CHỦ ĐỀ:
CHỦ ĐỀ:
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ
Mã Môn Học: MAT101
Nhóm: 03
Mục lục
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN 4
I. Cơ sở lý thuyết 4
1. Một số kết quả trong toán cao cấp 4
2. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế 5
II. Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh 6
Bài toán giá trị biên 6
Bài toán tối đa hóa lợi nhuận và tối đa hóa doanh thu 13
Độ co giãn của một hàm số 14
B. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 16
I. Cơ sở lí thuyết 16
1. Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng 16
2. Bài toán tìm tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa 19
3. Bài toán tìm mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa: 22
4. Ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh doanh: 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO 24
DANH SÁCH THÀNH VIÊN
DQT103387 Hà Bảo Anh
DQT103388 Huỳnh Ngọc Lan Anh
DQT103389 Huỳnh Thị Xuân Anh
DQT103390 Nguyễn Lê Minh Anh
DQT103391 Nguyễn Cao Duy Ân
DQT103392 Phan Bảo Ân
DQT103393 Lê Thị Ngọc Bích

A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
I. Cơ sở lý thuyết
1. Một số kết quả trong toán cao cấp
a.Định nghĩa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b)
)()(
:),(),,(
o
oo
xfxffy
xxxbaxbax
−=∆=∆
−=∆∈∀∈
Đạo hàm của f tại x
o
là:
o
o
xxox
o
o
xx
xfxf
x
y
dx
xdf
xf
o
−

o
∈
D: miền xác định của hàm số
- Gọi
ϕ
là góc nghiêng của đường thẳng M
o
M so với trục Ox
- Gọi
α
là góc nghiêng của tiếp tuyến M
o
T so với trục Ox
Ta có:
x
y
NM
MN
tg
o
∆
∆
==
ϕ
Khi
⇒→⇒→∆
0
0 MMx
đường thẳng (M
o

là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại M
o
(x
o,
y
o
)
α
c. Vi phân của hàm số
y = f(x) là dy = df =
dxxf )('
d. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số
Cho y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)
⊂
R, khi đó:
⇒∈∀> ),(,0)(' baxxf
hàm số tăng
⇒∈∀< ),(,0)(' baxxf
hàm số giảm
⇒∈∀= ),(,0)(' baxxf
f là hàm hằng
e. Cực trị của hàm số
Cho y = f(x), xác định trên (a,b)
- Điểm cực trị địa phương x
0
∈
(a,b) của hàm f là điểm mà tại đó hàm số đạt trị lớn nhất (cực đại),
hoặc trị nhỏ nhất (cực tiểu).
- Điều kiện cần: f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x
0

+ Nếu
)(' xf

không

đổi dấu thì hàm f không có cực trị
- Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2:
+ Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp 2
+ Nếu tại x
0
ta có
)('
0
xf
=0 và
0)('' ≠xf

thì hàm số đạt cực trị tại x
0
 x
0
là điểm mà f đạt cực đại nếu
0)(''
0
<xf
 x
0
là điểm mà f đạt cực tiểu nếu
0)(''
0

y
∆=−∆+=∆⇔
=
∆
−∆+
=
∆
∆
).(')()(
)('
)()(
000
0
00
Khi
)('1
0
xfyx =∆⇒=∆
Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị
Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y, khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi
)('
0
xf
là giá trị biên tế y tại x
0
(còn gọi là biên tế)
Với mỗi hàm kinh tế, ta có một tên gọi riêng:
Thí dụ:
a. Với hàm doanh thu: TR = p.Q thì
dQ

