Chuyên đề : HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:

•
n
n thừa số
a a.a a=

(n Z ,n 1,a R)
+
∈≥∈
•
1
aa= a∀
•
0
a1=

a0∀≠

•
n
n
1
a
a
−


2. Các tính chất :

•

mn mn
a.a a
+
=

•
m
mn
n
a
a
a
−
=
•
mn nm m.n
(a ) (a ) a==

•
nnn
(a.b) a .b=

•
n
n

ya=
đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
x
ya= nghòch biến trên
R

• Đồ thò hàm số mũ : Minh hoïa
:


y
x
1
f(x) =2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1

1
O
O
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0 dn
M
a
log N M a N
=
⇔=
Điều kiện có nghóa
: N
a
log có nghóa khi
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≠
>

•
a12 a1 a2
log (N .N ) log N log N=+

•

1
aa1a2
2
N
log ( ) log N log N
N
=−

•

aa
log N .log N
α
=α
Đặc biệt :
2
aa
log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số
:


k
=
4. Hàm số logarít: Dạng
a
ylogx=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=DR
• Tập giá trò =TR
•
Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
ylogx=
đồng biến trên
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến)
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

O
1
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
Dạng cơ bản:
x
am=
(1)
•
m0≤
: phương trình (1) vơ nghiệm
•
m0>
:
x
a
amxlogm=⇔=
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a
M
= a
N


−−
=
2)
x5 x17
x7 x3
32 0,25.128
++
−−
= 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
34.3270
++
−+=

2)
xxx
6.9 13.6 6.4 0−+=
3)
xxx
5.2 7. 10 2.5=−

4)
xx
(2 3) (2 3) 4−++=

45.2 60
+− −+−
−−=
10)
32cosx 1cosx
47.420
++
−−=

Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32( =−++
xx
(
1
±
x
)
2)
xxx
27.2188 =+ (x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0)
4)
12

−+ xxxxx

3)
2x 1 x 1 x
5 7 175 35 0
++
+− −=

4)
x36 x3 4
2x1 2 x1
x.2 2 x.2 2
−+ −+
−+
+= +

5)
()
2
22
x1
xx 1x
422 1
+
+−
+= +
4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó

) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
•
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . (
do đó nếu tồn tại x
0
∈ (a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x

2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x

Dạng cơ bản:
a
log x m
=
(1)
•
m∀∈\
:
m
a
log x m x a=⇔=

1. Phương pháp 1
: Biến đổi phương trình về dạng :
aa
log M log N
=
(đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
21
2
1
log log (x x 1)
x
=−−

2)

( 141;11 +−=−= xx )
4)
() () ()
8
42
2
11
log x 3 log x 1 log 4x
24
++ − =
(
)
x3; x 323==−+

5)
() () ()
233
111
444
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+−= −+ +

(
)
x2; x1 33==−
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2
x25
log 125x .log x 1
=

6)
xx x
16 64
log 2.log 2 log 2=

7)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+=

8)
()
()
()
3
log 9 x 2 3
x2 9x2
−
−=−
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2.log x 2 log x.log x


Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
22
log (x x 6) x log (x 2) 4−− += + +

2)
()
6
log x
26
log x 3 log x+=
3)
()
23
log 1 x log x+=

V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
,,≤>≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :


2)
2
x1
x2x
1
2
2
−
−
≥ 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :

xx
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4
+
<
+
>+Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2

++ xxx
(
)20
≤
<
x

6)
11
21212.15
++
+−≥+
xxx
(
2
≤
x
)

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
aa
log M log N
<
( ,,≤>≥)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
22

+
≥
−

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2
−
+>

2)
−
<
23
3
log log x 3 1

3)
2
3x x
log (3 x) 1
−
−
>

4)
x
9
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ
: Giải bất phương trình sau :
1)
2
22
log x log x 2 0+−≤
2)
log x 4
2
x32
+
<

3)
2
log x log x
66
6x12+≤

4)
2
3
14
2
log x log x 2 0
+

+
x
x
(
2
1
8
1
<< x )
VII. HE PHệễNG TRèNH:

Vớ duù : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh

()3(
22
2
yxyx
yxyx 2)





=+
=
25
1
1
log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
7)
y
3
34 x

24
452
1
23
8)





=+
=

2)(log
11522.3
5
yx
yx 4)





=+
=
3
644.2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình
Bài 1:
Giải các phương trình
1)
1
2
12
2
1

