C huyên đề bồi dương giáo viên
PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐNH ̣
Phương pháp giải toán dựa trên cơ sở tính toán và biến đổi hệ số của đa thức người ta gọi là
phương pháp hệ số bất đnh. Phương pháp này được sử dụng rất tiện lợi khi giải toán về chia hết , ̣
phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức .Nhưng do trnh độ có hạn nên tôi xin trnh bày một số́ ́
hiểu biết của mnh về việc vận dụng phương pháp hệ số bất đnh để giải một số dạng toán thông ́ ̣
thường . Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này phát huy
tác dụng trong việc dạy cho học sinh và bồi dươ ng học sinh giỏi .Sau đây là một số nội dung chủ ơ
yếu
I ) KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ) Đnh lỵ́ :
a) Nếu đa thức bằng 0 với mọi giá tr của các biến th hệ số của các hạng tử đều bằng 0̣́
Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
= 0 với mọi x ∈ Q th á
i
= 0 ( i = 0;1;2;3; n)
b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá tr của các biến th hệ số củạ́
các hạng tử đồng dạng bằng nhau .
cho hai đa thức f(x) = a
n

Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) th khi phân tích đa thức f(x) thành ́
nhân tử th có chứa thừa số là x-a . Điều này có nghóa f(x) ́  ( x - a) th f(x) = (x - a ) .q(x) ́
II ) LOẠI TOÁN VỀ TÍNH TOÁN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC
Bài 1 : Không làm phép tính , ha y viết đa thức sau dưới dạng chính tắc ơ
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3
Giải : đa thức trên sau khi biến đổi là đa thức bậc 3 đối với biến x , do vậy sau khi biến đổi có
dạng
A x
3
+ Bx
2
+Cx + D . Theo bài ra ta có
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = A x
3
+ Bx
2
+Cx + D với mọi x Q
cho x = 0 th D = 3 ́
cho x = 1 th A + B + C + D = 3 ́ ⇒ A + B + C = 0
(1)
;
cho x = - 1 th -A + B - C + D = -7 ́ ⇒ -A + B - C = - 10
(2)
cho x= 2 th 8A + 4B + 2C + D = 2 ́ ⇒ 4A + 2B + C = 1
(3)
Lấy (1) + (2) ta được 2B = - 10 ⇒ B = - 5 ⇒ A + C = 5
Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; cho nên ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = 6 ⇒ A = 2 và C = 3
Vậy đa thức cần tm là 2x́
3
- 5x

cho x = -1 th -8a + 4b - 2c + 6 = -8 ́ ⇒ -8a + 4b - 2c = -14 hay -4a + 2b - c = -7
(2)
cho x = 2 th a + b + c + d = 31 ́ ⇒ a+ b + c = 25
(3)
Từ (1) và (3) ta được 2b = 18 ⇒ b = 9 ; a + c = 16
(4)
; từ (2) và (4) ta có 4a + c = 25
v vậy a = 3 ; c = 13 ́
Vậy 3x
3
+ 4x - 5 = 3(x - 1)
3
+ 9(x -1)
2
+ 13(x -1) + 6
Bài 3 : Cho đa thức x
3
+ mx + n = (x - 1)(x - 2)(x + a)
Tính a; m;n
Giải : Vế phải = x
3
+ (a - 3)x
2
+ (2 - 3a)x + 2a
Cho nên a - 3 = 0 ; 2 - 3a = m ; 2a = n ⇒ a = 3 ; n = 6 ; m = 4
Bài 4 : Tm a , b để đa thức x́
4
+ 4x
3
- 8x

3
+ (m
2
+ 2n)x
2
+ 2mnx + n
2
⇔








=⇒=
−=⇒=
−=⇒−=+
=⇒=
36
242
682
242
2
2
bbn
aamn
nnm
mm

3
+ (1 - a)x
2
+ 3x + b
- x
3
- 3x
2
+ x
(4 - a)x
2
+ 2x + b
( 4 - a)x
2
+ ( 12 - 3a)x -(4 - a)
(3a - 10)x + (b - a + 4)
Để đa thức x
4
+ 2x
3
- a x
2
+ 3x + b  (x
2
+ 3x - 1 ) ⇔ (3a - 10)x + (b - a + 4) = 0 với mọi
cho nên