dQ
dL
= f’(L) =
5
2 L
=
5
2 100
= 0.25 khi L = 100
Điều này có nghĩa là: khi tăng mức sử dụng lao đông từ 100  101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25
đơn vị sản phẩm.
Thử xét:
Nhận xét:
MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm
công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí.
MQ
L 100 110 120 150 200 400 1.000
MQ 0.25 0.23 0.22 0.2 0.17 0.125 0.079
0.25
0.17
0.12
100
200
400
Thí dụ 2 : Giả sử hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp may mặc:
Q= f(L) = 5 + 7 L:số công nhân
Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 công nhân thì Q= 355 dơn vị sản phẩm.
Sản phẩm biên tế của lao động tại L=2500 là:
= f’(L) = = = 0.07 khi L= 2500
Điều này có nghĩa là : khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản lượng tăng 0.07 đơn vị

dQ
(0.0001Q
3
– 0.02Q
2
+ 5Q + 500)
=0.0003Q
2
– 0.04Q + 5
Khi Q = 50, thì MC = 3.75
Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng
thêm 3.75 đơn vị tiền tệ.
Chúng ta tính MC ở một số mức sản lượng khác nhau:
Q 30 40 50 60 70 80 90
MC 4.07 3.88 3.75 3.68 3.67 3.72 3.83
Q 100 120 150 180 200 300 500
MC 4 4.52 5.75 7.52 9 20 60
Nhận xét:
-Chi phí biên là một hàm tăng
-Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn.
d. Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR:
Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng
Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay giá trị cận biên
của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị.
Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá trị cận biên cảu
doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi cảu doanh thu khi giá tăng 1 đơn vị.
Ví dụ1:
Cho hàm chi phí C =C(Q). giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí Ckhi
Q tăng lên một đơn vị.
Cho hàm chi phí trung bình để san xuất ra một chiếc máy tính là:

2
Có : MR= 1000 – 28P
Với P=10, ta có MR=720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một đơn vị tiền tệ) thì doanh
thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ.
Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì doanh thu sẽ giảm một
mức 400 đơn vị tiền tệ.
Thí dụ 3: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q= 1.000 - 14P, Q là sản lượng, P là giá bán.
Tìm MR khi P = 40 và P = 30
Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P
2
MR = 1.000 – 28 P
*Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ giảm
120 đơn vị tiền tệ.
*Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160
30 200 300
4.07
9
2
0
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ tăng
160 đơn vị tiền tệ.
Ta tính MR ở một số mức khác nhau:
P 30 32 34 35 35.5 36 38 40
MR 120 104 48 20 6 -8 -64 -120
Nhận xét:
- MR là một hàm số giảm,
- Có một mức giá MR = 0.


1.000 2
14
Q Q−
 
 ÷
 
đo lượng thay đổi của
doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
MR ở một số mức sản lượng như sau:
Q 200 300 400 500 600 700 800
MR 42.8 28.5 14.9 0 -14.9 -28.5 -42.8
Nhận xét:
- MR là một hàm số giảm,
MR
-120
30
40
P
120
- Có một mức sản lượng MR = 0
e. Lợi nhuận biên
Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A:
π
= TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)),
Trong đó:
- TR là hàm doach thu;
- TC là hàm chi phí;
- FC là định phí, VC(Q) là biến phí.
Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên là số đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thê một
đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm một đơn vị.

d
dQ
(TR – TC) < 0
Từ (1)  MR = MC, nghĩa là doanh thu biên = chi phí biên
Từ (2) 
2
2
d TR
dQ
<
2
2
d TC
dQ
.
Đã biết: Doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng.
Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo yêu cầu thị trường.

π
= TR – TC
42.8
MR
-42.8
800
Q
200
500
d
dP
π

dP
<
2
2
d TC
dP
Ta có:
π
cực đại tại MR = MC.
f. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần :
Xét hàm mục tiêu y = f(x)
x : yếu tố đầu vào; y: yếu tố đầu ra
Qui luật lợi ích cận biên giảm dần ( the law of diminishing returns) cho biết :
Khi x càng lớn thì giá trị cận biên của y càng nhỏ
Nghĩa là f’(x) là một hàm đơn điệu giảm
Điều kiện để giá trị cận biên của y giảm dần theo x là : f’’(x) < 0
Ví dụ : Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau :
Hàm cầu là P = 600 – 2Q
Hàm chi phí là TC = 0,2Q
2
+ 28Q +200
a) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là
bao nhiêu?
b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là bao
nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu?
Câu a : Có 2 cách giải quyết
Cách 1:
Hàm doanh thu : TR = PQ = (600 – 2Q)Q = 600Q -2Q
2
Hàm lợi nhuận là :

đơn vị sản lượng
Khi đó giá bán trên thị trường là :
P = 600 – 2.130 = 340 đv tiền tệ
Lợi nhuận đạt được là: – 37.180 + 74.360 – 200 = 3698 đơn vị tiền tệ.
Nhớ rằng chúng ta có thể tìm Q =
π
đạt giá trị cực đại
⇔
MR = MC
⇔
600 – 4Q = 0,4Q + 28
⇒
600 28
130
4,4
Q
−
= =
Cách 2:
Từ P = 600 – 2Q
⇒
Q = 300
2
P
−
TR = PQ = (300
2
P
−
)P = 300P -

= 36 980 đơn vị tiền tệ
Câu b: Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty nộp thuế là là 22 đơn vị tiền tệ, thì hàm chi phí là:
TC = 0,2Q
2
+ 28Q +22Q + 200 = 0,2Q
2
+ 50Q +200
⇒
MC = 0,4Q + 50
Hàm doanh thu là: TR = PQ = 600Q – 2Q
2

⇒
MR = 600 – 4Q
π
đạt tối đa khi: MR = MC
⇔
600 - 4Q = 0,4Q + 50

⇒
Q = 125 đơn vị sản phẩm.
Khi đó P = 350 đơn vị tiền tệ, lợi nhuận là 34.175
Nhận xét: Khi giá tăng từ 340 lên 350, tương đương 3% thì lợi nhuận giảm từ 36,980 xuống 34.1175
tương 7,6%
Sản lượng giảm từ 130 xuống 125 tương đương 3,8%.

h. Tiêu dùng và tiết kiệm:
Gọi I là tổng thu nhập của quốc gia; C là tiêu dùng của toàn dân và S là tiết kiệm.
( Income, Cconsumption, Save)
Tiêu dùng sẽ phụ thuộc vào thu nhập, do đó tiêu dùng là hàm số của thu nhập

 
 
, xác định xu hướng tiêu dùng và tiết kiệm biên ở mức tổng thu nhập quốc gia 400 tỉ
USD?
Tiêu dùng biên là :
3
2
3 (3 100) 3(2 6)
10
(3 100)
I I I
MC
I
 
+ − +
=
 
+
 
 
ở mức I = 400 tỉ thì :
78.000 48.018 77.8770
10 0,18 18%
1.690.000 1.690.000
MC
−
   
= = = ≈
   
   

Khi công ty sản xuất Q sản phẩm thì công ty phải bán với giá P sao cho :
Q = 2000 – P hay P = 2000 – Q
Khi đó doanh thu của công ty là : T = t(Q)
Lợi nhuận của công ty :
∏
(Q)=P(Q)Q – C(Q) – t(Q) =-2Q
2
+ (1000 – t)Q -50
Dạo hàm của lợi nhuận bằng : -4Q + 1000 – t
Từ điều kiện để lợi nhuận cực đại ta có : Q(t) = (1000 – t)/4
Vì đạo hàm cấp hai của lợi nhuận = -4<0 nên Q(t) là sản lượng làm cho xí nghiệp có lợi nhuận
cực đại. Khi đó tổng số thuế thu được là T(t) = (1000 – t)t/4
Đạo hàm của thuế là : T’(t)= ¼ (1000 – 2t)
Từ điều kiện T’(t) = 0 suy ra t = 500
Vì T’’(t) = ½ <0 nên t = 500 chính là định mức thuế để thu được nhiều thuế nhất. Khi đó sản
lượng sản xuất của công ty là Q(t) = (1000 – 500)/4 = 125
Bài toán tối đa hóa lợi nhuận và tối đa hóa doanh thu
- Tối đa hóa lợi nhuận:doanh nghiệp sẽ lựa chọn mức sản lượng mà tại đó chênh lệch giữa tổng doanh
thu và tổng chi phí là lớn nhất. điều này có thể đạt được khi đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận bằng
0