=+−
−
−
x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2
1
log4log232log
+=−
−
x
x
(
2
5
=x )
7)
x
xx
x
1
3
2
2
log

2
−=−+
( 2,
4
1
== xx )
10)
x
x
x
4
4
log
2
)10(log.2log21 =−+
(x=2,x=8)

Bài 2: Giải các bất phương trình
1)
09.93.83
442
>−−
+++ xxxx
(x>5)
2)
23.79
12
2
2
2

1101 >∨
<
<
∨
−
<
xxx
)
4)
0128
8
1
4
1
13
≥−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−xx

x
x
(
10log
3
>x
)
8)
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4
−
<
+
x
xx
(
1
3
2
<< x
)
9)
0
1
)3(log)3(log

+
2.
38
0,3
2
log ( 1)
2
28
xx
x
y
xx
−−−
−
−
=+
−
−DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1
: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 0)12.(44 =−−
xx
m (
10 ≥∨
<
mm
)
Bài 2: Cho phương trình: 022.4



Khi đó:

() () () ()
()
()
()
11 1
22 2
2
2
11
22
2
2
22
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1
log x 1 log 7 x
2
1
x 1 7 x
2
2x 1 49 14x x
x 14x 50 0
x3

x17
⇔−++− −=

+−= − +Bài giải:
Điều kiện:
x20 x 2
6x4
4x0 x4
x2
x60 x 6
⎧⎧
⎪⎪
+≠ ≠−
⎪⎪
⎧
−< <
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
−>⇔ < ⇔
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
≠−
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
+> >−
⎪⎪

x2x320
⇔+−=−++
⇔+−=−++
⇔+=−+
⇔+=− +
⎡
⎡
=∨=−
⎡
+=− + + −=
⎢
⎢
⎢
⇔⇔⇔
⎢
⎢
⎢
+=−− +
=±
−−=
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣
⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x2x1 33=∨=−


−≠
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎩

Khi đó:

() ( )
()
[]
()
()
()
()
()
222
22
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x5
x5
x5
x3x6
x2x5 8 x 3x18 0

2x5

⎪
⎢
⎢
⎪
⎪
⎪
+−= −−=
⎩
⎢
⎢
⎪
⎪
⎪
⎩⎩
⎢
⎢
⇔⇔⇔
⎧
−< <
⎢
⎢
⎧⎧
−< <
−< <
⎪⎪
⎢
⎢
⎪⎪
⎪
⎪

⎢
⎢
⇔
⎢
±
⎪
⎢
⎪
⎢
=
⎪
⎢
⎪
⎢
⎣
⎨
⎢
⎪
⎪
⎢
⎪
⎪
⎩
⎣

Vậy nghiệm của phương trình (1) là
x6
317
x
2

⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
≠−
+≠
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎩

Khi đó:

() ( )
()
()
()
()
()
()
()
22
2
2
1logx2x5log8
x 2 x 5 8
x3x6
x2x5 8 x 3x18 0

⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x3x6
317
x
2
⎡
=− ∨ =
⎢
⎢
±
⎢
=
⎢
⎣

Bài 5: Giải phương trình:
()
42
2x 1
11
log x 1 log x 2
log 4 2
+
−+ =+ +
(1)

>−
⎪
⎪
⎪
⇔⇔>
⎨⎨
⎪⎪+≠
⎪⎪
≠
⎪⎪
⎪⎪
+>
⎪⎪
>−
⎪⎪
⎩
⎪
⎩

Khi đó:

() () () ()
()( )
[]
()
[]
()( )( )
22 2
22
2
Bài 6: Giải phương trình:
2
22 2
log 2x log 6 log 4x
4x2.3−=
(1)
Bài giải:

Điều kiện: x0>
Khi đó:
(
)
2
2
22 2 22
21 log x
log 2x log 6 log 4x 1 log x log 6
4x2.3 4 x2.3
+
+
−= ⇔ −=

Đặt
t
2

⎟⎟
⎢
⎥
⎜⎜
⇔−= ⇔−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟
⎢⎥
⎜⎜
⇔+−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
t
t
34

⎝⎠
⎣

Với
t2=−
ta được nghiệm của phương trình (1) là :
1
x
4
=Bài 7: Giải phương trình:
()
39x
3
4
2logx.log3 1
1logx
−−=
−
(1) Bài giải:
Điều kiện:
3
x0
x0
1

Khi đó:

