MỞ ĐẦU
1. Cơ học là khoa học nghiên cứu dạng chuyển động đơn giản nhất của vật chất.
Dạng chuyển động này là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong
không gian, theo thời gian và được gọi là chuyển động cơ học.
2. Cơ học lý thuyết là một phần Cơ học nghiên cứu các quy luật chung nhất về
chuyển động cơ học. Để xây dựng được các quy luật chung này, ta phải trừu tượng hoá
các thể vật chất đa dạng của thực tế thành các mô hình nghiên cứu bằng cách giữ lại
các yếu tố cơ bản nhất, bỏ qua các yếu tố không đáng kể. Theo cách đó, vật chất
chuyển động trong cơ học nói chung được gọi là các vật thể và được khảo sát trên hai
mô hình cơ bản là chất điểm và hệ chất điểm, hay hệ cơ học.
Chất điểm là một điểm hình học mang vật chất. Như thế, trong tính toán chất
điểm được hiểu là không có kích thước, dùng để biểu diễn các vật thể có kích thước
không đáng kể so với các kích thước khác của bài toán.
Cơ hệ, hay hệ chất điểm là tập hợp các chất điểm mà chuyển động của chúng có
liên hệ mật thiết với nhau.
Trường hợp phổ biến khi nghiên cứu các hệ cơ học là khi khoảng cách giữa các
chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động. Các cơ hệ như thế được gọi là
các vật rắn tuyệt đối. Trong thực tế, bất kỳ vật rắn nào khi chịu các tác dụng cơ học
cũng đều có biến dạng. Tuy nhiên có rất nhiều trường hợp các biến dạng này rất bé, có
thể bỏ qua nên mô hình vật rắn tuyệt đối phù hợp với thực tế và do đó có thể dùng để
nghiên cứu.
3. Các định luật chung của Cơ học có vai trò quan trọng để nghiên cứu trong nhiều
lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Đó là những ứng dụng để giải quyết các bài
toán phát sinh trong hầu hết các ngành công nghiệp hiện đại như chế tạo máy, xây
dựng công trình, điều khiển tự động, công nghiệp vũ trụ, khí tượng, môi trường v.v…
Ngày nay, trong điều kiện phát triển cao của khoa học và công nghệ, các định luật Cơ
học càng có ý nghĩa to lớn trong việc tính toán, giải quyết các bài toán mới phức tạp
hơn và khó khăn hơn nhiều.
4. Có thể coi Cơ học lý thuyết lập nên từ hai phần: Động học và Động lực học.
Phần Động học nghiên cứu các đặc trưng chuyển động của các chất điểm và của
các vật rắn, còn Động lực học dựa trên các đặc trưng này thiết lập các quy luật chung

r

sẽ thay đổi theo thời gian, do đó là hàm của thời gian, ký hiệu là t. Như thế
nếu biết quy luật thay đổi của vectơ
r

theo
t

)(trr

=
(1)
ta sẽ biết quy luật chuyển động của M, nên
phương trình (1) gọi là phương trình chuyển động của
điểm dưới dạng vectơ.
Đường cong do điểm vạch ra trong không gian
khi chuyển động được gọi là quỹ đạo chuyển động
của điểm.
3. Ta gắn vào hệ quy chiếu hệ toạ độ đề các Oxyz có gốc tại O. Khi đó điểm M sẽ xác
định bằng các toạ độ x,y,z, còn vectơ
r

có thể viết dưới dạng
zyx
ezeyexr

++=
, (2)
ở đây các thành phần x, y, z là các hàm của thời gian t

tzz
tyy
txx
(3)
Hệ phương trình (3) được gọi là phương trình chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ
Đề các.
Khử t từ các phương trình (3) ta thu được dạng hiện của phương trình quỹ đạo
của điểm.
4. Trong nhiều trường hợp, ta biết trước quỹ đạo chuyển động của điểm, do đó ta có
thể sử dụng ngay quỹ đạo chuyển động để xác định vị trí của điểm.
Trên quỹ đạo, ta lấy điểm
1
O
làm
gốc và định ra hướng dương, còn phía
ngược lại là hướng âm. Như vậy, tại mỗi
điểm của đường cong ta đã gán cho một
số đại số có trị số bằng độ dài cung từ gốc
đến điểm đó và với dấu tương ứng với
phía của đường cong mà điểm đang ở đó.
Ta ký hiệu số này là
s
và gọi là toạ độ
cong của điểm. Khi điểm chuyển động, toạ độ cong
s
sẽ biến đổi theo t, và do đó là
hàm của t
)(tss =
(4)
Phương trình (4) xác định vị trí của điểm nên là phương trình chuyển động của nó. (4)