=+−

- 7x + 3 x
2
- x + b
2x
4
- 2x
3
+ 2bx
2
2x
2
- 4x + a - 2b - 4
- 4x
3
+ (a - 2b)x
2
- 7x +3
- 4x
3
+ 4x
2
- 4bx
(a -2b -4)x
2
+ (4b-7)x +3
(a -2b - 4)x
2
- (a-2b-4)x + b(a-2b-4)
(a+2b-11)x +3-b(a-2b-4)
Để đa thức 2x

hay 4b
2
- 7b + 3 = 0 ⇔ (b - 1)(4b - 3) = 0 ⇒ b = 1 hoặc b = 3/4
do vậy ta có hai cặp số ( a,b) = ( 9 ; 1) ; ( 19/2 ; 3/4)
Bài 7 ) Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th ́
2
(a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x
2
+ y
2
+ t
2
Giải
Giả sử tồn tại các số a,b,c,m,n,p sao cho
x
2
+ y
2
+ t
2
= (a x + by + ct )(mx + ny + pt )
= am x
2
+ bny
2
+ cpt
2
+ (an + mb)xy + (ap +mc)xt + (bp + nc)yt
⇔ am = bn = cp = 1 (1)
và an + bm = ap + cp = bp + nc = 0 (2)

n
m
b
a
b
a
. điều này vô lí v bnh ́ ́
phương của một số là số không âm .
Vậy không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th ́
(a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x
2
+ y
2
+ t
2
Bài 8 : Xác đnh a , b để đa thức a x̣
4
+ bx
3
+ 1 chia hết cho đa thức (x - 1)
2
.
Giải : Đặt f(x) = a x
4
+ bx
3
+ 1
Theo hệ quả đnh lý Bơ Zu ta có : f(x) = a x̣
4
+ bx

- x
2
- x - 1 . Mà f(x)  (x - 1)
2
nên g(x)  (x - 1)
Vậy g(1) = a -1 -1 -1 = 0 ⇒ a = 3 và b = -4
Vậy a = 3 , b = - 4 th đa thức a x́
4
+ bx
3
+ 1 chia hết cho đa thức (x - 1)
2
Bài 9 : Xác đnh a,b,c sao cho đa thức 2x̣
4
+ a x
2
+ bx + c chia hết cho x - 2 , khi chia cho x
2
- 1 th́
dư 2x + 5 .
Giải
Đặt f(x) = 2x
4
+ a x
2
+ bx + c , v f(x) ́  (x - 2) nên f(2) = 32 + 4a + 2b +c = 0
hay 4a + 2b + c = -32
(1)
Theo bài ra f(x) chia cho (x
2

- 1
Giải
Đặt f(x) = x
1998
+ x
998
+ x
199
+ x
19
+ x + 3 và ta có x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1) là đa thức bậc hai nên phép
chia f(x) cho đa thức x
2
- 1 có dư là đa thức bậc nhất , đa thức dư có dạng mx + n
Vậy f(x) = (x
2
- 1).q(x) + mx + n
Áp dụng đnh lý Bơ Zu : f(1) = m + n = 8 ̣
(1)
; f(-1) = -m +n = 2
(2)
Cộng và trừ từng vế của (1) với (2) ta được m = 3 , n = 5
Vậy đa thức dư của x
1998
+ x
998
+ x
199

21
3
2
2
2
−−
−+++
=
+−
−++
xx
bax)ba(ax
)x)(x(
)x(b)x(a
Nên a = 1
3
2a + b = 0 ⇒ b = -2
a - 2b = 5

23
2
1
2
2
1
23
5
)x(
x
xx

3
= k(a + b) (a + c)(b + c)
Lấy a = b = c = 1 th 8k = 24 ́ ⇒ k = 3
Vậy ( a + b + c )
3
- a
3
- b
3
- c
3
= 3(a + b) (a + c)(b + c)
Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a
2
b
2
(b - a) + b
2
c
2
(c - b) - a
2
c
2
(c - a)
Giải
Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các
biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = b ; b = c ; a = c th đa thức có giá ́
tr bằng 0. ̣
Nên sau khi phân tích thành nhân tử đa thức có chứa các nhân tử b - a ; c - b , c - a

Giải
đa thức x
3
- 3x - 2 sau khi phân tích thành nhân tử se chứa ít nhất một nhân tử là đa thức bậc
nhất , nên . Mà với x = 2 th x́
3
- 3x - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 cho nên theo hệ quả đnh lý Bơ Zu sau khi ̣
phân tích x
3
- 3x - 2 thành nhân tử có chứa nhân tử (x - 2)
Vậy x
3
- 3x - 2 = (x -2 )(x
2
+mx + n )
Cho x = 1 ⇒ - (1 + m + n) = -4 hay m + n = 3
Cho x = -1 ⇒ -3(1 - m + n) = 0 hay - m + n = -1 . Từ đó m = 2 , n = 1
Vậy x
3
- 3x - 2 = (x -2 )(x
2
+2x + 1 ) = (x - 2)(x + 1)
2
Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên
M = x
2
- 5xy + y
2
+ x + 2y - 2
Giải