()
()
33
33 33
2logx 4 2logx 4
111 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
−−
⇔−=⇔−=
−+−

Đặt
3
tlogx (t 2;t1)=≠−≠
, phương trình (2) trở thành:

2
t1
2t 4
1t3t40
t4
2t1t
⎡
=−
−
⎢
−=⇔−−=⇔
⎢

()
(
)
xx+1
33
log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6 (1) Bài giải:

Điều kiện:
−> ⇔ >⇔ >
xx
310 3 1 x0

Khi đó:
()
()
(
)
⇔+−=
⎡⎤
⎣⎦
xx
33
1 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6

Đặt:
()
=−


•
Với
=
t2
:
()
−=⇔ −=⇔ = ⇔=
xxx
3 3
log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10

Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện.
Vậy pt(1) có hai nghiệm là
==
33
28
x log ; x log 10
27Bài 9: Giải phương trình:
=
x7
log 7x .log x 1
(1)


⎧
>
⎧
⎪⎪
⎛⎞
+=⇔ ⇔ ⇔=
⎨⎨
⎜⎟
⎛⎞
+−=
⎝⎠
+=
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
2
2
t0
t0
11
1 .t1 t1
11
tt20
2t
1.t1
2t


<− ∨ >
⎪
⎧
+−>
⎪
⎪
⎪
>
−>
⎪
⎧
⎪
>
⎪
⎪⎪
−≠ ⇔ ≠ ⇔
⎨⎨⎨
≠
⎪⎪⎪
⎩
+> >−
⎪⎪
⎪⎪
≠
+≠
⎩
⎪
⎪
⎩
2

⇔+ + + =
+
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1log 2x1x12log2x14
1
1 log x 1 2 4
log x 1

Đặt
()
−
=+
2x 1
tlog x1
, pt trở thành:
=
⎡
+=⇔− +=⇔
⎢
=
⎢
⎣
2
t1
2
t3t3t20
t2
t


Vậy pt(1) có tập nghiệm là
{
}
=
5
S2;
4Bài 11: Giải bất phương trình:
−+
≥
2
1
2
x3x2
log 0
x
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
<<
⎡
−+
>⇔
⎢

2
x3x2
1log log1
x
x3x2
1
x
x4x2
0
x
x0

22x22

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
⎡
−
≤<
⎢
⎢
<≤+
⎣
22x1
2x2 2Bài 12: Giải bất phương trình:
+⎛⎞
<
⎜⎟

++
⎩⎩
22
22
22
6
xx xx
00
4x 2
xx x4
x4 x4
10
x2
x4 x4
xx xx
log 0 1
x4 x4

Khi đó:

()
++⎛⎞
⇔<⇔>
⎜⎟
++
⎝⎠
++
⇔>⇔>
++
−< <−

>
⎢
⎣
4x 3
x8

Bài 13: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
−
++≤
1
3
3
2 log 4x 3 log 2x 3 2
(1) Bài giải:
Điều kiện:
⎧
>

() ()
[]
()()
⇔−≤++
⇔−≤ +
⇔−≤ +
⇔−−≤
⇔− ≤ ≤
2
33
2
33
2
2
1log4x32log2x3
log 4x 3 log 9 2x 3
4x 3 9 2x 3
16x 42x 18 0
3
x 3
8

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
<
≤
3
x3
4
1
92 392.330
3

Đặt
−
=>
2
x2x
t3 (t0), bpt trở thành:
−
−≤⇔−≤≤
2
t2t30 1t3

Do
>t0
nên ta chỉ nhận
<≤0t3

Với
<≤0t3:
−
<≤⇔−≤⇔−−≤⇔−≤≤+
2
x2x 2 2
03 3 x 2x1 x 2x10 1 2x1 2

Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
⎡⎤

−
⎡
⎤
⇔+−< +
⎣
⎦
⎡⎤
⇔+< +
⎣⎦
⇔+ < +
⇔− +<
⇔< < ⇔<<
xx2
525
xx2
55
xx2
xx
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
log 4 144 log 80 2 1
4 144 80 2 1
4 20.2 64 0

42 16 2x4

Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
()
=S2;4


3
16
3log9x
log x xBài 3
: Giải phương trình:

()
(
)
++ −=
1
2
2
2 log 2x 2 log 9x 1 1Bài 4
: Giải bất phương trình:

++
−−≤
2x 1 2x 1 x
325.60

Bài 5
: Giải bất phương trình: