- 1 -
BÀI GIẢNG SỐ : 10
ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN
1 - MỤC ĐÍCH:
Giới thiệu kháí niệm về ổn định, phương pháp tính tốn lực tới hạn củathanh chịu
nén dọc.
2 - U CẦU:
Nắm khái niệm, xây dựng bài tốn Ơ-le, cơng thức Iasinki áp dụng để giải những
bài tốn cụ thể.
3 - THỜI GIAN:
04 Tiết ( Lý thuyết: 02 tiết, Bài tập: 02 tiết)
4 - VẬT CHẤT ĐẢM BẢO:
• Phòng học và các thiết bò giảng dạy kèm theo.
• Bài giảng, bảng biểu nếu có.
• Tài liệu tham khảo :
[1] Lê Hoàng Tuấn- Bùi Công Thành. Sức bền vật liệu T1, T2. NXB KH&KT-
1998.
[2] Bùi Trọng Lựu- Nguyễn Văn Vượng. Bài tập SBVL. NXB Giáo dục-1996.
5 - PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN:
a) Giờ lý thuyết :
• Giảng viên : Chỉ dẩn tài liệu nghiên cứu và diễn đạt những điều cần chú
ý.
• Học viên : Chú ý nghe và ghi những điều cần thiết.
b) Giờ bài tập :
Giảng viên : Tổ chức kiểm tra 15 phút, gợi ý, giải đáp thắc mắc, ra bài tập.
Học viên : Làm bài kiểm tra và tự giải quyết bài tập.
c) Giờ thực hành :
Giảng viên : Hướng dẫn tóm tắt, làm thí nghiệm mẩu, phân nhóm.
Học viên : Nghiên cứu phương pháp, thực hành thí nghiệm dưới sự giám sát
của TNV, viết báo cáo thu hoạch.
d) Nội dung – phương pháp cụ thể :

th
thì f = 22% L
Sự phân tích trên đối với thanh có thể so sánh với sự cân bằng của vật rắn hình cầu
đặt trên mặt lõm hay mặt lồi (Hình 10 -2).
Hình 10-1
P
L
a)
P
R
b)
P<P
th
R
c)
P=P
th
R
d)
P>P
th
f
e)
L
- 3 -
− Nếu hình cầu được đặt trên mặt lõm ở vị trí thấp nhất (Hình 10-2a) thì nếu
đẩy nó ra khỏi vị trí cân bằng này nó lại trở về ngay vị trí cân bằng khi bỏ lực đẩy đi.
Hình cầu ở vị trí cân bằng ổn định (như thanh chịu lực P < P
th
)

đúng tâm P (Hình 10-3). Khi đạt đến lực tới hạn P
th
thanh sẽ có dạng cong nào đó.
Thực tế cho thấy nếu liên kết ở 2 đầu là khớp cầu thì thanh sẽ cong trong mặt phẳng
có độ cứng bé nhất. Bây giờ ta xác định lực tới hạn đó.

Với hệ trục (như hình vẽ) trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ, tại mặt cắt có toạ độ z
thanh có độ cong là y(z). Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh thì nội lực trên mặt
cắt là Mômen uốn:
a)
b)
Hình 10-2
- 4 -

M
z
= P
th
× y(z) (a)
Ta giả thiết rằng khi mất ổn định thanh vẫn làm việc trong giới hạn đàn hồi. Do đó
ta sử dụng được phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi. Ở đây thanh bị uốn
trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất, nên phương trình có dạng:

min
JE
)z(M
)z(y
⋅
−=
′′

2
.y(z) = 0.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2; nghiệm của nó có dạng:
y(z) = C
1
sinα.z + C
2
cosα.z (*)
Khi mất ổn định thanh bị cong đi nên y(z) không thể đồng nhất bằng 0 và dựa vào
điều kiện biên: Khi z = 0 thì y(z) = 0 (1)
Khi z = L thì y(L) = 0 (2)
Từ điều kiện (1) ta tìm được C
2
= 0, lúc này phương trình có dạng:
y(z) = C
1
sinα.z = 0
Từ điều kiện (2) ta có: y(L) = C
1
sinα.L = 0
Nếu C
1
= 0 thì y(z) = 0 thanh luôn luôn thẳng. Điều này trái với giả thiết.
Vì vậy: sinα.L = 0 => α.L = n.π (n = 1, 2, 3,…) => α =
L
.n π
(**)
Như vậy đường đàn hồi có dạng với phương trình:

