CHƯƠNG VI
CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP
Trong 5 chương trước ta đã khảo sát các đặc trưng của vật thể (điểm và vật rắn) trong
một hệ qui chiếu. Trong thực tế, ta thường gặp phải các vật thể chuyển động trong nhiều hệ qui
chiếu khác nhau và phải xác định các đặc trưng động học cho từng hệ qui chiếu. Chương này sẽ
thiết lập mối quan hệ giữa các đặc trưng động học của vật thể (vận tốc, gia tốc…) trên nhiều hệ
qui chiếu.
§1 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản
1. Các hệ qui chiếu tuyệt đối, tương đối
Trong thực tế, ta gặp nhiều vật thể chuyển động trong nhiều hệ qui chiếu
khác nhau. Chẳng hạn, một người đi trên một toa tàu đang chuyển động đối với nhà
ga. Như vậy nếu lấy toa tàu là một hệ qui chiếu và nhà ga là một hệ qui chiếu khác
thì người đi trên toa tàu sẽ xem như mô hình vật thể chuyển động trên hai hệ qui
chiếu: hệ qui chiếu toa xe và hệ qui chiếu nhà ga. Khi giải quyết các bài toán kỹ
thuật nhiều khi ta phải đưa thêm vào khảo sát một hệ qui chiếu, trong đó vật thể
chuyển động đối với hệ qui chiếu đó trở nên đơn giản hơn so với chuyển động của
nó đối với hệ qui chiếu ban đầu. Vì vậy việc khảo sát chuyển động của vật thể trên
nhiều hệ qui chiếu có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực
tiễn. Các hệ qui chiếu luôn luôn chuyển động đối với nhau, do vậy ta phải chọn một
hệ quy ước là cố định và ký hiệu là hệ R
0
, còn các hệ khác gọi là hệ động và ký
hiệu là R
1
, R
2
,…
Định nghĩa 6.1: Hệ qui chiếu cố định được gọi là hệ qui chiếu tuyệt đối; hệ qui
chiếu động được gọi là hệ qui chiếu tương đối.
1
Như đã nói trong phần mở đầu, các vật thể được nghiên cứu dưới dạng hai

ε
r
iii) Các yếu tố động học của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định được
gọi là các yếu tố động học theo. Các yếu tố động học theo được ký hiệu bằng
chỉ số e, chẳng hạn
Vận tốc góc của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định ký hiệu
là
e
ω
r
2
Gia tốc góc của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định ký hiệu
là
e
ε
r
…
Trong nhiều trường hợp để chỉ rõ các yếu tố động học của vật trong hệ qui
chiếu nào ta còn dùng ký hiệu hệ qui chiếu viết ở giá trên bên trái của đại lượng
động học, chẳng hạn
0
1
,
R
R
ω ω
r r
để chỉ vận tốc góc của vật tương ứng đối với hệ qui chiếu R
0
và R

x
e
r
y
e
r
0
z
e
r
0
x
e
r
0
y
e
r
O
0
x
0
y
0
z
0
z
y
x
M

e
v
r
và
e
w
r
.
Từ các định nghĩa trên ta suy ra
0 0 0
0 0 0 0
a x y z
dO M dx dy dz
v e e e
dt dt dt dt
= = + +
uuuuur
r r r r
(6.1)
2 2 2 2
0 0 0
0 0 0 0
2 2 2 2
a x y z
d O M d x d y d z
w e e e
dt dt dt dt
= = + +
uuuuur
r r r r

= = + + +
uuuuur
uuuur
r
r
r
r
(6.5)
2
2 2
2
2 *
0
2 2 2 2 2
w
y
x
z
e
d e
d O O d e
d ed OM
x y z
dt dt dt dt dt
= = + + +
uuuuur
uuuur
r
r
r

động lắc của culit O
1
B xung quanh O
1
.
Khi tính toán các đại lượng động học của culit O
1
B, người ta thường đạt bài
toán dưới dạng chuyển động phức hợp của điểm A (con trượt A) đối với hai hệ qui
chiếu: Hệ qui chiếu cố định được chọn là giá OO
1
, còn hệ qui chiếu động được
chọn là culit O
1
B. Như thế chuyển động của hệ động là chuyển động theo. Vận tốc
góc của nó là vận tốc góc theo
e
ω
:
2e
ω ω
=
. Chuyển động của điểm A so với giá sẽ
5
r
v
r
a
v
r

v
r
của điểm A hướng dọc theo
O
1
B.
Vận tốc của điểm A
*
thuộc culit
1
O B
trùng với điểm A (ở đây có điểm A
thuộc OA và A
*
thuộc
1
O B
) gọi là vận tốc theo
e
v
r
của điểm A. Rõ ràng điểm A
*
chuyển động tròn với tâm là O
1
và bán kính là
1
O A
. Do đó vận tốc này vuông góc
với

