CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH LỚP 12
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
Buổi 1
A.Mục tiêu: Học sinh nắm được phương pháp giải phương trình mũ, Giải thành
thạo các dạng phương trình thường gặp: đưa vế cùng cơ số, đặt ẩn phụ
B. Nội dung
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số : cho
0 1a< ≠
log
x
a
a b x b= ⇔ =
với
0b
>
x t
a a x t= ⇔ =
Tổng quát:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
Nếu a chứa biến :
( ) ( )f x g x
a a
=
TH1
0 1 ( ) ( )a f x g x< ≠ ⇒ =
TH2

+
−
−
+
=
e) 2
x
.5
x – 1
= .10
2 – x
f) 2
x
.3
x – 1
.5
x – 2
= 12
g)
3x
)1x(
−
+
= 1 h)
1x2
2
)1xx(
−
+−
= 1 i) ()

0at bt c+ + =
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a) 2
x
– 4
x – 1
= 1 b) 5
x – 1
+ 5
– x+3
= 26 c)9
2x
– 3
2x
– 6 = 0
c)4
x + 1
– 16
x
= 2log
4
8 d)2
x – 1
– 2
2 – x
= e)3
x + 1
+ 3
2 – x
= 28

=−
−+−−+

Dạng 2:
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )
. . . 0
f x f x f x f x
a A b A B c B+ + =
Trường THPT Quang Minh 1 Tổ Toán - Tin
CHUYÊN ĐỀ LỚP 12
LG: Chia hai vế cho
2 ( )f x
B
ta được :
2 ( ) ( )
.( ) ( ) 0
f x f x
A A
a b c
B B
+ + =
Đặt
( )
( )
f x
A
t
B
=
,ĐK

x
– 13.6
x
+ 6.4
x
= 0
c)4.9
x
– 6
x
= 18.4
x
d) 5.36
x
= 3.16
x
+ 2.81
x

e) 3.2
2lnx
+ 4.6
lnx
– 4.3
2lnx
= 0

f)3
x + 1
+

x
= 2
x + 3
3. Phương pháp logarit hóa:
( )
0 1, 0
( ) log
f x
a
a b
a b
f x b
< ≠ >

= ⇔

=

( ) ( ) ( ) ( )
log log ( ) ( )log
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b= ⇔ = ⇔ =
Hoặc
( ) ( )
log log ( )log ( )
f x g x
b b b
a b f x a g x= ⇔ =
Ví dụ: Giải các phương trình sau:

= 24 + 6
x

2)
0422.42
2
22
=+−−
−+ xxxxx 3)
20515.33.12
1
=−+
+xxx
4)
2 2 2
2 4 2 4 3 2
5 5 5 1
x x x x x− + + +
+ = +

Buổi 2
A.Mục tiêu:
-Giới thiệu phương pháp hàm số chứng minh PT có nghiệm duy nhất
Trường THPT Quang Minh Tổ Toán - Tin
2
CHUYÊN ĐỀ LỚP 12
-Đưa ra phương pháp giải BPT mũ thường gặp:Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ.

x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x
1
( ) 2x 1
3
= +
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1Phương pháp 1:Đưa về cùng cơ số:
TH 1:
1a
>
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ >
( )
( ) log
f x

)25()25(
+
−
−
−≥+
c)
2x
3
1
+






> 3
– x
)
d
2x
6x5x
3
1
3
1
2
+
−+
>

1
2
2
−
−
≥
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0
+
− + <
4)
52428
11
>+−+
++ xxx
Trường THPT Quang Minh Tổ Toán - Tin
3
CHUYÊN ĐỀ LỚP 12
2)
x 3 x
2 2 9
−
+ ≤
5)
11
21212.15
++

( ) 0( ( ) 0)
f x g x
g x f x
=

⇔

> >

b
a
log f(x) b f(x) a= ⇔ =
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :
1)
2 4 8
log log log 11x x x+ + =
2)
3
4 1 8
16
log log log 5x x x+ + =
3)
3
2 4 6
2
2 2 2
1
log log log 200
9
x x x+ + =

t x x a t R= ⇔ = ∈
1
log ,log , 0
n n
a x
x t a t
t
⇒ = = ≠
Ví dụ1 : Giải các phương trình sau :
1)
2
3 3
log ( 3) 3log ( 3) 2 0x x+ − + + =
2)
2 2
2 2
log ( 1) 2log ( 1) 3 0x x+ − + + =
3)
2 3 2
lg 3lg 3 0x x− − =
4)
2
7
lg lg 1
lg
10
x x
x
+ + =
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau :

5 10 5 10
log x log x 1 log x.log x+ = +
3)
2 2
2 4
x l og (x x) 2 log (x x) x 1− − − = −
4)
2 2 2 2
6 6
x log 5x 2x 3 x log (5x 2x 3) x 2x− − + − − = +
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
• Hàm số logarit cơ số a>1 thì đồng biến, 0<a<1 thì nghịch biến
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
log (2x 1) 1 0 2x 0+ − + =
2)
2
log (4x 1) 1 4x 0+ − + =
3)
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +
4)
2 5
log log ( 3)x x= +
Buổi 4
A.Mục tiêu:

thì
a a
log f(x) log g(x)>

⇔
( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x
<


>


b
a
log f(x) b f(x) a> ⇔ <
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau :
1)
2
2
log ( 4 ) 3x x+ ≥
2)
2
3
log ( 5 ) 3x x+ ≤
3)
2
1

x 9
log (log (3 9)) 1− ≤5)
)12(log12log4)1444(log
2
555
++<−+
−xx
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
1)
2 2x
log x log 8 4+ ≤
2)
4 2 2
2 2 2
log 9log 36 4logx x x− + <
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
1)
x
x
2
3 2
log (3 2) 2. log 2 3 0
+
+ + − >
2)
2

x
8
+
= 36.3
2 – x

2) Giải các phương trình sau:
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
4)
322
2
2
2
=−
−+− xxxx

2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + =
5)
027.21812.48.3 =−−+
xxxx

3)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + =

x
– 13.6
x
+ 6.4
x
= 0 c)4.9
x
– 6
x
= 18.4
x

d) 5.36
x
= 3.16
x
+ 2.81
x
e) 3.2
2lnx
+ 4.6
lnx
– 4.3
2lnx
= 0

f)3
x + 1
+
x

x + 3
4) Giải các phương trình sau:
a)3
x
= 13 – 2x b) 3
x
= – x + 11 c)4
x
– 3
x
= 1
d)2
x
= 3
x/2
+ 1 e)2
x
= 3
x
– 5 f)3
x
= 5
x/2
+ 4
g) 3
x–1
=34 – 5
x–1
h)5
2x

c) 25
x
– 2(3 – x).5
x
+ 2x – 7 = 0 d) x
2
– (3 –2
x
)x + 2 – 2
x +1
= 0
e) 3.25
x– 2
+ (3x – 10).5
x– 2
+ 3 – x = 0 f) 2
x–1
–
xx
2
2
−
= (x – 1)
2

f) (4
x
– 1)
2
+ 2

+ (m + 2)2
– x
+ m + 2 = 0 b) m.3
x
+ m.3
– x
= 8
c) (m – 1)4
x
+ 2(m – 3)2
x
+ m + 3 = 0 d) (m – 4).9
x
– 2(m – 2).3
x
+ m – 1 = 0
e)
033).1m(9)1m(
22
xx
=++++
f)
0m3.m3
xcosxsin
22
=++
9) Tìm m để phương trình : (m + 3)4
x
+ (2m – 1)2
x

x
+ 2 <0
d) ()
x – 1
– ()
x
> 3 e) 4x
2
+
x1x
3x.3
+
+
< 2.
2x
x.3
+ 2x + 6
f) 4x
2
+ x
12x82x2.32
222
x2x1x
++>+
+
g)
4x4xxx2
9.93.83
+++
−−

4
8
2) Cho bất phương trình : 4
x – 1
– m(2
x
+1) > 0
a)Giải bất phương trình khi m = 16/9
b)Xác định m để bất phương trình thoả mãn ∀ x ∈ R
3)*.Tìm m để :
a)m.4
x
+ (m – 1)2
x + 2
+ m – 1 > 0 ∀x
b)m.9
x
– (2m + 1)6
x
– 4
x
< 0 ∀x ∈ [0;1]
c)4
x
- m2
x
+ m + 3 < 0 có nghiệm
d) (m – 1).4
x
+ 2(m - 3)2