z

dạng đường đàn hồi khác nhau. Bảng 10-1 giới thiệu một số trường hợp với n = 1, 2,
3.
Bảng 10-1
n
Hình dáng thanh khi mất ổn định
Số nửa bước
sóng
Lực tới hạn
1
1

2
min
2
L
J.Eπ
2
2

2
min
22
L
J.E2 π
3
3

2
min
22

kế để ý đến khi tiến hành công việc của mình.
Với những thanh có hai đầu liên kết khác nhau, bằng cách tính toán tương tự ta
cũng có thể tìm được công thức tính lực tới hạn tương ứng. Công thức có thể viết dưới
dạng:
L
P
th
L/2
P
th
L/2
L/3
P
th
L/3 L/3
- 6 -

2
min
2
th
)L.(
J.E
P
µ
π
=
(10 -4)

Ở đây µ là hệ số phụ thuộc vào liên kết ở hai đầu thanh. Xem hình 10 –6.

F
J
i
min
2
min
=
gọi là bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang.
Nếu ta đặt λ =
min
i
L.µ
( 10 -5) thì công thức tính ứng suất tới hạn có dạng:
σ
th
=
2
2
E
λ
π
( 10 – 6 )
L/2
P
L/2
L/3
P
L/3
L/3
Hình 10-5

Hay:
tl
2
tl
2
2
EE
σ
π
≥λ⇒σ≤
λ
π
(10 -7)
Ta đặt : λ
0
=
tl
2
E
σ
π
(10 - 8)
Vậy điều kiện để áp dụng công thức Ơ-le là: λ ≥ λ
0
(10 - 9)
Theo (10- 8) ta thấy λ
0
chỉ phụ thuộc vào vật liệu ( E, σ
tl
) và là hằng số với mỗi

2
) b ( kN / cm
2
)
Thép CT
3
Thép CT
5
Gang xám
Gỗ
31,0
34,5
77,6
2,93
0,114
0,124
1,200
0,0194
Với những thanh có độ mảnh bé λ ≤ λ
1
thì ta coi như sự phá hỏng do mất ổn
định đồng thời với sự phá hỏng do không đủ độ bền nên ta lấy:
σ
th
= σ
0
(10 - 11)
- 8 -
Ở đây σ
0

thì công thức (10- 10) được áp dụng khi 61,4 ≤ λ ≤ 100.
Với những thanh có λ < 61,4 thì σ
th
= 24 kN / cm
2
.
Mối quan hệ giữa σ
th
và độ mảnh λ được
biểu diễn trên hình 10 –7.
Nếu thanh có λ ≤ λ
1
thì σ
th
= σ
0
Nếu thanh có λ
1
≤ λ ≤ λ
0
thì đồ thị là
đường thẳng theo công thức Iasinki.
Nếu λ ≥ λ
0
thì đồ thị là đường Hypebon
theo công thức Ơ-le.
Ví dụ 10-1: Thanh thép chữ IN
0
14
làm bằng thép CT

100103
75,1
180.1
i
L.
0
min
=λ>==
µ
Vì vậy lực tới hạn được tính theo công thức Ơ-le:

kN378
)180.1(
2,58.10.1,2.14,3
)L.(
J.E
P
2
42
2
min
2
th
==
µ
π
=
Tải trọng cho phép là: [ P ] =
.kN126
3

