Bài ôn tập tổng hợp số 3
Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (C
m
)
Phần I: Cho m = 0 (C
0
): y = x
3

+ 3x
2
+ 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
0
) của hàm số.
a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x x
lim y ; lim y
+
= + =
Bảng biến thiên:
y = 3x
2
+ 6x ; y = 0
x 0 y 1

=


= +

thay vào (C
0
) ta đợc: Y + 3 = (X - 1)
3
+ 3(X - 1)
2
+ 1
Y = X
3
- 3X = g(X)
Ta thấy g(-X) = -g(X) hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ (C
0
) nhận I làm tâm đối xứng
Biện luận theo tham số k (k 0) số nghiệm phơng trình: x
3
+ 3x
2
+ 1 = 2
k
k 1
2
+
(1)
LG:
Số nghiệm của phơng trình (1) bằng số giao điểm của (C


< <

+ +

<


<


d cắt (C
0
) tại một điểm (1) có 1 nghiệm
d: y =
c. Vẽ:
x-31y15
x
y
O 1-1-2-3
1
3
5
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn
I(-1; 3) làm tâm đối xứng

2
2
k 2
2k 1

) tại 2 điểm (1) có 2 nghiệm

2
2k 1
1 5
k
+
< <

1
k 2
2
< <
d cắt (C
0
) tại 3 điểm (1) có 3 nghiệm
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C
0
) kẻ từ điểm (1; 5).
Gọi là đờng thẳng qua A(1; 5) và có hệ số góc k : y = k(x - 1) + 5
là tiếp tuyến của (C
0
)
( ) ( )
( )
3 2
2
x 3x 1 k x 1 5 1
3x 6x k 2


) tại 3 điểm phân biệt.
Gọi là đờng thẳng qua A và có hệ số góc k : y = k(x + 1) + 3
cắt (C
0
) tại 3 điểm phân biệt x
3
+ 3x
2
+ 1 = k(x + 1) + 3 có 3 nghiệm phân biệt
x
3
+ 3x
2
- 2 - k(x + 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
(x + 1)(x
2
+ 2x - 2) - k(x + 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
(x + 1)(x
2
+ 2x - 2 - k) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

( ) ( )
2
x 1
f x x 2x 2 k 0 2
=


= + + =


0
))
Kết luận: Vậy không có điểm nào thoả mãn điều kiện đầu bài
Phần II: Cho m = 3 (C
3
): y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1
x
y
8
1
O
-1
-1-2-3
-8
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
3
) của hàm số.
a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x x
lim y ; lim y
+
= + =
Bảng biến thiên:
y = 3x

= d f(x
0
) = 1
2
0 0
3x 6x 3 0+ + =

2
0 0
3x 6x 2 0+ + =

0 0
0 0
3 3 3
x y
3 9
3 3 3
x y
3 9

+
= =




= =


có 2 tiếp tuyến cần tìm là

0
4 2
3 2 3
1
1
x 3x 1
x 3x 3x 1 dx x x
4 2 4



+ + + = + + + =
ữ


(đvdt)

( )
( )
( )
0
7
0 0
2
6
3 2
Ox
1 1
1
x 1

ữ ữ


(đvtt)
Phần III: Phần này m là tham số tuỳ ý.
Nháp: y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 =
( )
3
x 1+
Chứng tỏ (C
m
) luôn đi qua điểm cố định. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm cố
định này. Tìm m để tiếp tuyến này qua O.
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố định của (C
m
)
y
0
=
3 2

)
y= 3x
2
+ 6x + m y(0) = m
tiếp tuyến tại M là d: y = mx + 1
O d 0 = 1 vô lý d không đi qua O
Tìm trên (P): y = 3x
2
- 2x + 4 các điểm mà mọi đồ thị (C
m
) đều không đi qua.
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm mà (C
m
) không đi qua
y
0
=
3 2
0 0 0
x 3x mx 1+ + +
vô nghiệm với m
3 2
0 0 0 0
mx x 3x 1 y 0+ + + =
vô nghiệm với m


- 6x (1) x 2
Xét hàm số f(x) = -3x
2
- 6x ; f(x) = -6x - 6 f(x) = 0 x = -1
x
- -1 2 -
f 0 -
f
-24
-
Vậy (1) đúng với x 2 m -24
Kết luận: Với m -24 thì hàm số đồng biến khi x 2
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi x
1
, x
2
là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm quỹ tích điểm cực đại
và cực tiểu của đồ thị. Tìm m để x
1
+ 2x
2
= 1.
LG:
Hàm số có cực đại, cực tiểu y = 0 có 2 nghiệm phân biệt 3x
2
+ 6x + m = 0 (1) có 2
nghiệm phân biệt
> 0 9 - 3m > 0 m < 3 (*)
y = y