1 2
O A O B=
và
1 2
O O AB=
. Trên cung tròn AB có điểm M chuyển
6
B
A
O
O
1
A
B
động. Hãy chỉ ra các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động và phân tích các chuyển
động, vận tốc và gic tốc của điểm M trong các hệ toạ độ đó.
4. Cơ cấu điều tiết ly tâm có sơ đồ biểu diễn ở hình vẽ.
Đòn
1
OO
được gắn chặt vào trục thẳng đứng zz và quay xung quanh trục này
với vận tốc góc
0
ω
. Các thanh OA và
1
O B
có độ dài bằng l gắn bản lề vào các điểm
O và O
1

D
O
A
B
ϕ
y
x
D
P
B
A
O
1
O
O
C
u
r
6. Máy nén khí có rãnh cong CD quay xung quanh trục O với vận tốc góc
ω
.
Khí chạy trong rãnh với vận tốc u = const. Biết phương pháp tuyến chính của quỹ
đạo cong là
CP
uuur
và bán kính cong là
.CP OC r
ρ
= =
. Hãy phân tích các đại lượng

ξ
C
B
ϕ
α
O
O
O
1
u
r
Hình bài tập 7 Hình bài tập 8
§2 Hợp vận tốc và gia tốc của điểm
1. Hợp vận tốc.
1.1. Định lý 6.1. Tại mỗi thời điểm vận tốc tuyệt đối bằng tổng hình học vận tốc
tương đối vận tốc theo.
a r e
v v v= +
r r r
(6.7)
Chứng minh
Xét điểm M chuyển động đối với hệ Oxyz và hệ Oxyz chuyển động đối với hệ
0 0 0 0
O x y z
.
Ta có
0 0
O M O O OM= +
uuuuur uuuur uuuur
hay là

0
y
0
z
0
z
y
x
M
O
1.2. Ví dụ.
Ví dụ 6.3.
Giả sử giọt mưa trong ví dụ 6.1 rơi với vận tốc là u, còn người chuyển động
với vận tốc v. Cần che ô thế nào để người không bị ướt.
Bài giải
Ta chọn hệ toạ độ động và hệ toạ độ cố định như trong ví dụ 6.1: Hệ toạ độ
cố định gắn vào mặt đất, hệ toạ độ động gắn vào người. Khi đó vận tốc của hạt mưa
đối với mặt đất là u là vận tốc tuyệt đối. Vận tốc của người la vận tốc theo còn vận
tốc của giọt mưa đối với người là vận tốc tương đối. Ta cần tìm vận tốc tương đối
này của hạt mưa để chọn cách che ô hợp lý. Theo công thức (6.7)
a r e
v v v= +
r r r
Suy ra
( )
r a e a e
v v v v v= − = + −
r r r r r
Ta suy ra cách vẽ
r

tg
v v
α
= =
Công thức này chỉ ra rằng ta cần che ô nghiêng góc với phương nằm ngang
góc α có
u
tg
v
α
=
để hạt mưa không rơi vào người.
Ví dụ 6.4.
Một ống tròn bán kính R quay đều quanh trục O với vận tốc góc
0
ω
. Một
dòng chất lỏng chuyển động đều trong ống với vận tốc u = const. Tìm vận tốc của
hạt lỏng đối với giá cố định của máy.
Bài giải
10
r
v
r
a
v
r
A
e
v

M
v OM⊥
r
Áp dụng công thức
a r e
v v v= +
r r r
Chiếu công thức này lên hệ trục Oxy, ta được
0 0
2
cos 5. 2
5
ax e
R
v v R R
R
α ω ω
= = =
0 0
sin 5.
5
ay e
R
v u v u R u R
R
α ω ω
= + = + = +
Vậy
11
x

