PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

2. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
3. ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2

− + + − =
8. *ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
10. *Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
11. Tham khảo 2007. Giải PT:
2

3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
16. Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
17. ĐH-B-2006 Giải BPT
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
18. Tham khảo 2006
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
19. *Tham khảo 2006
1 2

ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
24. Tham khảo 2006 Giải
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
25. *ĐH-B-2005 Giải hệ
x y
log ( x ) log y .
2 3
9 3
1 2 1
3 9 3

− + − =


− =

.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
29. ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

30. Tham khảo-2004 Giải BPT
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <

34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
>
−
−+
−
x
x
x
35. ***Tham khảo 2004
Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x= − +
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
36. *Tham khảo 2004 Giải BPT
3 x
log x log 3>
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT






( )
x
5
log 5 4 1 x− = −
42. ĐH-A-2002 Cho PT
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
43. Tham khảo 2002 Giải PT
2
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
44. Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )


4 3 0
log log 0
x y
x y

− + =


− =


47. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
48. Tham khảo 2002 Giải PT:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =

x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =


51. Tham khảo 2002 Giải BPT
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1.
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy


>

⇔ =


+ − =

2 2
2 2
x x
y y
= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
2.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b

ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
HD: Với điều kiện
1
2
x >
, PT tương đương:
2 1 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
x x
x x x
− +
− + + − =
2 1 1
log ( 1) 2log (2 1) 3
x x
x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x

 Với t=2 ta có:
2
2 1
log ( 1) 2 1 (2 1)
x
x x x
−
+ = ⇔ + = −
2
4 5 0x x
⇔ − =
0
5
4
x
x
=


⇔

=

Do ĐK ta chỉ nhận
5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5

x x
x x
x
x
x x
x

+
>

 
+

+
< ⇔

 ÷
+
+
 

>

+


2
2
6
2

4
x x
x
+
⇔ >
+
4 3 8x x
⇔ − < < − ∨ >
5.
ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
HD:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
2


⇔

− +
≤


2
0 1 2
4 2
0
x x
x x
x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


( )
( )
0 1 2
0 2 2 2 2
x x
x x
< < ∨ >

2
3
3
4
(4 3)
log 2
2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤

+

2
3
4
(4 3)
9
2 3
x
x

3
3
8
x
x

>


⇔


− ≤ ≤


3
3
4
x
⇔ < ≤
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
HD: Đặt
( )
2 1
x

t t
t
+ + + =
−
2
4
3
15 27 4 3
t
t t t

>

⇔


+ + = −

2
4
3
11 30 0
t
t t

>

⇔



x t⇔ = ∨ =
10.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
HD: ĐK: x>1 Đưa về
2 2
2 1
1 1 1 1
log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2
x
x x
+
− + = + +
2 2 2
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + +
2 2
log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = +
2
2 3 5 0x x⇔ − − =
5

⇔ = ∨ = −
.
Do ĐK chỉ nhận x=2
12.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
3 9
3
4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
Đưa về
3
3 3
1 4
(2 log ) 1
log 9 1 log
x
x x
− − =
−
3
3 3

2
t
− +
=
13.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
1
1log
2
1
132log
2
2
2
2
1
≥−++− xxx
HD: ĐK
1
1
2
x x< ∨ >
«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
Đưa về
( )
2
2 2

x x
− + −
⇔ ≥
− −
( 1)( 3 1)
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− − +
⇔ ≥
− −
3 1
0
2 1
x
x
− +
⇔ ≥
−
1 1
3 2
x⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1
2
1 1
3 2
x x

0 1 1x x x⇔ = ∨ = ∨ = −
15.
*ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
HD:
3 2 2 3
3.2 4.3 2 3 2 2.3 0
x x x x x x
+ − − =
Chia 2 vế của PT cho 3
3x
ta đươc:
3 2
2 2 2
3. 4 2 0
3 3 3
x x x
     
+ − − =
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt
2
3
x
t
 
=

log 2
x x
x
+ =
2 2 2
1 4 6
log 1 log 1 logx x x
⇔ + =
+ +
2 2
1 2
log 1 logx x
⇔ =
+
2 2
1 log 2logx x
⇔ + =
2
2x x
⇔ =
2x
⇔ =
17.
ĐH-B-2006 Giải BPT:
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +

4 16t
⇔ < <
2 4x
⇔ < <
18.
Tham khảo 2006:
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT
2 2 2
log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0x x x+ + − − − =
2
( 1)(3 )
log 0
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
( 1)(3 )
1
1
x x
x
+ −
⇔ =

. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1 9t t⇔ = ∨ =
2 2
0 2 0x x x x⇔ + = ∨ + − =
2 1 0 1x x x x⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ =
20.
***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất:
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a

− = + − +

− =

HD: Biến đổi
ln(1 ) ln(1 ) 0
x a x
e e x a x
y x a

+
= +∞ = −∞
, f(x) liên tục trên
( 1; )− +∞
. Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm
x
0
trên
( 1; )− +∞
 Do
( ) 0, 1f x x
′
> ∀ > −
nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm
 Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x
0
và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x
0
;y=x
0
+a)
21.
ĐH-D-2006 Giải PT:
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
HD: Đặt

2
x 0x⇔ − =
x 0 1x
⇔ = ∨ =
22.
Tham khảo 2006 Giải PT:
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+
− − =
HD: Đưa về:
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 log 3(3 1) 6− − =
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 1+log 3 1 6
 
⇔ − − =
 
( )
( )
x
3
(1 ) 6 log 3 1t t t⇔ + = = −
2

+ − + = −


− + =

HD:
 Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
( ) 1
1 1
t
f t
t t
−
′
= − =
+ +
Nếu −1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0
«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
PT thành f(x)=f(y)
 Xét x
2
−12xy+20y
2
=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0

( )
2 2
log x 1 log x 2 0+ − =
.
Đặt t=log
2
x
2
t +t 2 0− =
t=1 t= 2⇔ ∨ −
1
x=2 x=
4
⇔ ∨
25.
*ĐH-B-2005 Giải hệ:
x y
log ( x ) log y .
2 3
9 3
1 2 1
3 9 3

− + − =


− =


HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương

x y
x y

− + − =

⇔

=


1 2 1
y x
x x
=


⇔

− + − =


1 2 1
Xét
x x− + − =1 2 1
(1≤1≤2) ta có
x x x x− + − + − − =1 2 2 1 2 1
x x⇔ − − =1 2 0
x x⇔ = ∨ =1 2
Nghiệm của hệ là
1 2

12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
15 20 15 20
2 2.5
4 3 4 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Suy ra
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem

2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x⇔ ≤ ≤
28.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR:
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4
x
=1.
3
2 4 1 1 4 3 4
x x x
+ = + + ≥
3
2 4 32
x
x
⇒ + ≥
Tương tự với y,z ta có:
x y z
x y z
 
+ + + + + ≥ + +
 ÷

log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

log (y x) log y
x y
− − + =

⇔

+ =

4 4
2 2
1
25
y , y x
y



+ =

2 2
0
4
25
y , y x
x
y
x y
> >



⇔ =



+ =

2 2
0
4
3
25
y , y x
x
y

x
y
=

⇔

=

3
4
30.
Tham khảo-2004 Giải BPT:
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <
 
 
HD:
(
)
log log x x x .
2
2

2
2
2 1
x x x
x x x

+ − >

⇔


+ − >

2
2
2 0
2 2
x x x⇔ + − >
2
2 2
x x x⇔ − > −
2
2 2
x x
x x x x x x
− < − ≥
 
⇔ ∨
 
− ≥ − > − +


2
2
4 1
( ) ( )
x x⇔ < − ∨ <4 1
31.
Tham khảo-2004 Giải BPT:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
HD:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
2 2
1 3
log log
2 2
2 2

HD:
( )
1
1
x
x
x x
+
= +
( )
1
ln ln 1
x
x
x x
+
⇔ = +
( )
( 1) ln ln 1x x x x⇔ + = +
( 1) ln ln( 1) 0x x x x⇔ + − + =
Đặt
( ) ( 1)ln ln( 1)f x x x x x= + − +
1 1
( ) ln ln( 1)
1
f x x x
x x
′
= − + + +
+

⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0
)=0 và x
0
là nghiệm duy nhất.
33.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số:
ln x
y
x
 
= ∈
 
2
3
x 1;e
HD:
ln x

;
3
3
9
( )f e
e
=
GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
( )f e
e
=
34.
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
>
−
−+
−
x
x
x
HD:
1
2 2 3

x
−

+ − >

− <

suy ra 1<x<2 không thỏa BPT
 x>2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − >

− >

suy ra x>2 thỏa BPT
 Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
35.
Tham khảo 2004 Cho hàm số
2
sin
2
x
x

x x
x x
y f x e x e= = − + − + ≥ − +
«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
 Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e
→+∞
 