++==
(6)
và do đó có thể biểu diễn vận tốc của điểm bằng trị số v và các côsin chỉ phương sau
đây
222
zyxv


++=
, (7a)
3
s
O1
M
H1.3
Quỹ đạo
( )
( )
( )


















(7b)
3. Bây giờ ta tìm biểu thức vận tốc khi biết phương trình chuyển động của điểm dưới
dạng tự nhiên
)(tss =
. Rõ ràng, vectơ định vị
r

có thể được coi là hàm của thời gian
thông qua biến trung gian
s
, t.l.
[ ]
)(tsrr

=
Do đó, theo định nghĩa
dt
sd
sd
rd
dt
rd

tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, luôn
luôn hướng về phía dương của quỹ đạo và
có mô đun bằng đơn vị. Ta ký hiệu vectơ này là
τ

và gọi là vectơ tiếp tuyến đơn vị.
Như thế,
ττ



s
dt
sd
v ==
. (8)
Do quỹ đạo biết trước, vận tốc của điểm được xác định hoàn toàn bởi
s

, nên đôi khi
để đơn giản ta có thể coi định nghĩa vận tốc của điểm là đại lượng
sv

=
τ
(8’)
còn trị số của nó là
sv

=








++==
(10)
4
r(s)
s
r(s+ )
s
M
1
M
s
O
O
1
H1.4
τ

Do đó ta suy ra
222
zyxw


++=

zyx
y
ew
zyx
x
ew
z
y
x












, (11b)
3. Ta thiết lập công thức tính gia tốc khi cho chuyển động của điểm theo toạ độ cong
của nó. Trước hết ta đưa vào một số đặc trưng hình học của đường cong.
3.1. Một số đặc trưng hình học của đường cong.
- Mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại mỗi điểm. Như đã nói ở trên, tại mỗi điểm
của đường cong có một tiếp tuyến đơn vị
)(s
τ


Mặt phẳng giới hạn của mặt phẳng
∏
khi
0→∆s
(
MM →
1
) gọi là mặt phẳng
mật tiếp của đường cong tại M.
Dễ thấy rằng đối với đường cong
phẳng, mặt phẳng mật tiếp của đường
cong tại mỗi điểm chính là mặt phẳng
chứa đường cong đó. Trong trường
hợp tổng quát, mặt phẳng mật tiếp là
mặt phẳng tiếp xúc với đường cong tại
nhiều điểm nhất so với các mặt phẳng
tiếp xúc khác.
- Độ cong của đường cong. Do
τ

là hàm của toạ độ cong
s
, nên ta tính đạo hàm
của nó theo
s
:
=
∆
−∆+
=

KP
hướng vào phía lõm của quỹ đạo và tạo với
)(s
τ

góc
22
ϕπ
α
∆
−=
, trong đó
ϕ
∆
là góc lập bởi hai vectơ tiếp tuyến đơn vị
)(s
τ

và
)( ss ∆+
τ

. Khi
MM →
1
,
)( ss ∆+
τ

)(s


cộng tuyến với
)(sn

nên ta đặt
5
s
K
P
M
M
1
Δφ
τ

α
1
τ

H1.5
nk
sd
d


=
τ
, (12)
k được gọi là độ cong của đường cong.
Từ (12), ta có

,
Vậy độ cong của đường cong tính bằng công thức
s
k
s
∆
∆
=
→∆
ϕ
0
lim
(13)
Đại lượng nghịch đảo của độ cong, ký hiệu là
k/1, =
ρρ
gọi là bán kính cong của
đường cong.
Hình 6.Hệ toạ độ tự nhiên Hình 7. Độ cong của đường tròn
Để minh hoạ, ta xét hai trường hợp đặc biệt khi đường cong quỹ đạo là đường
thẳng và đường tròn bán kính R (H.7).
Trong trường hợp quỹ đạo là đường thẳng ta thấy ngay k = 0 và
∞=
ρ
.
Trong trường hợp quỹ đạo là đường tròn, thì
ϕ
∆
có giá trị bằng góc ở tâm tạo
bởi hai bán kính OM và

