Ti liu ụn thi vo THPT
Chuyên đề thực hiện phép tính, rút gọn
biểu thức
I. Lý THUYếT
1.Định nghĩa.
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
* Với a > 0, có hai căn bậc hai của a là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là,
a
số âm kí hiệu là
a
.
* Với a

0,
a
đợc gọi là CBHSH của a.



=

=
ax
x
ax
2
0
2. So sánh CBHSH.
* a, b là các số không âm: a < b


0 )
2.
AB A B
=
(A, B

0 )
7.
1A
AB
B B
=
(A B

0, B

0
3.
A A
B
B
=
(A

0, B > 0 )
8.
A A B
B
B

(A, B

0 )
10
.
( )
2 2
T a A b B
T
a A b B
a A b B
=


m

A
xỏc nh khi A

0
-iu kin phõn thc xỏc nh l mu khỏc 0
- Kh mu ca biu thc ly cn v trc cn thc mu
- By hng ng thc ỏng nh
- Quy tc rỳt gn v i du phõn thc,quy tc du ngoc
- Cỏc phộp toỏn cng , tr, nhõn, chia phõn thc
VD : Tìm x để biểu thức sau có nghĩa :
a;
12 +x
b;
x2

+Phn bin thỡ phõn tớch thnh tớch ca cỏc lu tha vi s m chn
-Nu biu thc ch cha phộp cng v tr cỏc cn thc ta tỡm cỏch bin i v cỏc cn ng dng
- Nu biu thc l tng , hiu cỏc phõn thc m mu cha cn thỡ ta nờn trc cn thc mu trc,cú
th khụng phi quy ng mu na.
-Nu biu thc cha cỏc phõn thc cha rỳt gn thỡ ta nờn rỳt gn phõn thc trc
-Nu biu thc cú mu i nhau ta nờn i du trc khi
-Ngoi ra cn thc hin ỳng th t cỏc phộp tớnh ,chỳ ý dựng ngoc ,du - , cỏch vit cn
Chỳ ý : Mt s bi toỏn nh : Chng minh ng thc , chng minh biu thc khụng ph thuc vo
bin cng quy v Rỳt gn biu thc
3) Tớnh giỏ tr ca biu thc
-Cn rỳt gn biu thc trc.Nu biu thc cú cha du giỏ tr tuyt i thỡ nờn thay giỏ tr ca bin vo
ri mi rỳt gn tip
-Nu giỏ tr ca bin cũn phc tp thỡ ngh n vic rỳt gn trc khi thay vo tớnh
4) Tỡm bin biu thc tho món 1 iu kin no ú
-Cn rỳt gn biu thc trc
-Sau khi tỡm c giỏ tr ca bin phi i chiu vi KX
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]
2n
,

n Z y M
Do đó y
max
= M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]

34
1
23
1
12
1
+
+
+
+
+
3)
1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
− − +
4)
0a Víi ≥+− a49a16a9
5)
a a b
ab
b b a
+ +
9)
222.222.84 +−+++

8 2 2 2 3 2 2
10)
3 2 2 1 2

2
)21( −

22
)32()23( −+−

72328 +−
12527220126 +−−
963252254421671123 −−+−
8012552 −−
32450823 −+−
98324551475803182 −+−−
7534823227 −+−
503218423 −+−
1471227532 −+−
12580345220 +−−
12527220126 +−−
15063542244 −+−
DẠNG 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho biểu thức A =
2 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
+
+ +
 ÷
 ÷
− + + −

4≠
)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
3
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bài 3 : Cho biểu thức M =
2
( ) 4a b ab a b b a
a b ab
− + −
−
+
( a , b > 0)
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm a , b để M = 2
2006
Bài 4: Cho biểu thức : M =








−
−








−
−
+








−
−
−
−
2
2
:
2
3
2
4
x

−
+
−
+
1
2
1:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B.
x
= 4/5
Bài 7: Cho biểu thức : M =








−

c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 8: Cho biểu thức : A = 1 :








+
+
+−
−
−
+
−+
1
1
1
1
1
22
xxx
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4
3

