§Ỉng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thủ - Nam §Þnh
Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
- §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hƯ hai
ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
(1)
' ' '(2)
ax by c
a x b y c
ì
+ =
ï
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
ỵ
(I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x
0
; y
0
) th× (x
0
; y
0
) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I)

2 3 2
3 2 3
x y
x y
ỡ + = -
ù
ù
ù
ớ
ù
- = -
ù
ù
ợ
b)
4 3 6
2 0
x y
x y
ỡ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
c)

7 4 74
3 2 32
x y
x y
ỡ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
f)
3 6
2 6 12
x y
x y
ỡ - =
ù
ù
ù
ớ
ù
- + = -
ù
ù
ợ
Bài 2

ớ
ù
ù
- - =
ù
ù
ợ
c)
2 3
10 0
x y
x y
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ù
ợ
Bài 3:
a)
2 3 1
3 2
x y

2 2 2
x y
x y
ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ = -
ù
ù
ợ
d)
2 3 1
3 2
x y
x y
ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ

ù
ợ
Bài 4:
a)
6( ) 8 2 3
5( ) 5 3 2
x y x y
y x x y
ỡ
+ = + -
ù
ù
ù
ớ
ù
- = + +
ù
ù
ợ
b)
( 1)( 2) ( 1)( 3)
( 5)( 4) ( 4)( 1)
x y x y
x y x y
ỡ
- - = + -
ù
ù
ù
ớ

ù
ù
ù
ớ
ù
- + - - + =
ù
ù
ợ
b)
2 2
5 1
3 10
x y
x y xy x y
ỡ - = -
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - + + =
ù
ù
ợ
c)
2 2
2 2 23 0
3 3 0
x y x y

a)
1 1
1
3 4
5
x y
x y
ỡ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù
ợ
b)
6 5
3
9 10
1
x y

ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ù
ợ
d)
1 1 1
24
2 3
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=

ù
ợ
f)
4 5
2
3 1
5 1 29
3 1 20
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù - +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
- +
ù
ù
ợ
g)
8 1

2 1 1 6
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ = -
ù
ù + -
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
+ -
ù
ù
ợ
i)
1 1
2
1 2
2 3
1
2 1
x y
y x

ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
k)
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
l)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y

x y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
o)
3 2 1 2
2 3 1 4
x y
x y
ỡ
ù
+ - + =
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ
p)
7 4 5

1
1 1
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù + +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ = -
ù
ù
+ +
ùù
ợ
b)
4 5
2
2 3 3
3 5
21
3 2 3

- =
ù
ù - + + -
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
- + + -
ùù
ợ
d)
1
12
2
12
x x
y y
x x
y y
ỡ
ù
- =
ù
ù
+
ù

ù
ù
- +
ù
ù
ợ
f)
4 5 5
1 2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù
- =
ù
ù + - - +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
+ - - +
ù
ù

h)
2 3
1
1 1
2 5
2
1 1
x y
y x
y x
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù - -
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
- -
ù
ù
ợ
i)

2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
ỡ
+ + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - - =
ù
ù
ợ
b)
2
( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ỡ
+ + + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + + =

ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
e)
2
( ) 3( ) 2 0
5 0
x y x y
x y
ỡ
+ - + + =ù
ù
ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
f)
2 2
( 1) ( 1) 0
3 5 0
x y
x y
ỡ
ù - - + =

x y x y
x y xy
ỡ
- - - =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
Loại 5: Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không
chứa x, y.
a)
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy
ỡ
- + =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù

ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
d)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
e)
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37

g)
2 2
2 2
4 2 3
2 3 4
x xy y
x xy y
ỡ
+ - =
ù
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ
h)
2
2
3 54
4 115
x xy
xy y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ

ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
k)
2 2
2 2
( )( ) 5
( )( ) 3
x y x y
x y x y
ỡ
+ + =ù
ù
ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
l)
2 2
2 2
( )( ) 45
( )( ) 85

b)
2 2
5
5
x xy y
x y
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
c)
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy
ỡ
+ + + =ù
ù
ù
ớ
ù

ù
- =
ù
ù
ợ
f)
2 2
8
34
x y
x y
ỡ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
g)
2 2
10
29
xy
x y
ỡ =
ù
ù

ù + + =
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
)
2 2
1
6
x y xy
x y y x
ỡ + + = -
ù
ù
ù
ớ
ù
+ = -
ù
ù
ợ
k)
2 2
102
69

2 2
( 2)( 2) 9
2( ) 6
xy x y
x y x y
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ
n)
2 2
2 ( 3) 2 ( 3) 9 0
2( ) 6 0
x y x y y x
x y xy
ỡ
+ + - + - + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - + =

+ + =
ù
ù
ợ
q)
2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =
ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
r)
11
6 6
11
xy x y
xy
x y
ỡ
+ + =

ợ
t)
2 2
52
1 1 5
12
x y
x y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ù
ợ
u)
1
1
2
x
x y
x
x y
ỡ
ù

ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
-
ù
ợ
x)
3 3
2 2
9
5
x y
x y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
y)
3 3
7

a)
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
ỡ
= - +
ù
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ
b)
2
2
2 3
2 3
y x
x y
ỡ
= +ù
ù
ù
ớ

- = - -ù
ù
ù
ớ
ù
- = - -
ù
ù
ợ
e)
2
2
2
2
x y
y x
ỡ
= -ù
ù
ù
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ
f)
3
3
2 4

ù
ợ
h)
3
3
5
5
x x y
y y x
ỡ
= +ù
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ợ
i)
3
3
2
2
x y x
y x y
ỡ
= -
ù
ù

y x x x
x y y y
ỡ
= - +
ù
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ
l)
3
3
2 1
2 1
x y
y x
ỡ
- =ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ

x y z
ỡ
ù
+ + =
ù
ù
ù
ù
- + =
ớ
ù
ù
ù
+ - =
ù
ù
ợ
c)
2 3 1
3 2 3
2 3 2
x y z
x y z
x y z
ỡ
ù
+ + =
ù
ù
ù