P
L
a)

b)
- 9 -
P
th
= F.σ
th
= F.( a – b.λ ) = 18,9.( 31 – 0,114.72 ) = 431 kN.
Tải trọng cho phép: [ P ] =
.kN7,143
3
431
K
P
od
th
==
Chú ý: Ở trên ta coi liên kết ở hai đầu thanh là tương đương theo mọi phía nên khi
mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất và trong các công
thức tính lực tới hạn ta lấy J
min
và i
min
để tính. Nhiều trường hợp liên kết không như
nhau theo mọi phía. Ví dụ: một phía là ngàm trượt, phía kia lại tự do; khi đó ta phải
tính độ mảnh theo các phương tương ứng và thanh sẽ mất ổn định trong mặt phẳng có
λ lớn nhất và phải dùng các thông số trong mặt phẳng này để tính toán.

h.
y
y
==
µ
=λ
• Trên mặt phẳng yoz ta có:
µ = 1 và I
x
được tính như sau:

86,2
12
a
a.b.12
a.b
F
J
i
3
x
x
====

=>
105
86,2
3001
i
h.

III. TÍNH KIỂM TRA THANH CHỊU NÉN
Thời gian: 20 phút.
Phương pháp: Thuyết trình, diễn giải.
• Với một thanh chịu nén bởi lực P thì trước hết nó phải thoả mãn độ bền.
Có nghĩa là:
[ ]
nF
P
0
n
σ
=σ≤
Trong đó: σ
0
là ứng suất nguy hiểm, n là hệ số an toàn theo điều kiện bền.
• Mặt khác nó còn phải thoả mãn điều kiện ổn định sau:
Hình 10-10
P
P
z
z
x y
x
y
a
b
h
- 10 -

[ ]

K
n
=
σ
σ
=
σ
σ
=ϕ
Ta thấy σ
th
≤ σ
0
và K
ođ
≥ n vì vậy ϕ luôn luôn nhỏ hơn hay = 1; ϕ được gọi là
hệ số giảm ứng suất cho phép. Khi đó: [σ]
ođ
= ϕ.[σ]
n
.
Hệ số ϕ phụ thuộc vào vật liệu, độ mảnh của thanh và hệ số an toàn về bền và ổn
định. Dựa các công thức trên ta tính được giá trị của ϕ qua bảng 10 – 3.
Như vậy ta có công thức để kiểm tra thanh chịu nén theo ổn định là:

[ ]
n
.
F
P

130 0,40 0,33 0,26 0,18
140 0,36 0,29 0,23 0,16
150 0,32 0,26 0,21 0,14
160 0,29 0,24 0,19 0,12
170 0,26 0,21 0,17 0,11
180 0,23 0,19 0,15 0,10
- 11 -
190 0,21 0,17 0,14 0,09
200 0,19 0,16 0,13 0,08
• Từ công thức 10 –12 ta cũng có ba bài toán cơ bản. Bài toán kiểm tra
và tìm tải trọng cho phép làm bình thường. Riêng bài toán tìm kích thước mặt cắt
ngang ta phải tiến hành theo cách đúng dần, vì trong phương trình có 2 ẩn số là ϕ và
F. Trình tự giải bài toán này như sau:
1. Giả thiết ϕ
0
= 0,5 để tính F theo công thức 10 – 12.
2. Từ F vừa có tính độ mảnh λ theo công thức 10 – 5.
3. Từ λ tính được ta tra bảng 10 – 3 tìm được ϕ
1
. Nếu ϕ
1
khác ϕ
0
thì phải tính
lại bước 1 với ϕ
2
bằng trung bình cộng nhỏ của ϕ
0
và ϕ
1

h.
min
==
µ
.
Tra bảng 10 –3 được ϕ = 0,73 ( dùng phép nội suy )
Vậy: σ =
)cm/kN(7,0
12
100
F
P
2
2
==
Ta cũng tính được: ϕ.[σ]
n
= 0,73×1 = 0,73 kN/cm
2
. Như vậy: σ =
F
P
< ϕ.[σ]
n
. Điều
kiện ổn định đảm bảo.
Ví dụ 9 – 4: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho thanh chữ I bằng thép CT
3
chịu
nén như hình 10 – 12. Biết thép có [σ] = 16 kN/ cm

