HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho chương trình lớp 9 và ôn thi vào lớp 10)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở
thành bậc nhất một ẩn .
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó:
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=


⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a

1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =



- Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P≥
thì u, v là hai nghiệm của
phương trình x
2
– Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= -1; x
2



>

- (1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


<

- (1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện
nào đó.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =

1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt

=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2. Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.

,
x
2
là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai
nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2

= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−

( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c


⇔


=


+ =

1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −



+ = −
⇔


= −

+ =


mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷
   
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4

x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
Bài 2: Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương
trình. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C

1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 5: Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép
(nếu có) cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2

;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.
Bài 7: Cho phương trình x
2
+ (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm m và nghiệm còn lại.
c) Tìm m để
1 2
2 1
x x
2
x x
+ =
.
d) Tìm m để
( ) ( )
1 2 1 2
2x x x 2x 0+ + ≥
.
e) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1

2
- 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
1/ Giải phương trình với m = 3
2/ CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1): Tìm m để:
B = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) < 4.
Bài 11 : Cho phương trình:
01m1)x(2m2x
2
=−+−+
a, Giải phương trình với m = 2
b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m
c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1

+ x
x
x
x

Bài 14 : Cho phương trình : x
2
- 2m .x + m
2
- 9 = 0
a) Định m để phương tình có một nghiệm bằng 4 .Tính nghiệm còn lại
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
x
1
.x
2
- 2 ( x
1
+ x
2
) < 23
Bài 15 : Cho phương trình : 3x
2
– ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
b) Giải phương trình với k = 1

A
+ b.
2. Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
Xét hai đường thẳng: (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
với a
1
≠ 0; a
2
≠ 0.
- Hai đường thẳng song song khi a
1
= a
2
và b
1
≠ b
2
.
- Hai đường thẳng trùng nhau khi a

- Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
- Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
; y
A
) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
2
.
4. Vị trí của đường thẳng và parabol
- Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax
2
:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am
2
).
- Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax
2
:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x =
m
a
±
+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
- Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) và parabol y = ax

x
x 1
4
⇔ − = +
. Nhận thấy đồ thị của hai hàm số vừa
vẽ là đồ thị của
2
x
y
4
= −
và
y x 1= +
.
Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc nhau tại A nên phương trình có nghiệm
kép là hoành độ của điểm A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có
tung độ là - 4. Tìm giao điểm còn lại của (d
1
) với (P).
VD3: Cho (P): y =
2
1
x
4
và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hoành
độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).

3
1
−
; -2 .
b) Biết f(x) =
2
1
;
3
2
;8;
2
9
−
tìm x .
c) Xác định m để đường thẳng (D) : y = x + m – 1 tiếp xúc với (P) .
Câu 3: Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m + 3 .
a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3 .
c) Tìm m để đồ thị các hàm số y = - x + 2 ; y = 2x –1và y = (m – 2 )x + m + 3
đồng quy .
Câu4: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2 , 2 ) và đường thẳng (D): y = - 2(x +1)
a) Điểm A có thuộc (D) hay không ?
b) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P) đi qua A .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (D) .
Câu 5: Cho hàm số : y = -
2
2

2
−
x + n
a) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với (P) nếu n = 1
Câu 9: Cho hàm số y = -2.x
2
có đồ thị là (P) và đường thẳng (D
k
) : y = - k.x + k .
Định k để (D
k
)
a) Không cắt (P)
b) Cắt (P)
c) Tiếp xúc với (P) .Tìm tọa độ tiếp điểm trong trường hợp này
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
- Quy đồng khử mẫu.
- Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
- Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

.
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5. Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6. Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương
pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai
phương trình.
7. Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình
bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi
chiều bất phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5

+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +

a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
- Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠

a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
- Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
- Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
- Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3. Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8


   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v

x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82;b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) ;d)

ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3: Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
4: Cho hệ phương trình




c) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng(1) và (2) của hệ cắt nhau tại một điểm
thuộc góc phần tư thứ II của hệ trục Oxy
6: Cho hệ phương trình



=+
=−
42
2
myx
ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức: 2x - y +
1
2
2
2
=
+
+
m
m
7: Cho hệ phương trình



−=−
=+
43ny2mx





=+
=−
nyx
nymx
2
5
a, Giải hệ khi m = n = 1 ; b, Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm



+=
−=
13
3
y
x
CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TỔNG HỢP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp chứng minh
- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
- Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.
- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc
bằng nhau.
- Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.
- Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp.
(Trong đó

d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP.
2: Cho tam giác ABC cân tại A, một cung tròn phía trong tam giác tiếp xúc với AB,
AC tại B và C. Từ điểm D trên cung BC kẻ các đường vuông góc DE với BC, DF với
AC và DG với AB. Gọi M là giao điểm của BD và GE, N là giao điểm của EF và DC.
Chứng minh:
a) Các tứ giác BEDG và CEDF nội tiếp.
b) DE
2
= DF.DG
c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy ra MN vuông góc với DE.
d) Nếu GB = GE thì EF = EC.
3: Từ điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ các đường vuông góc
hạ xuống ba cạnh của tam giác
MH AB; MI BC; MK AC⊥ ⊥ ⊥
. Chứng minh:
a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp.
b) Ba điểm H, I, K nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Simson).
4: Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong
của góc BAC cắt đoạn BC tại D, cắt đường tròn tại M, đường phân giác ngoài của
góc BAC cắt đường thẳng BC tại E, cắt đường tròn tại N. Gọi K là trung điểm của
DE.
Chứng minh rằng:
a, MN vuông góc với BC tại trung điểm I của BC.
b, Góc ABN = góc EAK
c, KA là tiếp tuyến của đường tròn(O)
5: Cho đường tròn đường kính AB trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa AC,
từ C kẻ đường thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D (D≠C). Nối DA cắt
đường tròn tại M, nối DB cắt đường tròn tại K.
1. CM: Tứ giác ADCN nội tiếp
2. CM: AC là phân giác của góc KAD

Bước 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5. Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
*Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi
hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận
tốc xe máy 20km/h.
Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10 3x
x :
3 10
=

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h
5 2x
x :
2 5
=
Từ đó có phương trình
2x 3x
20
5 10
− =

h
10
x
3

Ôtô x + 20 2h30ph =
5
2
h
( )
5
x 20
2
+
Từ đó có phương trình
( )
10 5
x x 20
3 2
= +
, giải được x = 60 km/h.
*Nhận xét: Trong các cách làm đó thì cách thứ nhất là ngắn gọn nhất.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ.
Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp,
tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
2: Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số
bằng 18. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 54.
Tìm số ban đầu.


/h, cho nên đã bơm đầy bể sớm hơn dự kiến là 1h 40’. Hãy tính công
suất của máy bơm theo kế hoạch ban đầu.
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Phương pháp giải: Sử dụng các phép biến đổi đế rút gọn, từ đó làm các câu hỏi
phụ tương ứng. Cần lưu ý đặt ĐKXĐ trước khi rút gọn nếu đề không cho.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ.
VD1: Rút gon các biểu thức sau:
a)
3 2 6 150 1
.
3
27 3 6
 
−
−
 ÷
 ÷
−
 
b)
( )
21 12 3. 12 3− +
c)
4 7 4 7
4 7 4 7
− +
+
+ −
Giải:

( ). .
3 3 3 3
6 6
− −
− = =
b)
( )
21 12 3. 12 3− +
=
( ) ( )
2
12 3 . 12 3− +
=
( ) ( )
12 3 12 3− +
= 12 - 9 = 3
c)
4 7 4 7
4 7 4 7
− +
+
+ −
=
( )
( )
( )
( )
2 4 7 2 4 7
8 2 7 8 2 7
8 2 7 8 2 7

− +
 
− −
+
 ÷
 ÷
−
+ −
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A > 1.
Giải:
a) ĐK: a > 0, b > 0, a
≠
b
A =
a - ab + b
ab
b) Với a > 0, b > 0, a
≠
b; ta có:
( )
2
0 2 0 1
a ab b
a b a ab b a ab b ab
ab
− +
− > ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ >
Vậy A > 1

+= víi
1/ Rút gọn A
2/ Tính giá trị của A khi
223x +=
3/ Tìm giá trị của x để A < 1
2
1
: 1) ;
( 1).( 1) ( 1).( 1)
1 ( 1) 1 1 1
: .
1 1
( 1).( 1) 1 1
x x
Lg
x x x x
x x x x x x x x
A
x x
x x x x
   
+ +
≥ ≠ = + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
− + − +
   
+ + − + + + + +
= = =

− − −
⇒ − < ≤ ≠
⇒ ≤ < ⇒ ≤ <
Vậy:
0 1x
≤ <
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Cho biểu thức
2
6x 2x 3xy y
A
6x 3y
+ − −
=
−
a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
2: Cho biểu thức
P =
3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
x
x x x x x
   
