 1 +
111
+−=−
xx
; b)
3966
22
+−+−=−
xxx
Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m :
3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1 .
Xác đònh các giá trò của m để hai phương trình có một nghiệm chung.
ài 3.4 Giải các phương trình sau :
a)
3
42
10
3
2
32
−
=
+
−
−
xxx
; b)
)1(

−
xxx
; d)
59
7
61
5
63
3
65
1 +
+
+
=
+
+
+ xxxx
Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x :
a) m
2
(x-1) = 9x + 3m ; b)
3
2
=
−
−+
mx
mmx

c)

xax
−
=+
−
−−
; b)
ba
b
x
a
x
ba
abx
+=++
+
−
.
Bài 3.7 Tìm giá trò của tham số sao cho phương trình :
a)
)1(5
2
+=+
xmxm
vô nghiệm .
b)
525
2
−=−
xmxm
có vô số nghiệm .

2
++−=−
xxmxm
; 1b)
)25(23)1(
2
−=−−
xmxxm
2a)
2
2
1
=
−
+−
x
mmx
; 2b)
2
1
2
=
−
++
x
mmx
2 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
3a)
2

mx
; 4b)
2
1
1
=
−
+
+
+
−
x
mx
mx
x
5a)
1)1(
1
1
1
1
−+
+
=
−
+
−
xm
m
xmx

+−=+
mxmx
; 7b)
1
+
=
+
x
x
mx
x
Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
a)
1
)1(
11
1
2
2
−
+
=
+
+
−
−
x
xa
x
b

+
−
x
mx
x
x
Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :
a)
)12(3)2(
+=++−
xbxxa
; b)
2)12()1(
+=++−
xxbxa
Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :
a)
22
1
3)23(
1
2)13(
x
xm
x
mxm
−
++
=
−

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b
≠
0 ; x, y là hai ẩn số.
+ Cặp số (x
0
; y
0
) thoả mãn ax
0
+ by
0
= c thì (x
0
; y
0
) được gọi là một nghiệm của (1). + + Phương trình
bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ
là đường thẳng ax + by = c .
2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1)
a) Nếu a
≠
0 , b
≠
0, phương trình (1) có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của phương
trình là :
RyyRx
b
axc

. Còn gọi là đường thẳng ax + by = c.
b) Nếu a = 0 , b
≠
0, phương trình có dạng by = c . Công thức nghiệm tổng quát là :

Rx
b
c
x
∈






;;
. Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tạo độ






b
c
;0
.
c) Nếu a

RyRx
∈∈
;
đều là nghiệm của phương trình.
3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng :
(I) :



=+
=+
)2(
)1(
222
111
cybxa
cybxa
trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Kí hiệu :
1221
22
11
baba
ba
ba
D
−==
, gọi là đònh thức của hệ (1).
4 Nguyễn Công Mậu


D
D
y
D
D
x
y
x
==
00
;
.
b) Nếu D = 0 va ø D
x

≠
0 (hoặc D
y

≠
0) thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2).
4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Gọi d
1

⇔
d
1

≡
d
2
.
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ :
a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4
Bài 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m
2
– 1)x + (m+1)y = m
2
– m -2
Bài 3.17 Cho k là một số thực xác đònh. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
5 Nguyễn Công Mậu
O x
y
d
1
d
2
O x
y

823
135
yx
yx
; b)



=++
=+−
0345
0423
yx
yx
c)







=
+
+
−
=
+
+
−

8
12
2
15
29
1
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
e)





=+
=−−
13
32
yx
xyx
; g)



−=−+
=−−
mymx
myxm
6)4(
)2(
; trong đó m là tham số. Với giá trò
nào của m hệ (I) có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó.
Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I)



=−−
=−+
2)1(
3)2(6
ayxa
yaax
.
Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập
với tham số a.
Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)



=++
+=+
mymx
mymx





−
2
;2
k
k
là nghiệm của phương trình đó.
Bài 3.25 Giải các hệ phương trình :
a)



=+
−=−
53
432
yx
yx
; b)







=+

94
3
32
yxyx
yxyx
; d)







=
+−
−
−+
=
+−
−
−+
3
2
12
2
1
1
6
5
12

zyx
zyx
Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a)



+=++
−=−
12)62(
44
myxm
mmyx
; 1b)



−=+−
=+
2
12
myx
ymx
7 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
2a)



=+−






=−
=−
2
2
nynx
mmyx
4a)



=++−
=++−
mynmxnm
nynmxnm
)()(
)2()2(
; 4b)



=+
+=+
mnmynx
nmnymx
2




=−++
=−++++
04)2(2
02)13()1(
ymx
mymxm
; 1b)



=−−+
=−+
012
03
mmyx
mymx
2a)



−=+
+=+
122
12
mmyx
mymx
; 2b)

2
yx
myx

Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :





=−+
=−+
=−+
0
01
01
myx
myx
ymx
§3. Phương trình bậc hai một ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm
Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax
2
+ bx + c = 0 (1)
trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số.
Đặt
( )
2b'b với
=−=∆−=∆

b
xhay
a
b
x
a
b
x
''
;
'
2
;
2
2
'
121
b) Nếu
∆
= 0 (
∆
’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức :
x
1
= x
2
= -b/2a ( hay x
1
= x
2

+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1)
- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x
1
= 1 và nghiệm
x
2
= c/a .
- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = 0 thì nó có một nghiệm x
1
= -1 và nghiệm
x
2
= -c/a .
* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình :
x
2
-Sx + P = 0
* Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số
Nếu
))(()(0)(
2121
2
xxxxaxfxxxxcbxaxxf
−−=⇒=∨=⇔=++=
3.Giải và biện luận phương trình ax
2
+ bx + c = 0

acbhayacb
−=∆−=∆
(Chú ý dấu của
∆
và
∆
’như nhau)
• Biện luận theo dấu của
∆
(hoặc
∆
’) :
- Nếu
∆
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
∆
= 0 thì phương trình có nghiệm kép x
0
= -b/2a (hoặc x
0
= -b’/a)
- Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo công thức :






2
'
121
Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả. (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kòp thời gian)
4. Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0
• Nếu ac < 0
⇒
x
1
< 0 < x
2
(gt x
1
< x
2
) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu).
• Nếu ac > 0 ta tính
∆

≥
0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x
1
.x
2
> 0)
Đặt S = x
1
+ x

>
>
>∆
0
0
0
S
P
0 < x
1
< x
2
; Nếu
⇒





<
>
>∆
0
0
0
S
P
x
1
< x

+ c = 0
0 < y
1
< y
2
24,312,1
; yxyx
±=±=
y
1
< 0 < y
2
22,1
yx
±=
y
1
= 0 < y
2
x
0
= 0 và
22,1
yx
±=
0 < y
1
< y
2
ox