am
am
từ bn = -2 ⇒ b = -1 và n = 2 hoặc b = 2 và n = -1
Nếu b = -1 , n = 2 ⇒ a = -1 , m = -4
Nếu b = 2 , n = -1 ⇒ a = -4 , m = -1
V 2 bộ số trên chỉ cho ta một kết quả nên M = (x - y - 1)(x - 4y + 2)́
Vậy : x
2
- 5xy + y
2
+ x + 2y - 2 = (x - y - 1)(x - 4y + 2)
Bài 5 ) Phân tích thành nhân tử ( x + y)
5
- x
5
- y
5
4
Giải
Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các
biến , các biến x ,y, có vai trò như nhau trong đa thức . Đặt P = ( x + y)
5
- x
5
- y
5

Khi cho x = y = 0 hoặc x = -y th đa thức có giá tr bằng 0 . V vậy khi phân tích P thành nhân tử th ́ ́ ̣́
P có chứa các nhân tử là x , y , x + y , mà tích xy(x + y) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến
x,y cho nên P có dạng là kxy(x + y)(x

3
- x + a = (x + m)(x
2
+ bx + c ) ( m , b , c ∈ Z )
= x
3
+ ( b + m)x
2
+ (c + mb)x + mc
⇔





=
−=+
=+
amc
mbc
mb
1
0
từ b + m = 0 ⇒ m = -b và c +mb = -1 nên c = -mb-1 = b
2
–1
thay vào mc = a ta được b(b
2
- 1) = -a , mà b(b
2

hoặc m -a = -1 và m - 1999 = 3 ⇒ a = 2003 , cho nên (x - 2003)(x - 1999 ) + 3 = (x - 2000)(x -
2002)
Vậy a = 1995 ; 2003
Bài 8 ) Phân tích ( x + y + z )
5
- x
5
- y
5
- z
5
thành nhân tử
Giải
Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các
biến , các biến x , y , z có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu x = - y ; x = - z ; y = - z th đa thức ́
trên có bía tr bằng 0 do vậy đa thức chia hết cho tích (x + y)(x + z)(y + z) và thương của phép chiạ
là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến . V vậy đa thức trên khi phân tích thành nhân tử có ́
dạng là
( x + y + z )
5
- x
5
- y
5
- z
5
= (x + y)(x + z)(y + z)[ M(x
2
+ y
2

Trnh bày tương tự như trên ta có ́
(b - c)(b + c)
4
+ (c - a)(c + a)
4
+ (a - b)(a + b)
4
= (b - c)(a - b)(c - a)[M(a
2
+ b
2
+ c
2
) + N(ab + bc +
ca)]
cho a = 0 , b = 2 , c = 1 ⇒ 5M + 2N = -25
a = -1 , b = 2 , c = 1 ⇒ 6M - N = -13
⇒ M = -3 , N = - 5
Vậy (b - c)(b + c)
4
+ (c - a)(c + a)
4
+ (a - b)(a + b)
4
= - (b - c)(a - b)(c - a)[3 (a
2
+ b
2
+ c
2

2
- nb + p = 1
(2)
x = -c ta được mc
2
- nc + p = 1
(3)
Lấy (1) - (2) ⇒ m(a + b) - n = 0
(4)
va a ≠ b
(1) -(3) ⇒ m(a + c) - n = 0
(5)
va a ≠ c

(4) - (5)⇒ m( b - c) = 0 ⇒ m = 0 va b ≠ c
Từ đó n = 0 , p = 1
Vậy
(x + b)(x + c)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )a b a c
x c x a
b c b a
x a x b
c a c b− −
+
+ +
− −

( )( )
− −
− −
+
− −
− −
+
− −
− −






Biểu thức trong ngoặc sau khi biến đổi có dạng mx
2
+ nx + p
cho x = a ⇒ ma
2
+ na + p = a
(1)
x = b ⇒ mb
2
+ nb + p = b
(2)

x = c ⇒ mc
2
+ nc + p = c

6

3 3 3
a b c
b c c a a b
a b c a b c
( ) ( ) ( )
( )( )( )
− + − + −
− − −

Đặt P = a
3
(b - c) + b
3
(c - a) + c
3
(a - b)
Đa thức P trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 4 đối với tập hợp các
biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Với c = b ; a = c ; a= b th P = 0 , V vậy ́ ́
khi phân tích P thành nhân tử th đa thứ P chứa các nhân tử a - b , c - a , b - c , ́
mà tích (a - b)(c - a)(b - c) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến a,b,c , nên nhân tử còn lại là
đa thức bậc nhất đối với các biến . V vậy ́
đa thức P = k(a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c )
Cho a = 0 , b = 1 , c = 2  k = 1 ; nên P = (a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c )
Vậy
3 3 3
a b c
a b a c b a b c c b c a( )( ) ( )( ) ( )( )− −
+

