3. Gia tốc góc của vật rắn.
Định nghĩa. Gia tốc góc của vật rắn, ký hiệu
ε

là đạo hàm bậc nhất theo
thời gian của vận tốc góc
ω

dt
d
ω
ε


=
(1.14)
Hình 2.3
Tóm tắt Chụyển động của vật rắn trong không gian đối với hệ R
0
được
đặc trưng bởi vị trí, vận tốc góc và gia tốc góc. Vị trí của vật được xác
định bởi gốc toạ độ R gắn chặt với vật và ma trận cô sin chỉ phương, vận
tốc góc được định nghĩa bằng công thức (1.11), trong đó các thành phần
của nó được xác định từ công thức (1.10). Gia tốc góc được định nghĩa
bằng công thức (1.14). Chú ý rằng để tính các thành phần của vận tốc
góc ta phải sử dụng các công thức (1.7).
§ 2. Đặc trưng động học của từng điểm thuộc vật.
Chuyển động của mỗi điểm, như đã biết từ chương I được xác định bởi ba yếu
tố: Các phương trình chuyển động; vận tốc và gia tốc của nó. Chụyển động của mỗi
điểm thuộc vật cũng đặc trưng bằng ba yếu tố đó. Trong mục này, ta sẽ tính các yếu
tố này thông qua các yếu tố đặc trưng động học của vật.

y
x
O
o
o
o
O
o
ω

ε

OMOOMO +=
00
, (1.15)
0
0
0
0
0
00 zyx
ezeyexMO

++=
,
zyx
ezeyexOM

++=
,

trong đó
x
0
=










0
0
0
z
y
x
, X
0
=








d
x
0
+
dt
d
(Ax).
với các quy tắc tính đạo hàm đã biết và đạo hàm của ma trận sẽ là ma trận
có các phần tử là đạo hàm của các phần tử của ma trận cho trước. Trong
các chương sau, ta sẽ áp dụng công thức này cho các trường hợp cụ thể.
2.2. Ta đưa vào các ký hiệu
M
rMO

=
0
,
OM
rOM

=
,
O
rOO

=
0
,
Phương trình (2.1) có thể viết lại dưới dạng
OMM

×=
ω



.
Nếu ta ký hiệu vận tốc của điểm M trong hệ R
0
là
M
v

, vận tốc của điểm
gốc O (trong hệ R
0
) là
O
v

, còn
OM
r


là
MO
v

. Theo định nghĩa vận tốc của
điểm, ta thu được

công thức
MOM
vvv

+=
0
và
OMv
MO
×=
ω


với chú ý rằng các điểm O và M
là các điểm bất kỳ thuộc vật rắn. Do đó, nếu ta ký hiệu thay cho O là A và
thay cho M là B ta sẽ có ngay các công thức của định lý.
Hình 2.4 Liên hệ vận tốc giữa hai điểm
2.3. Định lý 2.2. Hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ của vật rắn lên
phương nối hai điểm đó bằng nhau.
BABAAB
vhcvhc

=
. (1.19)
Chứng minh. Do
BAv
AB
×=
ω


(S)
3. Gia tốc chụyển động của điểm
3.1. Cũng như đối với vận tốc để tính gia tốc ta đạo hàm theo thời gian
biểu thức vận tốc và cũng sẽ tính trong các chương sau cho các trường
hợp cụ thể. Cần nhấn mạnh rằng công cụ này được sử dụng phổ biến để
tính toán các hệ cơ học phức tạp chứa nhiều vật rắn.
3.2. Đạo hàm theo thời gian công thức (1.17), ta được
dt
vd
dt
vd
dt
vd
ABBA

+=
,
chú ý rằng
BAv
AB
×=
ω


, đồng thời theo công thức Euler về đạo hàm của
vectơ có mô đun không đổi
( )
=×= BA
dt
d

ht
AB
w AB
ω ω
= × ×
r r
r
(1.20b)
và quy ước gọi tương ứng là gia tốc quay và hướng trục của điểm A
quanh điểm B. Như thế ta nhận được
ht
AB
q
ABBA
wwww

++=
(1.21)
Như thế ta có
định lý về gia tốc
dưới đây.
Định lý 2.3. Tại
mỗi thời điểm,
gia tốc hai điểm
A và B bất kỳ
thuộc vật chuyển
động liên hệ với
nhau qua công
thức (1.21), trong
đó các thành