d
π
/dQ= dTR/dQ –dTC/dQ= 0 hay MC=MR
Để tối đa hóa lợi nhuận, doanh nghiệp lựa chọn mức sản lượng Qe. Tại đó doanh thu biên bằng chi phí
biên.
- Tối đa hóa doanh thu: doanh thu là hàm số của giá và sản lượng hay TR= PQ. Mức sản lượng mà tại
đó doanh nghiệp tối đa hóa doanh thu phải thỏa mãn điều kiện MR=0
Vd1: Hãng kẹo XuXu có hàm cầu là Q=100-P, hàm chi phí là
3 2

2
2
12 72
d
Q
dQ
π
= − +
2
2
(1) 60
d
dQ
π
=
>0
2
2
(11) 60
d
dQ
π
= −
<0
Từ đó
π
đạy cực đại khi Q=11,
max
(11) 918
π π

∆
Trong quản trị kinh doanh, tỷ số trên nhiều khi không cho nhà quản trị thấy rõ mối liên hệ giữa hai
biến kinh tế x và y
Thí dụ: Xét hàm cầu Q = f(q), cầu theo giá
Với ∆Q = 10 và ∆p = 1
⇒

Q
p
∆
∆
= 10 (đơn vị 1000 đ)
Giả sử hai mặt hàng:
- Máy tính:
Q
p
∆
∆
= 10.000 đồng
- Sữa hộp:
Q
p
∆
∆
= 10.000 đồng
Nhận xét:
- Đối với sữa hộp cho bé, chênh lệch 10.000 đồng là rất có ý nghĩa.
- Đối với máy tính, sự chênh lệch 10.000 đồng không cho thấy sự khác biệt nào.

Để giả quyết vấn đề này, các nhà kinh tế định nghĩa:

c. Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá p và Q
D
= f(p)
Định nghĩa:
Độ co dãn của cầu theo giá (ở mỗi mức giá) là số đo sự thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá
tăng 1%

D
D D
D
D
Q
Q Q p
E
p
p Q
p
∆
∆ ∆
= =
∆
∆
∆
, Khi
∆
p
→
0
Thì
'( )

QP
=(120P+12) = = 1.99
Kết luận: điều này có ý nghĩa là với mức giá P=5 thì khi giá tăng 1% lượng cầu sẽ tăng 1.99%
Vd2: Hàm cung và hàm cầu của đĩa vi tính trên địa bàn An Giang lần lượt là: Q
S
=5P + 90, Q
D
=250 –
15P. Tính hệ số co dãn theo giá của cung và cầu tại điểm cân bằng.
Giải:
Tại thời điểm cân bằng, ta có:
Q
S
= Q
D
5P + 90 = 250 – 15P
20P = 160
P = 8
Với P = 8, ta có: Q
S
= Q
D
= 130
Hệ số co dãn theo giá của cung và cầu tại thời điểm cân bằng:
8
5 0,308
130
8
15 0,923
130

∆TU
( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục)
MU
x
=
dQx
dTU
( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục)
Với hàm nhiều biến, thì hàm hữu dụng được cho là :
U = U (x
1
, x
2
,…, x
n
)
Thì U
i
=
i
dx
dU
: Hữu dụng biên tế của sản phẩm thứ i
MU
i
=
i
x
U
∂

D = f(t,c)
Trong đó: t: Thịt , c: Cá
U : là dụng ích của bé khi tiêu thụ (t,c)
Thì
2
2
t
U
∂
∂
=
2
2
t
f
∂
∂
< 0 =>
t
U
∂
∂
= MU
t
: giảm khi thịt tăng, cá không đổi.
Và :
2
2
c
U

