sở giáo dục & đào tạo
vĩnh phúc
_____________
đề chính thức
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh
năm học 2006-2007
______________________________
môn thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu1: 1) Cho hệ phơng trình:



+=+
=
1ayx2
ay2xa
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn x - y = 1
2) Chứng minh rằng phơng trình (x
2
+ ax + b -1)(x
2
+ bx + a -1) = 0
luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b
Câu 2: 1) Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn hệ bất phơng trình:





<+

7
9xyz
7
2
zxyzxy +++

Hết
Chú ý : Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh : Số báo danh:
sở giáo dục - đào tạo
vĩnh phúc
_____________
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9vòng tỉnh
năm học 2006-2007
______________________________
hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán
I/ Hớng dẫn chung :
- Hớng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lợc một cách giải . Nếu học sinh có cách giải đúng, khác
đáp án thì các giám khảo thống nhất và vận dụng thang điểm để chấm.
- Khi chấm , các ý cho từ 0,5 đ trở lên có thể chia nhỏ tới 0,25 đ. Điểm của toàn bài là tổng
điểm của tất cả các câu, làm tròn đến 0,25đ.
II/ Đáp án và biểu điểm:
Câu1(2,0đ):
1)(1,0đ): Xét hệ phơng trình



+=+
=
(2) 1ayx2

=





=+
=

+


+
2
3
4
06
1
4
3
4
23
2
2
a
a
a
aa
a
aa

2

phải ít nhất có một số không âm, do đó trong hai
phơng trình (1) và (2) phải có ít nhất một phơng trình có nghiệm (đpcm) 0,5đ
Câu2(3,0đ)
1)(1,5đ): Xét hệ





<+
>+
(2)021xy
(1) 0
2
1
x2xy
2
Từ (2)

y< 2 và từ (1)


2
5
x2x
2
5
2

y
x
thoả mãn 0,25đ
-Với x= 1 thay vào hệ (1), (2) ta đợc
2
2
1
<< y
, do y nguyên suy ra y = 1
2
Ta đợc nghiệm nguyên



=
=
1
1
y
x
thoả mãn 0,25đ
-Với x= 2 thay vào hệ (1), (2) ta đợc
1
2
1
<< y
, do y nguyên suy ra y = 0
Ta đợc nghiệm nguyên





=
=
0
2
y
x
0,25đ
2)(1,5đ):
Đặt a =
3 333 ++++
( gồm 2007 dấu căn),
b =
3 333 ++++
( gồm 2006 dấu căn), dễ thấy b > 1.
Ta có
333
22
=+=+= abbaba
và a > 2 ( do b > 1) 0,75đ
Khi đó P =
5
1
3
1
9
3
)3(6
3

đồng dạng
NCO
(g,g) 0,5đ

CNBMCOBO
CO
CN
BM
BO
==

CNBMBC 4
2
=
0,5đ

2)(0,5đ):
Theo phần 1) ta có
OBM
đồng dạng
NCO
==
ON
OM
BO
BM
NO
OM
CO
BM

9
11
9
7 xyz
yz
x
x
(1) 0,5đ
3
y
N
M
B
A
C
x
O
MÆt kh¸c
7
2
9
2
)(
9
2
1
9
7
<≤+⇒≤+⇒≤≤ zyxzyx
(2) 0,5®

≤
(4) 0,5®
Tõ (3)&(4)
⇒

)1()
7
9
1(
4
2
)1(
)()
7
9
1(
7
9xyz
zxyzxy xxx
x
zyxxyz −+−
−
≤++−=−++
=
−=
++−−
28
7539
23
xxx