- 50 -
Chương 5
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
5.1. Khái niệm chung :
Xét 1 dầm công xon tiết diện chữ nhật có cạnh (b × h) với h > b cùng chiều dài,
cùng một loại vật liệu, cùng chịu một lực P như nhau trong 2 trường hợp : tiết diện
để đứng (Hình 5.1a) và tiết diện nằm ngang (Hình 5.1b).
Bằng trực giác ta nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp thứ (b).
Mặt khác ta thấy ứng suất ở trường hợp (b) gấp 4 lần ở trường hợp (a) và độ võng
lại gấp 16 lần.
Như vậy rõ ràng sức chịu của một thanh không những chỉ tuỳ thuộc vào loại vật
liệu mà còn tuỳ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang và sự phân bố của vật liệu
trên mặt cắt. Những yếu tố đó được thể hiện trong những đặc trưng hình học của
mặt cắt được nghiên cứu sau đây:.
5.2. Momen tĩnh:
5.2.1. Momen tĩnh đối với 1 trục:
Định nghĩa :
∫∫
==
F
y
F
x
xdFS;ydFS
S
x
, S
y
là moment tĩnh của diện tích mặt cắt
ngang đối với trục x, y.
Thứ nguyên của S

z
P
x
y
Hình 5.2
x
dF
F
y
y
y
C
x
C
x
C
O
(b)
(a)
- 51 -
Từ đó suy ra toạ độ trọng tâm của mặt cắt :
F
S
y,
F
S
x
X
c
y

∑
∑
∑
∑
==
==
i
ii
x
c
i
ii
y
c
F
y.F
F
S
y
F
x.F
F
S
x
5.3. Momen quán tính của mặt cắt ngang:
5.3.1. Momen quán tính đối với 1 trục :

∫
≥=
F

= J
x
+ J
y
5.3.3. Momen quán tính ly tâm với hệ trục (x,y)
∫
=
F
xy
dF.xyJ
vì
0,J0,y,x
xy
≥≤→≥≤
5.3.4. Tính chất :
a) Khi momen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng 0 thì hệ trục đó
Hình 5.3
y
x
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y

bdyydFyJ
2
2
3
22
12
Tương tự :
12
hb
J
3
y
=

b) Hình tam giác : (Hình 5.5b)
12
3
bh
J
x
=
c) Hình tròn – hình vành khăn :
- Hình tròn: (Hình 5.6a)

Vì
ρπρ= ddF 2
, momen quán tính độc cực là :
∫ ∫
π
=ρρπ=ρ=

JJ
4
p
yx
π
===
Hình 5.5
x
y
b
dy
h/2
y
h
a)
b)
b
y
dy
y
h
Hình 5.6
b)
D
d
y
x
dρ
ρ
y

J η−≈η−
π
=
π
−
π
=
( ) ( )
444
4
p
yx
1D05,01
64
D
2
J
JJ η−≈η−
π
===
, với
D
d
=η
.
5.4. Momen quán tính đối với hệ trục song song :
Biết J
x
, J
y


( )
∫∫
+==
F
2
F
2
Y
dFaxdFXJ

( )( )
∫∫
++==
FF
XY
dFbyaxXYdFJ
Khai triển và rút gọn ta được :

x
2
xX
bS2FbJJ ++=

y
2
yY
aS2FaJJ ++=
yxxyXY
bSaSabFJJ +++=

dF
F
O
O
1
Y
X
a
M
Y
X
Hình 5.8
u
x
y
y
dF
F
O
v
M
x
v
u
- 54 -
Biết J
x
, J
y
,J

F
v
dFuJ
2
;
dFuvJ
F
uv
∫
=
(j)
Thay công thức xoay trục vào (j) , khai triển và rút gọn ta được :
( )







α+α−=
αα+α+α=
αα−α+α=
2cosJ2sinJJ
2
1
J
sincosJ2cosJsinJJ
sincosJ2sinJcosJJ
xyyxuv

+
=
α−α
−
+
+
=
2cosJ2sin
2
JJ
J
2sinJ2cos
2
JJ
2
JJ
J
2sinJ2cos
2
JJ
2
JJ
J
xy
yx
uv
xy
yxyx
v
xy

1
2
JJ
J +−+
+
=
d)
( )
2
xy
2
yx
yx
min
J4JJ
2
1
2
JJ
J +−−
+
=
Ngoài ra ta có thể biểu diễn MMQT của một hình với 1 trục như sau:

F/JiF.iJ
xx
2
xx
=⇒=


II
x
I
xx
=+=
++=++=
- Tung độ trọng tâm mặt cắt :
a
a.aa.aa.a
a
FFF
S
y
IIIIII
x
c
3
5
642
20
3
0
=
++
=
++
=
- Momen quán tính chính trung tâm :
( )
( )

12
a2.a
JJJJ
a
3
143
3
50
2
1
9
25
3
16
9
200
6
1
a
3
a5
a.a6
12
a.a6
3
a5
a5,2a.a4
12
a4.a
3




+=
=














++
+










a
2,5a
y
x
a
I
II
III