1
O O
góc
0
60
α
=
tay quay OA có
vận tốc góc
0
ω
. Cho biết
1
.OA O O a= =
Tính vận tốc góc của
1
O B
tại thời điểm đó.
Bài giải
Chọn giá
1
O O
làm hệ qui chiếu cố định. Cần
1
O B
làm hệ qui chiếu động và
con chạy A (thuộc tay quay OA) làm điểm khảo sát.
Áp dụng công thức
a r e
v v v= +

thuộc thanh
1
O B
nên
e
v
r
vuông góc với
1
O B
và
1
1
. ; 3.
e O B
v OA O A a
ω
= =
Chiếu công thức
a r e
v v v= +
r r r
lên phương
e
v
r
và
r
v
r

a
v
O A
a
ω
ω
ω
= = =
12
A
O
1
O
B
0
ω
α
r
v
r
a
v
r
e
v
r
Bài tập
8. Chép lại, sửa đổi bổ sung, đưa thêm các dữ kiện để giải được bài toán vận
tốc.
9. Cho cơ cấu tay quay thanh truyền có

π
và
·
· ·
1 1 1
; 0; .
2 2
OAO AOO AOO
π π
= = =
10. Cho cơ cấu như hình vẽ. Bánh xe 1 quay đều quanh
1
O
với vận tốc góc
1
ω
làm các thanh trượt AC chuyển động đồng thời làm cho bãnh xe 2 quay quanh trục
cố định
2
O
. Các khớp nối A và C là các khớp bản lề. Tại vị trí chỉ ra trên hình vẽ
tìm vận tốc góc
2
ω
của bánh xe 2 và vận tốc góc của thanh truyền AC và vị trí tâm
vận tốc tức thời P.
2. Hợp gia tốc của điểm.
2.1. Định lý 6.2. Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối bằng tổng hình học gia tốc
theo, gia tốc tương đối và gia tốc coriolis
c

0 0
.
y
x
z
x y z
de
dO M dO O de
de dx dy dz
x y z e e e
dt dt dt dt dt dt dt dt
= + + + + + +
uuuuur uuuur
r
r
r
r r r
Đạo hàm theo thời gian một lần nữa, ta được
2
2 2 2
2
2 2 2
0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
y
x
z
x y z
d e
d O M d O O d e

de
de
de
e e e
dt dt dt
ω ω ω
= × = × = ×
r
r
r
r r r
r r r
rồi thế vào công thức trên, ta tính được
2
a e r e x y z
dx dy dz
w w w e e e
dt dt dt
ω
 
= + + × + +
 ÷
 
r
r r r r r r
hay
2
a e r e r
w w w v
ω

Vì gia tốc coriolis được xác định bởi biểu thức vectơ (6.9) nên trong các tính
toán thực hành để tìm chiều của
c
w
r
dễ xảy ra nhầm lẫn. Jucovski N.E đã nêu cách
xác định chiều
c
w
r
như sau
a) Đối với các hệ chuyển động trong một mặt phẳng,
ta chỉ cần quay vectơ vận tốc tương đối
r
v
r
của điểm
đi
0
90
theo chiều
e
ω
r
là ta có chiều
c
w
r
, còn trị số
2 .

w 2 sin ,
e r e r
v v
ω ω
=
r
r
(6.12)
2.3. Ví dụ.
Ví dụ 6.6.
Tìm gia tốc (tuyệt đối ) của hạt lỏng trong ống tròn ở ví dụ 6.4.
Bài giải
Cũng như trong ví dụ 6.4, ta sẽ sử dụng các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động
và điểm khảo sát. Ta cần tính gia tốc của hạt lỏng M.
Áp dụng công thức
a e r c
w w w w= + +
r r r r
(a)
Ở đây,
a
w
r
là gia tốc cần tìm.
e
w
r
là gia tốc của điểm
*
M

c
w
r
r
v
′
r
0
. 0.
e
w OM
τ
ε
= =
n
e
w
r
có chiều từ M đến O và có trị số
2 2
0 0
. 5.
n
e
w OM R
ω ω
= =
r
w
r

0
90
theo chiều quay của hệ động (cùng chiều kim
đồng hồ); còn về trị số
0
2 . 2 . .
c e r
w v u
ω ω
= =
Ta đặt hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó, chiếu công thức (a) lên các trục toạ
độ, ta được
n n x
ax ex rx c
w w w w= + +
hay
2
2
0 0
sin 5. 2
5
n n
ax e r c
R u
w w w w R u
R
R
α ω ω
= + + = − + +
2