11
1
:
1
1
1
1
x
x
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
347 −
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
4
Tài liệu ôn thi vào THPT
c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 10: Cho biểu thức : A =
3
2 1 1
.
1 1
1
x x x x





−
−
−+−
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 12: Cho biểu thức : B =








+
−






−
+
−+
−
+
+
xxxx
x
2
1
6
5
3
2
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
32
2
+
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 14: Cho biểu thức : M =











−
−
−








−
−
+
−−
−+
2
3
1:
3
1
32
4
x







+
−
−
−
−
−
+
a) Rút gọn P.
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
5
Tài liệu ôn thi vào THPT
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
Bài 17: Cho biểu thức : M =








+
+








−
+
+
−








++
−
−
+
x
x
xxx
x
x
x
1







−
−
+
−
−
+ xx
x
x
x
x
x
xx
x
2
2
2
3
:
4
23
2
3
2
a) Rút gọn B.

+
+
+
1
11
1
:1
11
1
xy
xxy
xy
x
xy
xxy
xy
x
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 2 -
3
và y =
31
13
+
−
Bài 21: Cho biểu thức : B =





9
=
y
x
Bài 22 : Cho biểu thức :








+
−








−
+
+
−
+
−
+−

( )
1
122
1
2


+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca P.
c) Tỡm x biu thc
P
x
Q
2
=
nhn giỏ tr l s nguyờn
Bi 24: Cho biu thc :

=
x
xx
x
x
x
P
a) Rỳt gn P
b) Tỡm x
2>
x
P
Bi 25: Cho biu thc :










+







2
1x
x1
1
x1
1








+
+

1. Tỡm iu kin ca x biu thc A cú ngha.
2. Rỳt gn biu thc A.
3. Gii phng trỡnh theo x khi A = - 2.
Bi 27: Cho biu thc A
11
=
( )







a> Rút gọn A
11
b> Tính A
11
với x=6 - 2
5
Bài 28: Cho biểu thức: M = (
aa +

1
1
1
1
)(1-
a
1
), ĐK: x > 0, x

1.
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ Tính giá trị của M khi a =
9
1
.
Bài 29: Cho biểu thức:
P =





M =
11
21
+
+
+

+
x
xx
x
xx
.
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định và rút gọn biểu thức M.
b/ Tìm x để M < 1.
Bài 31: Cho biểu thức:
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
7
Ti liu ụn thi vo THPT
P =



















x
x
1
:








+

+

xx
x
x
x 11
; x > 0;



+
1
4
1
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
; x

0, x 1
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 34: Cho biểu thức:
M =
( )
1
122
:
11

+














+
+

x
xx
x
x
; x

0 , x 1.
a/ Rút gọn biểu thức Q
b/ Tìm GTNN của Q và giá trị tơng ứng của x.
Bài 36: Cho biểu thức:
M =






2
; x> 0 , x 1.
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ Tìm x để P =
2
1
c/ / Tìm GTNN của P và giá trị tơng ứng của x.
Bài 37: Cho biểu thức:
C =
( )
;
1
2
:
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x


















=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
8
x
x
x
x
xx
x
x
xx

:
11

+






+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a)Rút gọn B;
b)Với giá trị nguyên nào của a thì B

Z.
CHUYÊN Đề Về HàM Số
I . Lí THUYT
a) Hm s bc nht : y = ax + b (a

0)

a
b
; 0)
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
9
Tài liệu ôn thi vào THPT
Nối A,B trên hai trục tọa độ ta được đồ thị hàm số (d)
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua A(x
A
; y
A
) và song song với đường thẳng cho trước :
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d)
Do (d) đi qua A(x
A
; y
A
) và ssong song với đt … nên y
A
= ax
A
+ b và a = a
’
từ đó thay vào tìm b
Thay a, b tìm được vào phương trình ban đầu ta được phương trình cần tìm
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua A(x
A
; y
A

0)
Hàm số bậc nhất : y = ax
2
(a
≠
0). Nếu a > 0 hs đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0 đồ thị nằm trên trục
hoành . Nếu a < 0 hs đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 đồ thị nằm dưới trục hoành .
Cách vẽ đồ thị : lập bảng giá trị …
B. BÀI TẬP
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất.
Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5
c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5.
a)
Vẽ đồ thị với m=6.

1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm
a)A(-1 ; 3) ; b) B(
2
; -5
2
) ; c) C(2 ; -1)
2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần tư thứ IV
Bài 6: Cho (d
1
) y = 4mx - ( m+5) ; (d
2
) y = ( 3m
2
+1).x + m
2
-4
a) Tìm m để đồ thị (d
1
)đi qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi thì (d
1
)luôn đi qua một điểm A cố định, (d
2
) đi qua B cố định.
c) Tính khoảng cách AB
d)Tìm m để d
1
song song với d
2
e)Tìm m để d

2
1
), B(4;8) , C(
2
;1) có thuộc đồ thị hàm số không?
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
11
Tài liệu ôn thi vào THPT
d. M, N là các điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ là 2, - 4.
Viết phương trình đường thẳng MN.
e. Tìm giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với đồ thị hàm số trên.
g. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3; 4) và tiếp xúc với đồ thị hàm
số trên.
h. Chứng minh đường thẳng y = mx + m + 3 luôn cắt đồ thị hàm số trên với
∀m. Gọi 2 giao điểm là A, B. Tìm m để:
x
2
A
+ x
2
B
- x
A
x
B
= - 3 ; x
A
+ x
B

a) Vẽ ( P) và ( d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Gọi A, B là các giao điểm của ( P) và ( d). Tìm M trên cung AB của ( P) sao cho S
MAB
lớn nhất
c) Tìm N trên trục hoành sao cho NA+NB nhỏ nhất
Bài 12: Cho Parabol ( P): y = 3x
2
trong hệ trục toạ độ Oxy. Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt ( P
’
) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB
Bài 13: Cho Parabol y =
2
2
1
x−
và điểm M(1, -2).
1. Chứng minh rằng: Phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân
biệt A, B với
∀
k.
b. Gọi x
A
, x
B
lần lượt là hoành độ của A và B, xác định k để
)(2
22
BABABA
xxxxxx +−+

c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ thị
và đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
Bi 2: cho hàm số (p): y=x
2
và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d
1
vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân
biệt C,D sao cho CD=2.
Bi 3: Cho (P): y=x
2
và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao
điểm của (a) và (d).

2
) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x
1
+y
1
+x
2
+y
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bi 7: cho hàm số y=
x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1-
2
)
2
+ x=m
2
-m+1
+ x=(m-n)
2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc
đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm
số y= x-6
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:

a.
chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt.
b.
gọi y
1
, y
2
kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức
y
1
+y
2
= 11y
1
.y
2
Bi 12: cho hàm số y = x
2
(P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng thẳng
AB.
c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Bi 13: a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y = 2x
2
tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y = x
2

2)Một số dạng toán quy về giải HPT:
- Viết phương trình đường thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng
- Giao điểm của hai đường thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của HPT)
- Ba đường thẳng đồng quy
- Xác định hệ số của đa thức , phương trình…
3)Giải phương trình bậc nhất 1 ẩn
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phương pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất
nhiều trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra
II. Dạng 2 : Hệ phương trình chứa tham số
1)Cho HPT :
9 3
x my o
mx y m
− =


− = −

a) Giải HPT với m = -2
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
15
Tài liệu ôn thi vào THPT
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên
f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

4)Cho hệ phương trình



=+
=−
2myx
1ymx
a.Giải hệ phương trình theo tham số m.
b.Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
5)Cho hệ phương trình :
( 1) 3
.
a x y
a x y a
+ − =


+ =

a) Giải hệ với
2a = −
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0
6)Cho hệ phương trình
2
3 5
mx y
x my
− =

m x my m
x y m
=


= +

a) Gii h phng trỡnh vi m = 2
b) Tỡm m h cú nghim duy nht (x;y) m S = x
2
+y
2
t giỏ tr nh nht
9) Bằng đồ thị, chứng tỏ rằng hệ phơng trình:



=+
=
32
13
yax
yx
a) Có nghiệm duy nhất với a = 2;
b)Vô nghiệm với a = -6.
10) Bằng đồ thị, chứng tỏ rằng hệ phơng trình:



=+

2
: (m - 1)x + 2ny = 5
a. Xỏc nh m,n bit d
1
ct d
2
ti im (2;- 4)
b. Xỏc nh phng trỡnh ng thng d
1
bit d
1
i qua im (-1; 3) v ct ox
ti mt im cú honh l - 4.
c. Xỏc nh phng trỡnh ng thng d
2
bit d
2
i qua im 7 trờn oy v song
song vi ng thng y - 3x = 1
5) Gi s ng thng (d) cú phng trỡnh y = ax+ b.
Xỏc nh a, b (d) i qua hai im A (1;3) v B (-3; 1)
6) Tỡm giỏ tr ca m cỏc ng thng sau ct nhau ti mt im:
y = 6 - 4x ; y =
4
53 +x
; v y = (m 1)x + 2m.
7)Trong h trc to Oxy, cho hm s y = 2x + m (*)
a)Tỡm m th hm s (*) i qua im
A(-1 ; 3) ; B(
2

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng
11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m
2
) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng.
12)Chứng minh 3 đường thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm.
Dạng 4 : Một số bài toán giải hpt bằng cách đặt ẩn phụ :
1







=+
=−
5
42
1
11
yx
yx
5






1
2
13
2
2
21
yx
yx
2







=+
+
=+
+
1
5
1
2
1
3
1
2
yx
yx


=
+
−
+
=
+
+
+
3
12
5
3
yxyx
x
yxyx
x
3







=
−
−
−
=

+
1
1
3
1
3
11
2
y
y
x
x
y
y
x
x
11







=
+
−
−
−=
+

2
2
2
1
2
2
2
yx
yx
8







=+
=+
15
2
5
1
6
1
4
311
yx
yx
12

A. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX = C
Phương pháp giải : Biến đổi tương đương phương trình về dạng : ax = c
-Nếu a khác 0 thì phương trình có 1 nghiệm : x = c/a
-Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0
-Nếu a chưa rõ ta phải xét tất cả các trường hợp (biện luận)
Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thường phá ngoặc . –Nếu có mẫu thường quy đồng rồi khử
mẫu
-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử .– Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu Chỉ được cùng nhân ,chia 1số
khác 0
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
Phương pháp giải : Biến đổi tương đương Pt về đúng dạng ax
2
+ bx + c = 0
- Dạng khuyết ax
2
+ bx = 0 thì đưa về dạng phương trình tích x(ax + b) = 0
- Dạng khuyết ax
2
+ c = 0 thì đưa về dạng x
2
= m
- Nếu b = 2b’ mà b’ đơn giản hơn b thì dùng CTNTG
- Còn lại thì dùng CTN
1. C«ng thøc nghiÖm:
∆
= b
2
– 4ac
∆

∆
’ = b’
2
– ac. (
2bb =
′
)
∆
’ < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
∆
’ = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x
1
= x
2
= -
a
b'
∆
’ > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a
b
x
∆
′
+
′
−
=
1

a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S
2
4P

0
21
a
c
xx .
,
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:





=



0
0
21
a
c
xx .
,
;
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng








==
=+=



0
0
0
21
21
a
c
xxP
a
b
xxS
.
,
;
4.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+

2
2
1
2
2
2
1
211
P
PS
xx
xx
xx

=
+
=+
).(
;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332
32
21
2
221
2
1212
2

(3).
Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phương
trình (1).
Dạng 2: Đưa về PT chứa dấu :
-Nếu trong căn viết được dứa dạng bình phương thì đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên ngoài biến đổi được giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn phụ là không
âm)
Dạng 4 : Dùng phương pháp bình phương 2 vế :
Chú ý : Khi bình phương 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm
-Dạng
A B A B m+ + − =
thường bình phương 2vế
V: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trước hết phải tìm ĐKXĐ
Phương pháp giải : 1) Thông thường - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo
3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)
VI : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO -Đưa về Pt tích -Đặt ẩn phụ
B.BÀI TẬP
a. 3x+5 = x-1 h. (2x+3)
2
-(4x-7)(x+5)=0
b.
5 3 2
3
4 6
x x
− +
− =
i. 7(x+4)-3(6-x)=0