) - y.P
n
= z
2
.P
n
2
với mọi P
n
mà 10
n
= 9P
n
+ 1
⇒ x[ P
n
.(9P
n
+ 1) + P
n
] - y.P
n
= z
2
. P
2
n

x.9P
2

do vậy suy ra x = 1 ; 4
Nếu x = 1 thi y = 2 và z = 3
Nếu x = 4 thi y = 8 và x = 6
Bài 6) Cho đa thức f(x) = x
2
+a x + b thỏa man

f(x)


≤
1/2 với mọi

x


≤
1
Chứng minh : f(x) = x
2
- 1/2
Giải
Cho x = 0 ; 1 ; -1 , ta có b 
≤
1/2 (1)


1 + a + b




⇒ a
≤
0 do đó a = 0
Thay a = 0 vào (2)

1 + b


≤
1/2 ⇒ 1 + b
≤
1/2 (5) vi 1 + b > 0
từ (4) và (5) ta có 1 + b = ½ ⇒ b = -1/2
Vậy f(x) = x
2
- 1/2
Bài 7 ) Xác đnh đa thức bậc 3 f(x) = a x̣
3
+ bx
2
+ cx + d thỏa man f(x) - f(x - 1) = x
2
Áp dụng : Tính 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + 1998

2
= f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + + f(1998) - f(1997)
= f(1998) - f(0) = 1/3 .1998
3
+ 1/2 .1998
2
+ 1/6 .1998
= ( 1998 . 1999 . 3997)/6
7
IV ) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 ) Xác đnh f(x) biết f(x - 1) = x̣
3
- 5x
2
+ 7x + 2
Bài 2 ) a - Tm đa thức bậc 2 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x́
b - Tm đa thức bậc 3 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x(x + 1)́
Áp dụng tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1998 . 1999
Bài 3 ) Tm các số thực m , n , p , q sao cho ́
x
4
+ 1 = (x
2
+ px + q)(x
2
+ mx + n )
Bài 4) Xác đnh a và b sao cho ̣
a) 6x
4
- 7x

- 19x - 30
c) 2x
2
- 21xy - 11y
2
- x + 34y - 3
Bài 8) Không làm tính nhân hay viết đa thức sau dưới dạng chính tắc
(x - 1)(x - 2)(x + 3) + 5x + 4
Bài 9) Xác đnh a , b sao cho x̣
3
+ a x
2
- 3x + b chia cho x - 2 dư 5 , chia cho x + 1 dư -4
Bài 10) Biết f(x) = 3x
3
+ 7x
2
- 15x + 3 chia cho x - 1 dư 4 , chia cho x + 2 dư 5 . Không làm tính
chia hay xác đnh số dư trong phép chia của f(x) cho tích (x - 1)(x + 2)̣
Bài 11) Phân tích thành nhân tử
a) a(b
2
- c
2
) + b(c
2
- a
2
) + c(a
2

3
(z - y
2
) + y
3
( x - z
2
) + z
3
(y - x
2
) + xyz(xyz - 1)
e) (x + y)
7
- x
7
- y
7
Bài 12)
a) Tim số nguyên a để có (x - a)(x - 1992 ) + 1 = (x + b)(x + c) với mọi x và b ,c ́ ∈ Z
b) Tim k ́ ∈ Z sao cho ( x - k)(x - 10) + 5 có thể phân tích thành tích hai đa thức bậc nhất
với hệ số nguyên
Bài 13) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) với hệ số nguyên có thể có đồng thời các giá tṛ
f(7) = 5 và f(15) = 9
Bài 14) Cho đa thức f(x) = x
3
+ a x
2
+ bx + c thỏa man


x a x b
c a c b
x a a b a c x b b a b c x c c a c b
b c x b x c
a b c
a b c
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )(
+ +
− −
+
+ +
− −
+
+ +
− −
− −
− −

Bài 17) Xác đnh a , b để ̣
8
2
3 2
2
3 2 2
5
3 2
2
7 7
8 4
1
1
2
5 1
x
x x
x
x x x
x
a
x
b
x
x
a
x
b
+
− −