∆
∆
=
→∆→∆∆
ϕ
. (14)
3.2. Gia tốc của điểm theo toạ độ cong.
Từ các công thức (8) và (9), ta có
( )
sd
d
ss
dt
sd
sd
d
ss
dt
d
sss
dt
d
w
τ
τ
τ
τ
τ
ττ



ρ
τ
2
+=
, (15)
hay là
6
n

τ

b

O
M1
M
Δs
Δφ
O
M1
M
Δs
Δφ
n
v
sw




ρ
2
=
, (17)
gọi là gia tốc pháp tuyến. Ta có,
ρ
/
2
vw
n
=
cho ta biết sự biến thiên về chiều của vận
ốc. Chẳng hạn, nếu điểm chuyển động trên đường thẳng
∞=
ρ
,
0=
n
w
, còn nếu
chuyển động trên các đường tròn với vận tốc v = const thì đường tròn có bán kính nhỏ,
chiều vận tốc thay đổi nhanh và ngược lại đường tròn có bán kính lớn chiều vận tốc sẽ
thay đổi chậm.
Hình 8
Tổng các gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến gọi là gia tốc toàn phần của điểm.
n
www

+=
τ

7
τ
W

W

n
W

n

τ

0>
τ
wv

, (
0<
τ
wv

). (20’)
Hình 9. Vận tốc và gia tốc của điểm trong các chuyển động nhanh dần và chậm dần
Về mặt hình học, các công thức (20) và (20’) nói lên rằng trong trường hợp
điểm chuyển động nhanh dần góc lập bởi vận tốc và gia tốc là nhọn, hay vận tốc và gia
tốc tiếp tuyến cùng chiều và ngược lại điểm chuyển động chậm dần thì góc giữa vận
tốc và gia tốc là tù hay vận tốc và gia tốc tiếp tuyến ngược chiều.
Chứng minh. Do v tăng, nên
22

τ

⊥
n
w
, nên
<
0
ττ
wvwwvwv
n

=+= )(
.
3. Các chuyển động đặc biệt
3.1. Chuyển động đều. Trong trường hợp này, trị số vận tốc không đổi, do đó, theo
(8’) ta được
v
dt
sd
=
,
Suy ra
Cvtvdts +==
∫
trong đó C là hằng số tích phân. Để xác định ta cần biết vị trí ban đầu của điểm, t.l. tại
thời điểm
0
,0 sst ==
, rồi thay vào công thức trên, ta được

sd
+==
∫
ττ
.
Thay giá trị ban đầu
0
,0 vvt ==
ta được
8
v

W

v

W

0
vtw
dt
sd
+=
τ
từ đó suy ra
20
2
0
2
)( Ctv

Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy như sau: Trục Ox hướng
theođường ray, điểm O ta chọn trùng với vị trí ban đầu
của điểm M. Với cách chon đó, dựa vào giả thiết bánh
xe chuyển động lăn không trượt ta suy ra độ dài cung
MP (độ dài cung tròn nối điểm M đang xét đến điểm
tiếp xúc hiện thời P của bánh xe với mặt đường) bằng
khoảng cách OP. Trục Oy vuông góc với Ox hướng lên
trên.
9
v

PO x
y
M
W

α
Hình 10
Từ đó ta tính được
PNOPONx
−==
,
β
cosRRy +=
α
cosRR
−=
=
OP
Đd

u
RRy
t
R
u
Rutx
cos
sin
. (a)
Có thể coi hệ (a) là phương trình quỹ đạo của điểm dưới dạng
tham số. Tại các thời điểm
u
k
t
π
2
=
∗
điểm M tiếp xúc với mặt đường,
và tại các điểm
u
k
t
π
)1(2 +
=
∗
, điểm M ở vị trí cao nhất.
Vận tốc của điểm M
{ }

u
ut
R
u
ut
R
u
u
2
sin2
2
sin2.2)cos1(2
2
==−=
.
( )
t
R
u
t
R
u
u
t
R
u
u
v
x
ev

y
ev
y
2
cos
2
sin2
sin
,cos ===


.
Từ đây ta thấy vectơ vận tốc luôn luôn nằm trên
đường thẳng nối từ M đến điểm cao nhất của bánh
10
xe. Khi điểm ở vị trí cao nhất vận tốc song song
với đường chuyển động và có trị số lớn nhất, còn
khi điểm ở vị trí thấp nhất vận tốc của nó bằng 0.
Gia tốc của điểm M
{ }