, do đó,
q
AB
w

nằm trong mặt phẳng
vuông góc với
ε

chứa điểm A, vuông góc với
BA
, hay cũng thế
q
AB
w

tiếp
tuyến với vòng tròn tâm B bán kính
ε
d
(
ε
d
là khoảng cách từ A đến
ε

)
nằm trong mặt phẳng vuông góc với
ε



ε

ω

d
ε
d
ω
ω
I
Hình 2.5. Liên hệ gia tốc giữa hai điểmthuộc vật rắn
).().(
ωωωωωω


BABABAw
ht
AB
−=××=
.
Ta ký hiệu các vectơ đơn vị theo các phương
ω

và
BA
tương ứng là
ω
e



AI
ed

ω
ω
2
=
AI
ht
AB
edw

ω
ω
2
=
(1.20b’)
CHƯƠNG III
5
TRƯỜNG HỢP RIÊNG: CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN VÀ CHUYỂN
ĐỘNG QUAY XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH CỦA VẬT
RẮN
Trong chương này và hai chương tiếp theo ta sẽ áp dụng lý thuyết trình bày
trong chương trước vào các trường hợp riêng quan trọng nhất trong kỹ thuật. Đó là
các chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật xung quanh một trục cố định,
chuyển động song phẳng và chuyển động quay xung quanh một điểm cố định của vật
rắn.
§ 1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn.
1. Định nghĩa. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động

ω

,
0
=
ε

(1.1)
Chứng minh. Ta gắn vào vật hệ toạ độ (R): Oxyz sao cho các trục của nó
song song với các trục tương ứng của hệ trục (R
0
):
0000
zyxO
. Do vật
chuyển động tịnh tiến nên các trục này có hướng không đổi, nên



=
≠
=
βα
βα
βα
,1
,0
),cos( ee

, trong đó

Ta có
ABrr
AB
+=

. Do vectơ
AB
không đổi, nên vị trí của điểm B bất kỳ
luôn luôn tìm được bằng cách tịnh tiến vị trí điểm A đi vectơ AB không
đổi. Từ đó suy ra quỹ đạo của điểm B nhận được bằng cách tịnh tiến quỹ
đạo điểm A đi một vectơ AB. Các công thức (1.2) thu được bằng cách áp
dụng trực tiếp công thức (2.3), (2.4) và (2.6), (2.7) của chương II. Định lý
được chứng minh.
§ 2. Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định.
1. Định nghĩa. Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố
định là chuyển động trong đó vật luôn có 2 điểm cố định, do đó có một
đường thẳng nối hai điểm đó cũng cố định. Đường thẳng nối hai điểm đó
gọi là trục quay của vật.
Trong thực tế kỹ thuật các vật quay xung quanh trục cố định rất
phổ biến, chẳng hạn, trục của các động cơ điện, các trục chính của các
máy công tác v.v… là những vật quay xung quanh trục cố định.
7
A
B
A
r

B
r








−
=
100
0cossin
0sincos
ϕϕ
ϕϕ
A
(1.3)
Như thế, phương của các trục toạ độ được xác định hoàn toàn bởi góc
ϕ
và vị trí của vật được xác định hoàn toàn chỉ bởi góc
ϕ
.
ϕ
được gọi là
góc quay của vật. Theo sự diễn tiến của thời gian góc
ϕ
thay đổi theo
thời gian, t.l.
)(t
ϕϕ
=
. (1.4)

)cos(sin
00
yxx
eee




ϕϕϕ
−−=
=
( ) ( )
[ ]
yyxyx
eeeee




ϕϕϕϕϕϕϕϕ
=+−−−= cossincossincossin
=
zxzyxy
ee

ϖϖ
+
;
)sin(cos
00

So sánh với các công thức (1.7), ta được
0==
yzx
ϖω
;
0==
zxy
ϖω
;
ϕϖω

==
xyz
.
Vậy, vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là
z
e



ϕω
=
(1.5)
8
Nhưng
0
zz
ee

≡



ω
=
(1.7)
Trong các tính toán thực hành ta còn hiểu gia tốc góc của vật quay
xung quanh một trục cố định là một đại lượng đại số, ký hiệu là
ε
, tính
bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc (đại số)
ϕωε


==
(1.8)
2.3. Khảo sát các tính chất chuyển động của vật quay xung quanh một
trục cố định.
Định nghĩa. Chuyển động quay của vật được gọi là nhanh dần nếu trị số vận tốc góc
tăng và chậm dần nếu trị số vận tốc góc giảm.
Định lý. Điều kiện để vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) nếu các vectơ vận tốc
góc và gia tốc góc cùng chiều (ngược chiều), t.l.
0.
>
εω