2
K
Q
∂
∂
=
2
2
K
f
∂
∂
< 0 =>
K
f
∂
∂
= MP
K
: giảm khi K tăng, L không đổi.
Và:
2
2
L
Q
∂
∂
=
2
2

được định nghĩa là:
E
y
xj
=
j
x
y
∂
∂

y
x
j
,
Thí dụ:
∀
j =
n,1
Với hàm sản xuất Q = AK
α
L
1-
α

; A < 0, 0 < α <1
E
K
=
K

L
= ( 1 - α) AK
α
L
1-
α

Q
L
1 - α
Vấn đề quản trị : Một công ty sản xuất sản phẩm A có hàm sản xuất là Q = f(K,L)
K : Tư bản, L : nhân công
Gọi:
α : Giá thuê tư bản, β : giá thuê lao động,
C
o
: Chi phí cố định.
P : Giá bán do thị trường quyết định
Câu hỏi đặt ra : Công ty sử dụng các yếu tố đầu vào như thế nào để đạt được lợi nhuận
tối đa?
Đặt bài toán : Gọi R = pQ = pf(K,L), C = αK + βL + C
o
: chi phí cho việc sản xuất A.
Hàm lợi nhuận : π = R – C = pf(K,L) – (αK + βL + C
o
)
Việc sử dụng K và L như thế nào để có lợi nhuận tối đa => Tìm cự trị cùa hàm lợi nhuận
π
Ta có:


∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
⇔=−
∂
∂
=
∂
∂
ββ
π
αα
π
L
f
p
L
f
p
L
K
f
p
K
f

<
<−
0
0
0
2
t
r
rts
⇔





<
<
−
>
0
0
02
t
r
srt
(2)
Điều kiện (1) : Cho chúng ta biết rằng : Điều kiện cần để công ty đạt lợi nhuận tối đa là :
công ty sử dụng các yếu tố đầu vào sao cho sản phẩm biên tế của tư bản (tính bằng tiền) bằng
chi phí tư bản, và sản phâm biên tế của lao động bằng chi phí lao động.
Điều kiện (2) : Cho thấy sự tương quan của 2 yếu tố K và L đến lợi nhuận tối đa của

(1)





=⇒=+−=
∂
∂
=⇒=+−=
∂
∂
2501004
100404
LL
L
KK
K
π
π

(2)














∂∂
∂
LK
π
-








∂
∂








∂
∂

2
của giường xếp
Hàm tổng chi phí là: TC =
2
1
Q
+ 5Q
1
Q
2
+
2
2
Q
Trần Hiền nên định giá bán 2 loại sản phẩm là bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa?
Ta có :
22
11
248
456
QP
QP
−=
−=
Hàm doanh thu : TR = Q
1
P
1
+ Q
2

2
-
2
1
Q
-

5Q
1
Q
2
-
2
2
Q
= 56Q
1
+ 48Q
2
- 5
2
1
Q
- 3
2
2
Q
- 5Q
1
Q

QQ
Q
π
π
⇔



=+
=+
4865
56510
21
21
QQ
QQ
⇒ Q
2
≈ 6 ; Q
1
≈ 3







<−=
∂

21
2
<−=−−−−=
∂
∂
×
∂
∂
−
∂∂
∂
LK
QQ
πππ
Vậy sản xuất đạt lợi nhuận tối đa ở mức giá là:
P
1
= 56 – 4.3 = 44 (đv : 10.000đ) = 440.000đ/1 sản phẩm
P
2
= 48 – 2.6 = 36 (đv : 10.000đ) = 360.000đ/1 sản phẩm
Thí dụ 2 :
Công ty Vissan sản xuất thịt hộp và lạp xưởng phục vụ Tết âm lịch 2008
Các thông tin được cho như sau:
- Lạp xưởng : Q
1
, giá thị trường P
1
= 80.000đ/ 1kg
- Thịt hộp : Q