 
= + + +
 ÷
 
16
n
e
w
r
x
y
O
M
u
r
0
ω
α
n
r
w
r
c
w
r
Ví dụ 6.7.
Tính gia tốc góc của cần lắc
1
O B
trong ví dụ

a e r c
w w w w= + +
r r r r
(a)
ta có
a
w
r
là gia tốc của điểm A:
a A
w w=
r r
. Do đó
0 0
2 2
0 0
; . .
. .
n
a A A A
n
A
w w w w OA a
w OA a
τ τ
ε ε
ω ω
= + = =
= =
r r r

ε ω
= + = =
r r r
chiều của
e
w
τ
r
ta tạm giả thiết là hướng ngược chiều kim đồng hồ so với
1
O
; còn
chiều của
n
e
w
r
được chỉ ra trên hình vẽ.
r
w
r
có chiều dọc theo
1
O B
đi từ
1
O
đến B, còn trị số chưa biết.
17
0

a
w
τ
r
e
w
τ
r
0
ε
n
a
w
r
Chiều của
c
w
r
được xác đinh bằng cách quay
r
v
r
đi
0
90
theo chiều quay của
e
ω
r
, nên dựa vào chiều

τ
r
. Muốn
vậy, ta chiếu (a) lên phương
1
O y
vuông góc với
1
O B
, ta được
;
cos sin
n
a a e c
w w w w
τ τ
β β
− = −
0
30 .
2
α
β
= =
Do đó
2
2
0
0 0 1
3 1

c) Giải bài toán gia tốc. Áp dụng công thức hợp gia tốc (6.8) khi hệ có chuyển
động quay (
0
e
ω
≠
r
) và công thức (6.10) khi hệ động chuyển động tịnh tiến.
Cũng như khi áp dụng công thức vận tốc, ở đây ta phải chỉ rõ từng thành
phần của các vectơ gia tốc; phương, chiều và trị số. Nhớ rằng khi quỹ đạo
chuyển động của điểm không thẳng, vectơ gia tốc nói chung luôn luôn có hai
thành phần gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến.
Cuối cùng, ta lại chọn các phương thích hợp để chiếu phương trình (6.8)
hoặc (6.10) để thu được các phương trình vô hướng chứa các ẩn cần tìm.
3.2. Ví dụ 6.8
Khung hình thang ABCD quay xung quanh trục thẳng đứng AB với vận tốc
góc
0
5/ s
ω
=
không đổi. Trên cạnh CD của khung có điểm M chuyển động từ điểm
C với vận tốc
0,2
m
u const
s
= =
. Tính vận tốc và gia tốc
(tuyệt đối ) của điểm M sau 1 giây.

=
= =
Do đó M trùng với
*
M
thuộc CD, cũng cách C một đoạn
*
0.2CM m=
. Vận tốc và gia tốc của điểm
*
M
này tương ứng với vận tốc và gia tốc
theo.
b. Giải bài toán vận tốc
Áp dụng công thức
a r e
v v v= +
r r r
(a)
trong đó
−
a
v
r
là vận tốc của điểm M so với giá cố định, đang cần tìm.
−
e
v
r
là vận tốc của điểm

e
m
v R
s
ω
= = =
−
r
v
r
hướng dọc theo CD và có trị số là u.
Rõ ràng
e r
v v⊥
r r
, nên
2 2 2 2
0,075 0,2 0,2136.
a e r
v v v= + = + =
c. Giải bài toán gia tốc
Áp dụng công thức
a e r c
w w w w= + +
r r r r
(b)
trong đó
20
r
v

r r r
Do khung chuyển động quay đều, nên
0
0
ε
=
, do đó
0
e
w
τ
=
. Còn
n
e
w
r
hướng từ
M vào I và có trị số
2 2
0 1
. 0,5 .0,15 0,0375
n
e
w R
ω
= = =
.
−
r

w
s
ω ω ω
= =
= =
r
r
Nhận xét rằng ở vế phải của phương trình (b) chỉ còn hai thành phần là
n
e
w
r
và
c
w
r
; đồng thời các thành phần này lại vuông góc với nhau, do đó
( )
2
2 4 2 2
0,5 .0,15 0,01 0,03881.
n
a e c
w w w= + = + =
21
r
v
r
z
c