− + = +∞
 ÷
 
⇒
( )
lim
x
f x
→+∞
= +∞
 Và
2
lim 1
2
x


> ≠

=



>

3
2
0, 1
log
1
0
x x
t x
t
t


> ≠


⇔ =


−

>

3
x x⇔ < < ∨ >
37.
***Tham khảo 2004 Giải HPT





−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
 Thay y=x vào PT thứ hai
2 1
2 2 0
x x−
− =
2 1 1x x x
⇔ = − ⇔ = −
(y=−1)
 Thay y=1−x vào PT thứ hai
1
2 2 3 0
x

1
30 1 9 6 1
t
t t t
>

⇔

+ ≥ − +

2
1
4 0
t
t t
>

⇔

− ≤

1 4t
⇔ < ≤
 t<1 ta được
30 1 1t t
+ ≥ +
2
1
1 1
1

⇔ ≤ < − ∨

− ≤

1 1
1
1
0 28
30
t
t
t
− ≤ <

−
⇔ ≤ < − ∨

≤ ≤

1
1 0 1
30
t t
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ <
 Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có
0 4t< ≤
0 2 4 2
x
x⇔ < ≤ ⇔ ≤

 PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số
2
( ) ( 0)f t t t t= − − <
 Khảo sát hàm số cho kết quả
1
4
m ≤
«n thi ®¹i häc
PhamDung THPT Nguyen Binh Khiem
40.
ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
HD:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
2
2
4
2 3
2
x x
x x
−

5
log 5 4 1 x− = −
HD:
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −
1
5 4 5
x x−
⇔ − =
5
5
4
x
t
t
t

=

⇔

− =


2
5
4 5 0

3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
HD:
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
+ + − =
2
3
2
log 1
6 0
t x
t t

= +

⇔

+ − =


2
3

3
=−−++
mxx loglog
( )
2
3
2
log 1
1
( ) 2
2
t x
m f t t t

= +

⇔

= = + −


 PT ban đầu có nghiệm x thỏa
3
1 3x≤ ≤
khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với
1 2t≤ ≤
 Khảo sát hàm số ta được
0 2m
≤ ≤
43.

3 2log 1 logx x
=
+ +
3
1
log
2
x⇔ =
3x⇔ =
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )





≤−+
<−−−
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx

( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
HD:
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
( )
( )
( )
( )
3 3
3 3
0 1 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log 9 72 log 9 72
x x
x x
x x
x x
 
< < >
 



− ≤

1
0 1
3 6 2
9 72 3
9 3 72 0
x
x x
x x
x
x
>

< <


⇔ ∨ >
 
− ≥


− − ≤

1
0 1
3 8 3 9
6 2 3 9


− =


HD:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y

− + =


− =


4 2
1, 1
4 3
log log
x y
x y
x y
≥ ≥


⇔ = −




1 9
1 3
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 
= =
 
46.
Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
HD:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a

3
3
t≤ ≤
Biến đổi PT
2
9 6 1
( )
3 2
t t
a f t
t
− +
= =
−

2
2
9(3 4 1)
( )
(3 2)
t t
f t
t
− +
′
=
−
,
1
( ) 0 1

8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
( )
2 2 2
0, 1
log 3 log 1 log (4 )
x x
x x x
> ≠


⇔

+ + − =


2 2
0, 1
4
log 1 log
3
x x
x
x
x

x x
x x
x x
x x
< < >
 
 
⇔ ∨
 
− + = − =
 
+ +
 
2 2
0 1 1
2 3 4 2 3 4
x x
x x x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
− − + = + − =
 
2 2
0 1 1
6 3 0 2 3 0
x x
x x x x
< < >

1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

+
3 2
2 5 4
(2 2)2
2 2
x
x x
x
y y
y

= −


⇔

− + =


2
2
5 4 0
x
y
y y

=

⇔

− + =


2
1 4
x
y
y y

=
⇔

= ∨ =


( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =


3 2 3
3 2 3
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
x x y y
x x x y x
y y y x y
> ≠ > ≠


⇔ + − − =


⇔ − − − − − =


+ − + − + =

2 2
0, 1, 0, 1
( )( 1) 0
4( ) 8( ) 0
x x y y
x y x y
x y x y

> ≠ > ≠

⇔ − + + =


+ − + =

2 2
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8 16 0 8 8 13 0
x x y y x x y y
x y y x
x x x x
 
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
 

2
1
2
1
23244
−≥+
+
xx
2 1 2
2 1 2
2 3.2 0
4 4 2 3.2
x
x x
+
+

− >

⇔

+ ≤ −


4 16
x
⇔ ≥
2x
⇔ ≥
«n thi ®¹i häc