−== t
R
u
R

4
22
cossin =+=+=

= const.
( )
t
R
u
ew
x
sin,cos =

,
( )
t
R
u
ew
y
cos,cos =

Do đó, vectơ gia tốc của điểm luôn luôn hướng
vào tâm C của bánh xe. Từ nhận xét đó, ta tìm
thấy vectơ gia tốc pháp tuyến sẽ hướng từ M đến
P:
,
22
τ
www

nên
t
R
u
R
u
t
R
u
R
u
R
u
w
n
2
sin
2
cos
2
2
2
4
2
4
=−=
.
Từ đó ta tính được bán kính cong của quỹ đạo
MPt
R

cosax =
,
ϕ
sinay =
,
ϕ
hz =
,
trong đó
t
ωϕ
=
là hàm cho trước của thời gian, còn
ha,
là các hằng
số cho trước. Tìm quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm cũng như bán
kính cong của quỹ đạo.
Bài giải
Từ phương trình chuyển động, ta có
222
ayx =+
. Điều này nói lên
rằng điểm chuyển động trên mặt trụ có bán kính đáy là a. Mặt khác
11
khi thời gian t thay đổi đi một khoảng
ω
π
2
=T
thì các toạ độ

,cos
ha
a
ha
a
v
x
ev
x
+
−
=
+
−
==
ϕ
ϕ
ϕϕ




( )
2222
coscos
,cos
ha
a
ha
a

z
ev
x
+
=
+
==
ϕ
ϕ




= const
Điều này chứng tỏ rằng quỹ đạo của điểm có độ nghiêng đối với
mặt phẳng đáy
Oxy
không đổi.
Gia tốc chuyển động của điểm
{ }
{ }
raazyxw




′
−=−−==
222
0,sin,cos,,

ω
ϕω
a
a
w
y
ew
y
−
==


,
( )
0,cos ==
w
z
ew
z



Ta nhận thấy, vectơ gia tốc nằm trên mặt phẳng song song với mặt
phẳng đáy. Nếu ký hiệu
r

là vectơ định vị của điểm
{ }
thtatar
ωωω

. Do điểm chuyển
động đều
consthav =+=
22
ω
nên
0=
τ
w
. Vậy
n
w

trùng với
w

. Từ đó ta
thấy vectơ trùng pháp tuyến của đường cong song song với
r
′

, và
mặt phẳng mật tiếp là mặt phẳng tạo bởi
v

và
n

.
Từ đó ta cũng suy ra bán kính cong quỹ đạo là

0000
zyxO
, sau đây sẽ gọi là
hệ
0
R
. Ta gắn chặt vào (S) hệ toạ độ
Oxyz
, sau đây sẽ gọi là hệ R. Rõ ràng, vị trí của
(S) được xác định hoàn toàn bởi vị trí của hệ R so với hệ
0
R
. Dễ thấy rằng, vị trí của hệ
toạ độ Descarte R đối với hệ
0
R
được xác định bởi toạ độ của điểm
O
(
000
,, ZYX
) và
phương của các trục toạ độ
Ox
,
OzOy,
. Phương của các trục toạ độ này được xác định
bởi 9 thành phần của vectơ
Hình 2.1
đơn vị của các trục toạ độ của hệ R đối với hệ

=










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A










),cos(),cos(),cos(

o
o
O
x
y
z
e
x
e
y
e
z
R
x
y
z
e
x
e
y
e
z

=







xzxy
o
xx
eeeeee
eeeeee
eeeeee



(1.3)
trong đó
( )
0
,
βα
ee

là tích vô hướng của các vectơ
α
e

và
o
e
β

. Nếu ta đưa vào ký hiệu ma
trận cột của vectơ:
e
1

32
22
12
a
a
a
, e
3
=










33
23
13
a
a
a
thì ma trận
A
cũng còn viết dưới dạng
=A
[e

33
2
23
2
13
=++ aaa
(1.4.c)

0
323122211211
=++ aaaaaa
(1.4.d)

0
333123211311
=++ aaaaaa
(1.4.e)

0
333223221312
=++ aaaaaa
(1.4.f)
Như thế, vị trí của vật rắn có thể xác định bằng 12 tham số, trong đó có 6 hệ
thức phụ thuộc. Điều đó nói lên rằng vị trí của vật trong không gian có thể được xác
định bằng 6 tham số độc lập. Ta nói vật rắn tự do trong không gian có sáu bậc tự do.
1.2.3. Ma trận cô sin chỉ phương có một số tính chất quan trọng sau đây
Tính chất 1. Định thức của A bằng đơn vị:
1det
=
A

cba =×



,
do đó,
1)(det
333231
232221
131211
=×==
zyx
eee
aaa
aaa
aaa
A

.
Do
1.; ==×
xxxzy
eeeee

, nên ta suy ra tính đúng đắn của công thức (1.5).
Tính chất 2. Ma trận cô sin chỉ phương là ma trận trực giao.
Chứng minh. Theo định nghĩa, ma trận trực giao là ma trận
T
AA =
−1

e = e
2
.
Mặt khác
(Ae).(Ae) = (
λ
e) (
λ
e) =
2
λ
(e.e) =
2
λ
e
2
nên
1
2
=
λ
, hay là
1=
λ
.
Ta còn phải chứng minh có ít nhất một giá trị riêng bằng 1. Theo tính chất của
giá trị riêng của các ma trận thực thì
1det
321
==

thế chúng phải là các số phức liên hợp và tích của chúng sẽ dương. Do vậy, ta suy ra
một trong hai giá trị riêng
32
,
λλ
phải bằng 1. Tính chất 3 được chứng minh.
Ví dụ về các ma trận cô sin chỉ phương
Xét hai hệ toạ độ
0
R
và R. Nếu hai hệ có hai trục nào đó trùng nhau (chẳng hạn
00
zO
trùng
với
Oz
) các trục kia sẽ lệch nhau tương ứng một góc
α
(
α
=∠ ),(
00
OxxO
),
α
=∠ ),(
00
OyyO
). Ta
nói hệ R đã thực hiện một phép quay cơ bản trong hệ

x
A
.
b) Phép quay cơ bản quanh trục
00
yO
một góc
ψ
. Trong trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương
có dạng
Hình 2.2 Các phép quay cơ bản
16
(c)
x
y
z
x
o
z
o
y
o
(b)
x
z
y
x
o
y
o

)(
0
y
A
.
c) Phép quay cơ bản quanh trục
00
zO
một góc
ϑ
. Trong trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương có
dạng










−
=
100
0cossin
0sincos
)(
0
ϑϑ

0=
yx
ee

,
0=
zx
ee

,
0=
zy
ee

. (1.6.b)
Do đó, bằng cách đạo hàm ba đẳng thức đầu (1.6.a), ta rút ra:
x
x
e
dt
ed


⊥
,
y
y
e
dt
ed

ee
dt
ed


ϖϖ
+=
; (1.7.a)
xyxzyz
y
ee
dt
ed


ϖϖ
+=
; (1.7.b)
yzyxzx
z
ee
dt
ed


ϖϖ
+=
. (1.7.c)
Từ ba đẳng thức cuối (1.6.b) ta đạo hàm theo t và thu được
( )


+= .
= 0 (1.8.b)
( )
dt
ed
ee
dt
ed
dt
eed
z
yz
yzy



+= .
= 0 (1.8.c)
Thay các biểu thức của đạo hàm
dt
ed
dt
ed
dt
ed
z
y
x


ϖϖ
,
0=+
zyyz
ϖϖ
. (1.9)
Đặt
zyyzx
ϖϖω
−==
; (1.10.a)
17
xzzxy
ϖϖω
−==
(1.10.b)
yxxyz
ϖϖω
−==
. (1.10.c)
2.2. Định nghĩa vận tốc góc của vật rắn.
Ta gọi vectơ
zzyyxx
eee


ωωωω
++=
, (1.11)
trong đó các thành phần



×=
ω
,
z
z
e
dt
ed



×=
ω
(1.12)
Hơn nữa, đạo hàm của vectơ
c

bất kỳ gắn chặt vào vật rắn cũng bằng tích có hướng
của vectơ vận tốc góc với vectơ đó
c
dt
cd



×=
ω
(1.13)



ϖϖ
+=
Thay các giá trị của nó theo (1.10), ta được
zyyz
x
ee
dt
ed


ωω
−=
,
xzzx
y
ee
dt
ed


ωω
−=
,
yxxy
z
ee
dt
ed

zzyyxx
ecececc

++=
,
trong đó
zyx
ccc ,,
là các hằng số. Đạo hàm hai vế của đẳng thức vừa viết và chú ý đến
(1.11) ta rút ra ngay (1.13).
18