1) log
a
1 = 0 log
a
a = 1 2)
b=
blog
a
a
3) log
a
a
b
= b 4)
bb
a
a
loglog
α
β
β
α
=
5)
b
b
aa
log)
1
(log −=

(x + 1) b) lg(x
2
– 6x + 7) = lg(x –3)
c) log
2
(x
2
– x – 9) = log
2
(2x – 1) d)
)x2(log)1x(log
2
2
1
−=+

e)
xlog
2
1
4
x8
log
2
12
=
−
f)log
3
(2x + 1)(x – 3) = 2

x)]} = 2
l) log
4
{2log
3
[1 + log
2
(1 + 3log
2
x)]} =
m)
255
2logx)2logx(2
55
=−
++
n) 8
lgx
– 3.4
lgx
– 6.2
lgx
+ 8 = 0 o) log
2
(25
x+3
– 1) = 2 + log
2
(5
x+3

2
+
)4x(log
2
1
+
= log
2
(3 – x) u)
)32(logx)44(log
1x
2
1
x
2
−−=+
+

v)log
2
(3x – 1) + = 2 + log
2
(x + 1)
w) log
27
(x
2
– 5x + 6)
3
=

64
x =
c) log
3
x + log
9
x + log
81
x =
d) log
2
x + log
4
x =
3log
2
1
e) log
5
x + log
25
x =
3log
2,0
f) log
4
(x + 3) – log
4
(x – 1) = 2 – log
4

x)
2
– 3log
2
x = log
2
x
2
– 4
b)
02xlog.3xlog
3
1
3
1
=+−
c)
2xlogxlog3)x(log
2
12
2
2
=++
d)
8
8
x
log)x4(log
2
2

++=+
b)
2xlog)x2(log
x2
x
2
=++
+
b)
2)7x3(log)3x5(log
3x57x3
=+++
++
c)
364log16log
x2
x
2
=+
d)
04log34log24log3
x16x4x
=++
e)
2
xxx
)5(log25,2)x5(log5log =−+
f) 5
lnx
= 50 – x

x
+ 3)] = 1
c)
8
8
x
log)x4(log
2
2
2
2
1
=+








d)
2)22(log)64(log
2x
5
x
5
=−−−
e)
xlog






−
h)
0)xcos
2
x
(sinlog)xsin
2
x
(sinlog
3
13
=++−
6) Giải các phương trình sau:
a)
x26xlog)1x(xlog
2
2
2
−=−+

b)
016)1x(log)1x(4)1x(log)2x(
3
2
3

a)
2)385(log
2
>−− xx
x
b)
1)
2
23
(log >
+
+
x
x
x
c)
1)2(log
2
<+x
x

d)
14log.2log.2log
22
>x
xx
e)
1)]729([loglog
3
≤−





x
> 1 i)
)3(log
2
x-3x
x−
> 1 j)
132log
1
2
3
1
+− xx
>
)1(log
1
3
1
+x

k)
0
1x
)3x(log)3x(log
3
3

CHUYÊN ĐỀ LỚP 12
a)Giải phương trình khi m = 2
b)Tìm để phương trình có nghiệm x∈
[ ]
3
3;1
3)Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duynhất :
a)
0)1m2x2(log)mx4x(log
3
1
2
3
=−−++
b) = 2
4)Tìm m để phương trình :
22)2()2( =−++
mm
xx
là
hệ quả của phương trình :
3
)x3(log
)x9(log
2
3
2
=
−
−

8)Tìm y để bất phương trình sau đây được nghiệm đúng ∀ x:
(2 – log
2
)x
2
– 2(1 + log
2
)x – 2(1 + log
2
) > 0
9) a)Giải bất phương trình > 3 (1) a là tham số > 0; ≠ 1
b)Tìm các giá trị của m sao cho mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất
phương trình : 1 + log
5
(x
2
+ 1) – log
5
(x
2
+ 4x + m) > 0 (2)
10)Với giá trị nào của a thì bất phương trình
log
2a +1
(2x - 1) + log
a
(x + 3) > 0 được thoả mãn đồng thời tại x = 1 và x = 4
Trường THPT Quang Minh Tổ Toán - Tin
10