Chuyên đề
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Tích có hướng của hai vectơ và áp dụng
A. Kiến thức cơ bản
Cho , A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
)
• cùng phương .
•
• Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ và thì
Với ,
• Ba vectơ đồng phẳng .
• Diện tích tam giác ABC là: , ϕ là góc giữa hai vectơ
.
• Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là :
1
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;a x y z b x y z
= =
r r

r r
, 0a b
 
⇔ =
 
r r r
, , ,a b a a b b
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
a
r
b
r
, . .sina b a b
ϕ
 
=
 
r r r r
0, 0a b
≠ ≠
r r r r
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
.

. ' ' ' '
V , . '
ABCD A B C D
AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
1
• Thể tích tứ diện ABCD là: .
B. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho
A. 1. B. 2. C. – 5. D. – 2.
PA: C.
Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho . Hãy chọn kết
luận đúng trong các kết luận sau:
A. . B. . C. . D. .
PA: D.
Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC: A(1; 1; 1), B(4; 1; 0), C(2; 1; 4). Kết luận
nào sau đây là sai?
A. B. AB = AC. C. . D. .
PA: D.
Câu 4: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2; 1; 0), B(-3; 0; 4), C(0; 7; 3). Khi đó,
A. . B. . C. . D. .
PA: A.
Câu 5: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: .
Kết luận sai là:
2
1
V , .

=
uuur uuur
1
cos
2
B
=
3
cos
2
C
=
( )
cos ,AB BC =
uuur uuur
14
3 2. 59
−
14
18. 59
14
14. 57
−
14
14. 57
( ) ( )
3 1
1; 1;1 , 3;2; 1 , ; 1;
2 2
a b c

. 0b c a =
r r r r
, . 0b c a
 
=
 
r r r
, . 0a b c
 
=
 
r r r
, , ,a b c d
r r r ur
0a
≠
r r
;a b⊥
r r
, ,c a b
 
=
 
r r r
2 3 .d a b
= +
ur r r
. 0a c
=
r r

( )
. 0SA SB SC
=
uur uur uuur
, . 0.SA SB SC
 
=
 
uur uur uuur
, . 0.GA GB GC
 
=
 
uuur uuur uuur
, . 0.GA GB GS
 
=
 
uuur uuur uuur
( )
·
,BA AC
ϕ
=
.
cos
.
BA AC
BA AC
ϕ

,
sin
.
AB AC
AB AC
ϕ
 
 
=
uuur uuur
,
sin
.
BA AC
BA AC
ϕ
 
 
=
uuur uuur
( ) ( )
1;2; 3 , 2;0;5 .a b
= − =
r r
11
5; ; 2
2
 
− −
 ÷

= ⇒ = + + − =
   
r r r r r
4
a) Ta có hay tam giác ABC vuông tại A
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm I của BC. Toạ độ I là:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BI = .
b)
. Từ đó tính ra góc C.
Bài 3. Cho ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 0; 1), C(1; 1; 2). Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra
độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác.
Giải:
⇒
Mặt khác, ⇒ Độ dài đường cao kẻ từ A của tam
giác là .
Bài 4. Cho tam giác ABC với A= (1; 1; 0), B = (3; -1; 1), C = (5; 1; 3). Tính độ dài đường phân
giác trong của góc A.
5
( ) ( )
1;2;1 , 1;3; 5 . 0AB AC AB AC AB AC
= = − − ⇒ = ⇒ ⊥
uuur uuur uuur uuur
5
1; ;1
2
I
 
=
 ÷
 

1 14
,
2 2
ABC
S AB AC
∆
 
= =
 
uuur uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
C B C B C B
BC x x y y z z
= − + − + − =
2. 14 14
3
3
ABC
S
AH
BC
∆
= = =
5
Giải: Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A ⇒ D là điểm chia đoạn BC theo tỉ số
.
Từ giả thiết suy ra
.