− + +

+ − +
 
   
 
a) Rút gọn P
b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1
c) Biết Q =
1 3x
P
x
+
−
Tìm x để Q max.
4: Cho
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
P
−
+
−
−
+
−
+−
−
=

.
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x −








++
+
−
−
−
a) Rút gọn A
b) Tìm điều kiện của x để A > 0
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất
7: Cho biểu thức : P =



2
+
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P
436 −−−= xxx
8: Xét biểu thức B =








−−+
−
−








+
+
1
2
1
1

7
A = −
10: Cho biểu thức :A =
3 1 1 1 8
:
1 1
1 1 1
m m m m m
m m
m m m
   
− − + −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
a) Rút gọn A.
b) So sánh A với 1
11: Cho biểu thức: P =
1
1
12
:
1
1
43
1
+



−
−
++
+
+
−








−
− 1xx
x2
1xx
1x
1x
1
:1
1x
x
a) Rút gọn B b) So sánh B với 3. c) Tìm GTNN của B +
x
.
Một số đề thi vào 10

≠
1.
2) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu không chứa nước) thì sau 6 giờ đầy
bể. Nếu chảy một mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ.
Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể thì mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian ?
Câu III (2 điểm):
Cho đường thẳng y = (2m – 1)x – m + 3 (d) và parabol y = (k
2
+ 1)x
2
(P).
1) Xác định k biết rằng parabol (P) đi qua điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với
mọi m.
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 2.
Câu IV (3 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đường tròn vẽ Ax và By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. M là điểm nằm trên
nửa đường tròn (M
≠
A, B), C là một điểm nằm trên đoạn OA (C
≠
A, O). Qua M
vẽ đường thẳng vuông góc với MC cắt Ax ở P, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với
PC cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của PC và AM, E là giao điểm của QC và BM.
Chứng minh :
1) Các tứ giác APMC, CDME nội tiếp.
2) DE vuông góc với Ax.
3) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
Câu V (1 điểm):

; 3)
x 1 13 x− = −
.
Câu II (1,75 điểm):
1) Rút gọn biểu thức : A =
1 1 x 1
:
x x x 1 x 2 x 1
+
 
+
 ÷
− − − +
 
, x > 0 và x
≠
1.
2) Một công việc nếu giao cho hai đội công nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ
48 phút. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu ? Biết rằng
thời gian làm riêng xong công việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ.
Câu III (2 điểm):
Cho đường thẳng y = (2m – 1)x + m – 5 (d) và parabol y = –(k
2
+ 2)x
2
(P).
1) Xác định k biết rằng parabol (P) đi qua điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với
mọi m.
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 1,5.

ĐỀ THI TS VÀO 10
Câu I: (3 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a)
5.x 45 0− =
b) x(x + 2) – 5 = 0
2) Cho hàm số y = f(x) =
2
x
2
a) Tính f(-1)
b) Điểm
( )
M 2;1
có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì sao ?
Câu II: (2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
P =
4 a 1 a 1
1 .
a
a 2 a 2
 
− +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
+ −

3, Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC
2
.
Câu V: (1 điểm)
Cho biểu thức :
B = (4x
5
+ 4x
4
– 5x
3
+ 5x – 2)
2
+ 2008.
Tính giá trị của B khi x =
1 2 1
.
2
2 1
−
+
Đề số 4
Câu I ( 2,5 điểm )
1, Giải các phương trình sau :
a,
1 5
1
2 2
x
x x

7 1
( 0; 9)
9
3 3
b b b
M b b
b
b b
 
−
= − − ≥ ≠
 ÷
 ÷
−
− +
 
2, Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 55. Tìm 2 số đó .
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đường tròn lấy một điểm C ( C
không trùng với A,B và CA > CB ) . Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A , tại C
cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB ), DO cắt AC tại E .
1, Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp .
2, Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh :
·
·
0
2 90BCF CFB+ =
.
3, BD cắt CH tại M . Chứng minh EM // AB .
Câu 5 ( 1,0 điểm )

Câu 2:( 2 đ)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –x
2
và đường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một cùng
một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3: (1đ) Thu gọn các biểu thức sau:
a) A =
7 4 3 7 4 3− − +
b) B =
x 1 x 1 x x 2x 4 x 8
.
x 4
x 4 x 4 x
 
+ − + − −
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
với x > 0; x ≠ 4.
Câu 4:(1,5 đ) Cho phương trình x
2
– 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x
1
, x

+ +
 