Vậy đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu là d: y =
2m m
2 x 1
3 3

+
ữ

y = 0
3 9 3m
x
3

=
x
-
3 9 3m
3

3 9 3m
3
+
+
y + 0 - 0 +
y
-
+

CĐ

Kết luận:
+ Quỹ tích điểm cực đại là đờng cong có phơng trình y =
3 2
2x 3x 1= +
ứng với x < -1
+ Quỹ tích điểm cực tiểu là đờng cong có phơng trình y =
3 2
2x 3x 1= +
ứng với x > -1
Theo viét:
( )
( )
1 2
1 2
x x 2 1
m
x .x 2
3

+ =


=


từ giả thiết ta có x
1
+ 2x
2
= 1 (3)

2
; x
3
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = (x - x
1
)(x - x
2
)(x - x
3
)
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = x
3
- (x
1
+ x
2
+ x
3
)x
2
+ (x
1

Kết luận: không có giá trị nào của m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng
Tìm m để (C
m
) cắt đờng thẳng y = x tại 3 điểm L, M, N sao cho LM = MN.
(C
m
) cắt đờng thẳng y = x tại 3 điểm L, M, N sao cho LM = MN
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = x (1) có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn: x
1
+ x
3
= 2x
2
x
3
+ 3x
2
+ (m - 1)x + 1 = x (1) có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn: x
1
+ x
3
= 2x
2
Giả sử (1) có 3 nghiệm phân biệt x

+ (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)x - x
1
x
2
x
3
Đồng nhất thức hai vế x
1
+ x
2
+ x
3
= -3 x
2
= -1 thay vào (1) ta đợc: m = 3
thay vào (1) ta đợc x
3
+ 3x

) luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó theo định lí viét:
A B
A B
x x m
x .x 6
+ = −


= −

x
I
=
A B
x x
m
2 2
+
= −
(*)
3 2 3 2
A B A A B B
I
y y x 2x 7 x 2x 7
y
2 2
+ + + + + +
= =
=
( ) ( ) ( )

= = + + +
KÕt luËn: Quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB khi m thay ®æi lµ ®êng cong cã ph¬ng tr×nh: y
= 4x
3
+ 4x
2
+ 18x + 19
 T×m m ®Ó (C
m
) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = 5x + m.
(C
m
) tx víi ®êng th¼ng y = 5x + m ⇔
( )
( )
3 2
2
x 3x mx 1 5x m 1
3x 6x m 5 2

+ + + = +


+ + =


(2) ⇔ m =
2
3x 6x 5− − +
thay vµo (1) ta ®îc:

) vµ (d) cã 3 ®iÓm
chung E(0; 1), F vµ G, t×m m ®Ó tiÕp tuyÕn t¹i F vµ G vu«ng gãc.
XÐt ph¬ng tr×nh hµnh ®é giao ®iÓm: x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1 (1) ⇔ x(x
2
+ 3x + m) = 0
⇔
( ) ( )
2
x 0
f x x 3x m 0 2
=


= + + =

f(0) = m ; ∆ = 9 - 4m
⊕ ∆ < 0 ⇔ 9 - 4m < 0 ⇔ m >
9
4
⇒ (2) v« nghiÖm ⇒ (1) cã 1 nghiÖm x = 0 ⇒ (C
m
) c¾t d
t¹i 1 ®iÓm
⊕
( )
0

x=-3
≠








⇒ (1) cã 2 nghiÖm ⇒ (C
m
)
c¾t d t¹i 2 ®iÓm
⊕
( )
9
0
m
4
f 0 0
m 0

∆ >

<
 
⇔
 
≠

2 2
F F G G
3x 6x m 3x 6x m 1
+ + + + =
3x
F
.x
G
= -1 9m = - 1
m =
1
9

thoả mãn điều kiện > 0
Kết luận: với m = -
1
9
thì tiếp tuyến tại F và G vuông góc
Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến luôn qua O. Chứng minh
tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
y = 6x + 6 y = 0 x = -1 y = 3 - m điểm uốn I(-1; 3 - m) y(-1) = m - 3
tiếp tuyến tại điểm uốn d: y = (m - 3)(x + 1) + 3 - m = (m - 3)x
ta thấy d luôn đi qua O với m

x
-
-1
+
y - 0 +
y