+
+
−
x
x
xx
x
m.
23
55
23
1
2
2
2
+
−
−








+
−
x
x

=
+
+
−
−
+
t.
1x4x4
2
+−
= 20085 u) =
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm
Có thể xảy ra 6 trường hợp
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
21
Tài liệu ôn thi vào THPT
-Muốn chứng minh PTB2 luôn có nghiệm , có 2 nghiệm pb , vô nghiệm ta chứng minh
Luôn không âm ,luôn dương , luôn âm.
-Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vô nghiệm ta giải bất phương trình …
Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phương pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo Vi-et
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm
Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình phương rồi suy ra
-Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng
2
1 1
0ax bx c+ + =
;

Xét phương trình bậc hai:
0
2
=++ cbxax
(a
)0≠
Có
acb 4
2
−=∆
P =
a
c
xx =
21
S =
a
b
xx −=+
21
Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước hoặc xét
dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét .
1. Phương trình có 2 nghiệm dương
⇔





〉

Cách 1: Có P
〈
0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm không âm)
Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:





〉
≥∆
〉
0
0
0
S
P
Thì hai nghiệm đều dương.
Cách 2:
Trước hết phải có
0≥∆
khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :
S > 0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)
Hoặc S = 0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc
0,0
≤〈
PS
( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)



<−−+
<+−
⇔
044
0128
2
2
2
mm
mm





<<
−<<
<<
⇔
21
23
62
m
m
m
(không
xảy ra)
* Trường hợp 2: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x

mxx
mmmxx
.
Thử lại với m = 2 thì hai phương trình tương đương vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2
Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô nghiệm thì hai phương trình đó cũng
là hai phương trình tương đương. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai trường hợp, trường hợp cả hai
phương trình vô nghiệm và trường hợp cả hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm.
VD4: Tìm m, n để phương trình x
2
– (m + n)x -3 = 0 (1)
và phương trình x
2
– 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) tương đương.
Hướng dẫn:
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
23
Tài liệu ôn thi vào THPT
PT(1) có
( )
nmnm ,012
2
∀>++=∆
nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
Do đó PT(1) và PT(2) tương đương khi hai phương trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:



Với bài toán này ta đã chỉ ra được một phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, nên để cho hai phương
trình tương đương thì phương trình còn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm của phương trình trên.
Áp dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm được m, n
B. BÀI TẬP
Bài 1: Cho phương trình mx
2
+(2m-1)x+(m-2)=0
1. Giải phương trình với m = 3
2. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+x
2
2
=2006
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 2: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2mx + m – 2 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại.
Bài 3 : Cho phương trình: x
2
-(m+1)x + m = 0
a) giải phương trình với m = 3

2
2
nhỏ nhất .
Bài6: Cho phương trình x
2
+mx+m-1=0
a) Giải phương trình với m=3
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của phương trình
Bài 7: Cho phương trình: x
2
+( 2m+1 ).x+m
2
+m-2=0
a) Giải phương trình với m= 4
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
c) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phương trình. Tính theo m: ( x
1
+1) ( x
2
+1)+ 7x
1
x
2
.
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh

2
)
Bài 9: Cho phương trình 2x
2
+6x+m=0
a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phương trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn
5
1
2
2
1
≥+
x
x
x
x
Bài 10: Cho x
2
-2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm m để x
1
-3x
2
=5
Bài 11: Cho phương trình : x
2
– (m + 5)x – m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai nghiệm x

2
1
- 2mx
1
+ 2x
2
2
+ m
e. Tính m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dương.
g. Với điều kiện nào của m thì
21
xx −
= 4 ; 2x
1
+ x
2
= 0 ;
(x
1
+ 3x
2
)(x
2
+ 3x
1
) = 8 ; x
2
2
- (2m + 1)x
2

= 5
Bài 14: Cho phương trình:
x
2
– 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tính:
a. x
2
1
+ x
2
2
d. x
5
1
+ x
5
2
h.
2
1
1
x
x +
+
1
2