1 1 1
5 5 5
x y z
− − − −
= = = = = = −
− − −
( )
0;4; 2D
⇒ = −
14AD
=
( ) ( ) ( )
0;1;2 , 1;1;0 , 1;2; 2AB AC AD
= = = − −
uuur uuur uuur
( )
1 2 2 0 0 1
, ; ; 1;2; 1
1 0 0 1 1 1
AB AC
 
 
= = −
 ÷
 
 
uuur uuur
( ) ( ) ( )
, . 1. 1 2.2 2 . 1 5 0AB AC AD
 

AB CD AB CD
AB CD
= = − − ⇒ = −
= = =
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
.
3
1
cos
3 5 5
AB CD
AB CD
α
−
= = =
uuur uuur
uuur uuur
1 5
, .
6 6
V AB AC AD
 
= =
 
uuur uuur uuur
( ) ( ) ( )
1;0; 2 , 1;1;4 , 2; 2;1BC BD BC BD
 
= − = − ⇒ = −

A. . B. .
C. . D. .
Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho tứ diện ABCD, biết ,
. Nếu G là trọng tâm của tứ diện thì độ dài của AG là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho tứ diện ABCD, biết:
và điểm , Mệnh đề sai là:
A. Điểm M thuộc mặt phẳng (BCD).
B. Với mọi điểm I ta đều có: .
C. .
D.
Câu 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho 3 điểm ,
. Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
Phương án đúng: 1D, 2C, 3B, 4D, 5D, 6A, 7A
II. Bài tập tự luận
Bài 1. Chứng minh rằng:
8
, 2 ,AB AC MA MB
   
=
   
uuur uuur uuur uuur
, ,MA MC MB MA

4
uuur uur uuur uur uur
MB.DC + BC.DM + CM.DB = 0
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
MA + MB + MB + MD = 0
uuuur uuur uuuur uuuur r
A(4; 2; -1), B(3; 0; 2)
C(18; -2; 1)
21 3
; 1;
2 2
 
−
 ÷
 
( )
11; 0; 0
( )
1; 2; 1
−
7 3
; 1;
2 2
 
−
 ÷
 
8
Bài 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A = (1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5;
2; - 6). Tính độ dài đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

, ; ; ' ' ; ' ' ; ' '
' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
' '; ' ' ; ' ' ; ; ,
y z z x x y
a b yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
y z z x x y
y z yz z x x z x y xy b a
y z z x x y
 
 
= = − − −
 ÷
 
 
 
 
= − − − − = = −
 ÷
 
 
r r
r r
' 1
' 3
D B AB
k
D C AC
= = =

uuur uuur
( ) ( ) ( ) ( )
2;2;0 , 2;0;2 , 4;4;4 . ; ;AB AC AB AC OD a a a
 
= − = − ⇒ = =
 
uuur uuur uuur uuur uuur
OD
uuur
,AB AC
 
 
uuur uuur
1 1 1 3
;0;3 , ;1;0 , ;2;0 , 1;2;
2 2 2 2
M N P Q
       
= = = − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( ) ( )
3 3
0;1; 3 , 1;2; 3 , ;2;
2 2
MN MP MQ
 
= − = − − = − −
 ÷
 

∆
 
= =
 
uuuur uuur
'
3
2 19
C MNP
MNP
V
AH
S
∆
= =
10
Bài 5. Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox là tia AB, tia Oy là tia AD và tia Oz là tia
AA’. Khi đó, A = (0; 0; 0), B = (a; 0; 0), C = (a; a; 0), D = (0; a; 0), A’ = (0; 0; a), B’ = (a; 0; a),
C’ = (a; a; a), D’ = (0; a; a). Do đó, ,
a) ⇔ MN ⊥ AC’
b)
⇒ AC’ ⊥ A’B, AC’ ⊥ A’D ⇒ AC’ ⊥ (A’BD)
c) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng MN và CC’. Khi đó, ta có:
⇒ α = 45
0
.
11
;0; , ;0;
2 2
a a

2
. '
.
2
a
MN CC
MN CC
a
a
α
−
⇒ = = =
uuuur uuuur
uuuur uuuur
11