500.5,0
i
h.
min
==
µ

3. Tra bảng 10 –3 được:
Hình 10-11
P= 100kN
h=4m
(12×12)cm
h=5m
P=320kN
Hình 10-12
- 12 -
ϕ
1
= 0,69 -
0
614,05,8
10
6,069,0
ϕ>>=⋅
−
. Vậy ta phải làm lại từ bước 1
• Lấy:
557,0
2
614,05,0

63,2
500.5,0
=
.
Tra bảng lấy
645,05
10
6,069,0
69,0
/
2
=⋅
−
−=ϕ
. Ta thấy
2
/
2
ϕ>>ϕ
.
Nên phải tính lại từ bước 1 như sau:
• Lấy
63,0
2
645,0614,0
2
/
22
3
=

/
3
=ϕ≈=ϕ
4. Kiểm tra điều kiện ổn định: ϕ.[σ] = 0,6×16 = 9,6 =>
9,9
4,32
320
F
P
==
. Độ
sai số giữa 2 vế là:
%1,3031,0
6,9
6,99,9
=≈
−
. Vậy điều kiên thoả mãn. Nên ta chọn
thép IN
0
22a là hợp lý.
Chú ý: Theo các mối liên hệ ở trên ta thấy nếu điều kiện ổn định 10 –12 đảm
bảo thì điều kiện bền cũng đảm bảo. Vì thế ta chỉ cần kiểm tra điều kiện ổn định là đủ.
Tuy nhiên, những trường hợp có làm yếu cục bộ như khoét lỗ lắp bulông hay đinh tán
thì sự yếu cục bộ này không ảnh hưởng đến ổn định nên ta vẫn dùng diện tích nguyên
của thanh để tính khi kiểm tra ổn định. Những lỗ khoét này ảnh hưởng đến độ bền của
thanh. Vì vậy khi tính toán theo độ bền ta phải lấy diện tích thực của mặt cắt bị làm
yếu (diện tích đã trừ lỗ khoét) để tính. Chính vì vậy mà nhiều khi thanh đảm bảo ổn
định nhưng không đảm bảo về bền. Gặp trường hợp này ta phải kiểm tra cả hai điều
kiện.

2 - Chọn vật liệu hợp lý
Theo các công thức trên thì với thanh có độ mảnh lớn, đặc trưng cơ học duy nhất
ảnh hưởng đến ứng suất tới hạn σ
th
là Môduyn đàn hồi E của vật liệu. Còn các thanh
có độ mảnh vừa và bé thì giới hạn chảy hoặc giới hạn bền có ảnh hưởng lớn đến ứng
suất tới hạn. Vì thế khi sử dụng vật liệu phải chú ý cho phù hợp. Ví dụ: các loại thép
có cường độ khác nhau nhưng Môđuyn đàn hồi có giá trị gần như nhau, do đó thanh
có độ mảnh lớn không nên dùng thép tốt quá mà lãng phí.
CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Thời gian: 05 phút
Phương pháp: Tóm tắt, gợi ý, hướng dẫn.
1. Trình bày trạng thái cân bằng ổn định và cân bằng không ổn định của thanh
chịu nén đúng tâm.
2. Viết và giải thích công thức tính lực tới hạn Ơle.
3. Độ mảnh λ là gì? Ý nghĩa của độ mảnh.
4. Khi nào phải tính lực tới hạn theo công thức Iasinki. Viết và giải thích công
thức đó.
5. Trình bày cách kiểm tra ổn định của thanh chịu nén đúng tâm.
6. Trình bày cách tính lực cho phép của thanh chịu nén đúng tâm.
7. Vì sao khi chọn mặt cắt ngang của thanh chịu nén đúng tâm phải tính theo
phương pháp đúng dần? Nêu nội dung của phương pháp đó.
8. Thế nào là mặt cắt hợp lý của thanh chịu nén đúng tâm?
- 14 -
RÚT KINH NGHIỆM