Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1.
Các đònh nghóa:

•
n
n thua so
a a.a a=

(n Z ,n 1,a R)
+
∈≥∈
•
1
aa=
a∀
•
0
a1=
a0∀≠
•
n
n
1
a
a

==
20
2.
Các tính chất :

•

mn mn
a.a a
+
=
•
m
mn
n
a
a
a
−
=


• Tập giá trò : ( )
TR
+
=
x
a0 x>∀∈R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 : đồng biến trên
x
ya= R
* 0 < a < 1 : nghòch biến trên
x
ya= R
• Đồ thò hàm số mũ :

a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1

-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2
x
y=
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1

1
x

1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0 dn
M
a
log N M a N
=
⇔=
Điều kiện có nghóa: có nghóa khi
N
a
log
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≠
>
0
1
0
N

log (N .N ) log N log N=+
•
1
aa1
a2
2
N
log ( ) log N log N
N
=−

•
a
log N .log N
α
=α
a
Đặc biệt :
2
aa
log N 2.log N=

3.
Công thức đổi cơ số :

k
=

4.
Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a
a
ylogx=
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=DR
• Tập giá trò
=TR
• Tính đơn điệu:
* a > 1 : đồng biến trên
a
ylogx=
+
R

* 0 < a < 1 : nghòch biến trên
a
ylogx=
+
R


f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=log
2
x
x
23
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. Đònh lý 1: Với 0 < a 1 thì : a≠
M
= a
N

⇔
M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)


⇔
M < N (đồng biến)

III.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
= a
N
(đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x10 x5
x10 x15
16 0,125.8
++
−−
=
Bài tập rèn luyện:

3
17
7
5
128.25,032

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
34
2)
2x 8 x 5
.3270
++
−+=
xxx
6.9 13.6 6.4 0
−
+= 3)
xx
(2 3) (2 3) 4−++=
4) 5) 6) 322
2
2
2
=−
−+− xxxx
027.21812.48.3 =−−+
xxxx
07.714.92.2
22
=+−
xxx
Bài tập rèn luyện:
1) 4)32()32 =−+
xx

x

6) (x=0)
xxx
8.21227 =+
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
2) 0422.42
2
22
=+−−
−+ xxxxx

Bài tập rèn luyệnï:
12 (20515.33.

có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0
∈ (a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . (
do đó nếu tồn tại x
0
∈ (a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)

log (x 6) 3
xx
21
2
log (4 4) x log (2 3)
+1
+
=− −

3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx −=++−
(
141;11 +−=−= xx
)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

27 2
log x 2.log x 2 log x.log x+=+
7
Bài tập rèn luyệnï:
(x=1;x=4)
)112(log.loglog.2
33
2
9
−+= xxx
∈ (a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2
22
log (x x 6) x log (x 2) 4−− += + +

V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
( )
,,≤>≥
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
xx1
x2x
28
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 2)
2x x 2
23.(2)32
+
−+0< 9
x3x
22
−
+
≤ 3)
21
1
xx
11
() 3.() 12

2
≥x
)

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : ( )
aa
logM logN< ,,≤>≥
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1) 2)
2
x
log (5x 8x 3) 2−+>
−<
23
3
log log x 3 1

3) 4)
2
3x x


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 2)
x
x
2
32
log (3 2) 2.log 2 3 0
+
++ −>
2
2x
x
log64log163+≥
3)
2
3log
3)(log
2
2
2
>
+
+
x
x
(
2
1

30
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình
Bài 1: Giải các phương trình
1) 1
2
12
2
1
2.62
)1(3
3
=+−−
− xx
xx
(x=1)
2)
)4(log4log2)1(log

1
log4log232log +=−
−
x
x
(
2
5
=x )
7)
x
xx
x
1
3
2
2
log
3
2
log
=
−−
(x=1,x=2,x=4)
8) (
05
8
log3
2
2


Bài 2: Giải các bất phương trình
1) 09.93.83
442
>−−
+++ xxxx
(x>5)
2) 23.79
12
2
2
2
≤−
−−−−− xxxxxx
( 20
4
1
≥∨≤≤− xx )
3)
xxx −+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞

⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−xx
(
3
4
−≤
x )
5)
)1(log1)21(log
5
5
++<− xx
(
2
1
5
2
<<−
x )
6)
xx
22

<< x
)
9)
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
+−+
x
xx
(-2 < x <-1)

31

Bài 3 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
1.
2
1
2
32
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: (0)12.(44 =−−
xx
m
10 ≥∨
<
mm
)
Bài 2: Cho phương trình: 022.4
1
=+−
+
mm
xx
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx
≠
sao cho
3
21
=
+
xx
(m=4)
32

DẠNG 3: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: (
xxx
m 36.81.216.5 =+
102<m
)
Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình:
0)4(log)1(log1
2
5
2
5
>++−++ mxxx
có nghiệm x
]3,2[∈
(
2921
≤
≤
−
m
)
Bài 3: Tìm m để phương trình:
02
3
1