Dạy phơng pháp hệ số
bất định cho học sinh lớp 8 nh thế nào?
Đặt vấn đề. Trong đại số sơ cấp thì phơng pháp hệ số bất định là một
trong những phơng pháp hiệu nghiệm để xác định một đa thức khi biết một số điều
kiện nào đó. Phơng pháp này đợc sử dụng dựa trên tính hằng đẳng của các đa thức.
Đã có nhiều tác giả, nhiều tài liệu nói về phơng pháp này, tuy nhiên chủ yếu
chỉ dừng lại ở dạng bài tập xác định một đa thức. Ngoài dạng bài tập đó, phơng
pháp này còn đợc sử dụng ở những dạng bài tập nào khác? Với kiến thức đại số lớp
8, tôi đã dạy cho học sinh phơng pháp này nh thế nào?
Đó là nội dung tôi muốn trình bày qua chuyên đề này.
Nội dung.
A. Kiến thức cơ sở:
* Qui ớc: Khi nói đến một đa thức nào đó, ta hiểu rằng đa thức đợc viết ở dạng
chính tắc (dạng tiêu chuẩn)
1) Đa thức hằng đẳng:
* Định nghĩa: Hai đa thức f(x) và g(x) đợc gọi là hằng đẳng nếu f(x) = g(x), x.
Từ nay khi nói hai đa thức bằng nhau, ta hiểu rằng chúng bằng nhau theo nghĩa
hằng đẳng.
2) Các định lí:
* Định lí 1: Đa thức f(x) hằng đẳng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0.
Nghĩa là nếu: f(x) = a
n
x
n
+ a
n 1
x
n 1
+ + a
1
x + a


g(x)
với f(x) = x
4
- 3x
3
+ bx
2
+ ax + b, g(x) = x
2
- 1.
* Giải:
* Cách 1. Vì f(x)

(x
2
- 1) f(x) = (x
2
- 1).Q(x)
- Cho x = 1: f(1) = 1 - 3 + b + a + b = 0
a + 2b - 2 = 0 (1)
- Cho x = -1: f(-1) = 1 + 3 + b - a + b = 0
- a + 2b + 4 = 0 (2)
Giải hệ (1) và (2) ta đợc a = 3, b = -
2
1

Vậy f(x) = x
4
- 3x

3
+ (p - m)x
2
- nx - p
Từ định lí 2 suy ra: m = 1, n = - 3, p - m = b, n = - a, p = -b
a = 3, b = -
2
1
* Cách 3. Đem chia trực tiếp f(x) cho g(x) ta đợc d là
(a - 3)x + 2b + 1
Để có phép chia hết thì d phải bằng 0, hay (a - 3)x + 2b + 1 = 0
a - 3 = 0 và 2b + 1 = 0 (theo định lí 1)
a = 3, b = -
2
1
* Chú ý: - Mặc dù ở đầu bài không nói đến, nhng ta phải hiểu rằng đó là phép
chia hết với mọi x
- Ba cách giải trên đây cho ta thấy phơng pháp này có thể sử dụng dới
những hình thức khác nhau, nhng đều phải sử dụng định nghĩa hoặc định lí. ở
cách 3 việc vận dụng đợc sử dụng gián tiếp thông qua phép chia đa thức. Cách 1
chỉ sử dụng đợc khi biết các nghiệm của đa thức chia.
Bài toán 2. Tìm đa thức bậc 3 f(x) sao cho:
f(x) - f(x - 1) = x
2
* Giải: Giả sử f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx +d. Khi đó:
f(x) - f(x - 1) = ax

x
2
+
6
1
x + d, với d là số tuỳ ý.
Bài toán 3. Cho biết đa thức x
4
+ 2x
3
+ ax
2
+ 2x + b là bình phơng của một đa thức
khác. Hãy tìm đa thức đó và các số a, b?
* Giải. Giả sử x
4
+ 2x
3
+ ax
2
+ 2x + b = (mx
2
+ px + q)
2
m = 1
- Với m = 1. Khi đó Giả sử x
4
+ 2x
3
+ ax

+ ax
2
+ bx + c phân tích đợc thành tích
(x + a)(x + b)(x + c)
* Giải. Do x
3
+ ax
2
+ bx + c = (x + a)(x + b)(x + c)
x
3
+ ax
2
+ bx + c = x
3
+ (a + b + c)x
2
+ (ab + bc + ca)x + abc
b + c = 0 (1), ab + bc + ca = b (2), abc = c (3)
Từ (1) có c = - b. Thay vào (2) đợc ab - b
2
- ab = b b
2
+ b = 0
b(b + 1) = 0 b = 0, b = - 1.
+ Nếu b = 0, từ (1) có c = 0 a tuỳ ý.
+ Nếu b = - 1, từ (1) có c = 1, từ (3) có a = - 1
Vậy ta có: x
3
+ ax

+ 9x - 6 không thể
phân tích đợc thành tích của 2 đa thức với hệ số nguyên có bậc nhỏ hơn
* Giải: - Giả sử phân tích đợc, bài toán xảy ra 2 trờng hợp:
P(x) = (x + a).Q(x), với a nguyên còn Q(x) là đa thức bậc 4
Cho x = - a đợc - a
5
- 3a
4
- 6a
3
- 3a
2
- 9a - 6 = 0 (1)
a
5


3 a

3, khi đó vế trái của (1), trừ số hạng - 6 các số hạng còn lại
đều chia hết cho 9. Nh vậy vế trái của (1) không chia hết cho 9 - Vô lí ! ( vì 0

9)
P(x) = (x
2
+ a
1
x + a
2
)(x

1
b
2
+ a
2
b
1
+ b
3
= - 3 (3)
a
1
b
3
+ a
2
+ b
2
= 6 (4)
a
1
+ b
1
= - 3 (5)
Từ (1) chỉ có một trong 2 số a
2
hoặc b
3
chia hết cho 3
- Nếu a


3, do đó từ (4) a
2



3 (vô lí !)
Vậy bài toán đợc chứng minh xong
III. Dùng để rút gọn phân thức
Bài toán 7. Đơn giản biểu thức sau:
M =
))((
))((
))((
))((
))((
))((
bcac
bxax
abcb
axcx
caba
cxbx

++
+

++
+