1
+ P
2
Q
2
= 80Q
1
+ 50Q
2
Hàm lợi nhuận là : π = TR – TC = 80Q
1
+ 50Q
2
- 4
2
1
Q
- 5
2
2
Q
- 3Q
1
Q
2
Điều kiện cần để Vissan có lợi nhuận tối đa là :



=+

Q
π
π
Giải hệ phương trình này ta được:
71980
103
38
=−==D
Được :
9
71
650
650150800
1050
380
1
1
≅=⇒=−== QD
Q
5,2
71
160
160120400
503
808
2
2
≅=⇒=−== QD
Q
Ở tổ hợp (Q



∂
∂








∂
∂
−








∂∂
∂






9
2
1
Q
Q
Tức sản xuất 9 đơn vị sản phẩm lạp xưởng và 2,5 đơn vị sản phẩm thịt hộp.
3. Bài toán tìm mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa:
Giả định công ty có sản phẩm A, bán trên 2 thị trường khác nhau, với 2 mức giá khác nhau, 2
hàm cầu khác nhau. Tìm mức sản lượng cần phân bổ sao cho công ty đạt lợi nhuận tối đa?
Gọi: Q
1D
=D
1
(P
1
); Q
2D
=D
2
(P
2
), trong đó:
Q
1D
, P
2
là cầu và giá bán trên thị trường thứ 1
Q
1D
, P

2
)
Doanh thu thị trường 1: R
1
(Q
1
) = P
1
(Q
1
)Q
1
.
Doanh thu thị trường 2: R
2
(Q
2
) = P
2
(Q
2
)Q
2
Tổng doanh thu: TR = R
1
(Q
1
) + R
2
(Q

δ
δπ
= R
'
2
- C
'
Từ điều kiện để có cực trị:

1
Q
δ
δπ
= 0;
2
Q
δ
δπ
= 0
⇒
MR
1
= MR
2
= MC (*)
Từ (*) ta có kết luận rằng: Để đạt lợi nhuận tối đa, số lượng sản phẩm A cần phân bố cho hai
thị trường sao cho doanh thu biên tại 2 thị trường bằng nhau và bằng chi phí biên.
4. Ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh doanh:
Bài toán 1:
Một sinh viên, mỗi tháng được bố mẹ cho 1.500.000đ, sau khi trừ các khoản chi tiêu bắt

4
10
x +10; U
x
’ = 0
⇒
x = 4, y = 5
U
max
tại (x = 4,y = 5).
Cách 2 : Dùng phương pháp Lagrange
Tìm cực trị của U(x,y) = (x + 4)(y + 5) (1)
thỏa điều kiện 5x + 4y = 40 (2)
Hàm Lagrange L(x,y) = (x + 4)(y +5) + (40 – 5x – 4y) (3)
L
x
= y – 5
α
+ 5 = 0
Lập hệ phương trình L
y
= x – 4
α
+ 4 = 0 (4)
L
α
’ = 40 – 5x – 4y = 0
Giải hệ phương trình (4) ta được nghiệm là (4,5,2), tronh đó
α
= 2

Giải: Dùng phương pháp Lagrange
Vấn đề được đưa về bài toán tìm cực trị có điều kiện như sau:
Tìm cực trị:
C
A
+ C
B
= 0,01x
2
+ 70x + 9300 + 0,015y
2
+ 72y + 5200
= 0,01x
2
+70x + 0,015y
2
+ 72y + 14.500
Thỏa điều kiện: x + y = 5.000 sinh viên (2)
Hàm Lagrange:
L(x,y,
α
) = 0,01x
2
+ 70x +0,015y
2
+ 14.500 +
α
(5.000 – x –y) (3)
Lập hệ phương trình:
L

1. Toán cao cấp C1 và một số ứng dụng trong kinh doanh
2. Toán cao cấp ( Đậu Thế Cấp)
3. Toán cao cấp (Lê Sĩ Đồng)
4. Tài liệu tham khảo của Thạc Sĩ Hứa Thành Xuân. Email:
5. Và sự giúp đỡ của các anh chị khóa trước.