,
( )
0. <
εω


đạo hàm của hàm tăng (giảm) ta suy ra kết luận của định lý.
Các chuyển động quay biến đổi đều. Trong thực tiễn thường xảy ra các chuyển động
quay biến đổi đều. Chuyển động của vật quay xung quanh một trục cố định được gọi
là biến đổi đều nếu gia tốc góc không đổi. Không giảm tính tổng quát, ta giả thiết rằng
vật quay theo chiều dương. Khi đó, nếu vật quay nhanh dần đều gia tốc góc sẽ có giá
trị dương
0>
ε
và chậm dần đều nếu gia tốc góc âm
0<−
ε
. Vận tốc góc của vật khi
vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) đều là
Cdt +=
∫
εω
=
Ct +
ε
,
=+−=
∫
Cdt
εω
(
)Ct +−
ε
trong đó
C
được xác định từ điều kiện ban đầu. Giả sử tại

,
)'
2
1
(
0
2
Ctt ++−=
ωεϕ
,
hằng số
'C
được xác định từ điều kiện ban đầu
0
)0(,0
ϕϕ
==t
. Cuối cùng, ta có
00
2
2
1
ϕωεϕ
++= tt
,
00
2
2
1
ϕωεϕ

0
yxx −=
ϕϕ
cossin
0
yxy +=
Nhớ rằng,
yx,
là các hằng số còn
)(t
ϕϕ
=
, ta sẽ khử
t
từ hai phương trình
này bằng cách bình phương hai vế rồi cộng lại, ta được
constyxyx ==+=+
2222
0
2
0
ρ
.
Như thế quỹ đạo của các điểm thuộc vật quay xung quanh một trục cố
định là một đường tròn tâm
'O
- giao điểm của trục quay với mặt phẳng
chứa điểm M vuông góc với trục quay- , bán kính bằng
ρ
- khoảng cách

có trị số bằng tích vận tốc góc với khoảng cách từ M đến trục quay
'MOv ⊥

,
ρω
.=v

(1.10’)
Chứng minh. Thật vậy, áp dụng các công thức (1.17), (1.18) ch.II, với các
ký hiệu
O
thay cho B, M thay cho A,
0=
O
v

, ta có ngay công thức (1.10).
Cách phát biểu khác của định lý chỉ là diễn tả cụ thể phương, chiều, mô
đun của vectơ tích. Định lý được chứng minh.
Hình 3.6
3.3. Gia tốc của điểm M.
Định lý. Tại mỗi thời điểm gia tốc của điểm gồm hai thành phần: Gia tốc
tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến.
n
www

+=
τ
(1.11)
Gia tốc tiếp tuyến






××+×=
ωωε
.
Bây giờ ta đưa vào các ký hiệu:
rw



×=
ε
τ
,
rw
n



××=
ωω
(1.13)
và thu được biểu thức gia tốc của M
nM
www

+=

và
r

ta suy ra kết luận
về vectơ gia tốc tiếp tuyến. Đối với gia tốc pháp tuyến ta có dãy tính toán
sau đây (theo định nghĩa tích vectơ kép)
( ) ( )
=−=××=
ωωωωωω






rrrw
n
( )
rerr
z



22
,cos.
ωωω
−
.
Từ công thức cuối cùng này, ta thấy
n

.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.
Lập phương trình chuyển động, tính vận tốc và gia tốc của cần của cam tịnh
tiến trên hình vẽ. Cam là nửa vòng tròn bán kính
cmr 25=
chụyển động quanh O
theo quy luật
cmtx
π
3sin5=
,
t
tính bằng giây. Khoảng cách từ O đến trục cần là
cma 2=
.
Cơ cấu cam là cơ cấu dùng để biến đổi chuyển động nhằm đạt được các chuyển động
có dạng đặc biệt: phổ biến nhất là biến các chuyển động đều đặn thành các chuyển
động dừng từng đoạn - chuyển động bước. Do đó nó thường có mặt trong các máy tự
động. Bộ phận chính của cơ cấu cam là cam và cần. Cần là một thanh tỳ trên bề mặt
cam và quy luật chuyển động của nó phụ thuộc vào hình dạng cam - gọi là biên dạng
cam.
Bài giải.
Chọn trục toạ độ có gốc tại O. Vị trí của cam xác định bởi toạ độ y của điểm
A. Tại thời điểm t tâm cam đến vị trí O
1
. Theo đầu bài ra ta có
xOO =
1
. Vậy

> M1:=evalf(subs(t=1/6,y(t)));
> M2:=evalf(subs(t=arctan(2/sqrt(21)/3*Pi),y(t)));
> M3:=evalf(subs(t=-(arctan(2/sqrt(21))+Pi/3*Pi),y(t)));
14
O
1
A
a
> with(plots);
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(y(t),t=0 1);
> plot(v(t),t=0 1);
15
> plot(w(t),t=0 1);
> plot({y(t),v(t),w(t)},t=0 1);
16
Vận tốc của cần cam:

Gia tốc của cần cam là

Đồ thị của phương trình chuyển động, vận tốc và gia tốc được biểu thị trên các
hình vẽ.
17