TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA TOÁN
LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
Nhóm thực hiện:
Lê Văn Đẳng
Lê Thị Hà Giang
Lê Hòa Hải
Lê Thị Hải
Nguyễn Thị Diệu Hạnh
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
Phạm Thị Mỹ Hạnh
Đề tài :
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
(Bài kiểm tra học trình )
Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy nhơn, tháng 10 năm 2009.
1
LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là
một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng kiến
thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán nào mà
biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện luận phương
trình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp. Hiện nay,
có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiều
phương pháp giải cho dạng toán này. Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp

ï
- <
ï
î
Do đó đồ thị y = |f(x)| gồm:
+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x) .
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f (x) qua Ox.
Dạng 2: y = f(|x|).
Ta có y = f(|x|) =
f (x) khi x 0
f ( x) khi x 0
ì
³
ï
ï
í
ï
- <
ï
î
Và y = f (|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy.
Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm :
+ Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).
+ Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.
Dạng 3 : y = |f(|x|)|.
Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện hai quy
tắc 1 & 2. Cụ thể là :
+ Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x).
+ Từ y = g(x) suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|.
hoặc

x D
x D
Min f(x,m) g(m) M f (x,m)ax
Î
Î
£ £
phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = g(m) cắt (C
m
) tại k điểm
phân biệt.
bằng phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có được câu trả lời cho yêu cầu “Tùy
theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình ”
PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG I y = |f(x)|
5
I. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |2x+1| = m (1)
Bài giải:
Xét hàm số : y = 2x+1.
TXT: D = Ρ.
BBT
Đồ thị của hàm số y = 2x+1 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0,1) ; B(-1,-1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |2x+1|,gồm 2 phần :
+ Phần phía trên trục hoành của đồ thị y = 2x+1.
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x+1 qua Ox.

Khi đó, số nghiệm của phương trình là số
Điểm của (C) và đường thẳng y = m.
Vì vậy
.Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm

-
ï
î
hoặc y =
m 0
|mx 3|
ì
<
ï
ï
í
ï
+
ï
î Hình 1 Hình 2

Từ phương trình (1) ta có điều kiện :
4 m 0
m 0
ì
- ³
ï
ï
í
ï
¹
ï

Điểm B : mx - 3 = 4 – m hay x=
7 m
m
-
7
y
2
=4 - m
3
m
y
x
B
A
0
-3
-2
-1
3
2
1
y
2
=4 - m
-
y
x
D
C
0

m = 0 : phương trình (1)vô nghiệm
m = 4 : phương trình (1) có 1 nghiệm x=
3
4
0 < m < 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm x=
m 1
m
-
và x=
7 m
m
-
m < 0 : phương trình (1) có 2 nghiệm x = -
m 1
m
-
và x= -
7 m
m
-
Ví dụ 3 :
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x
2
+ 2x – 3| = m. (1)
Bài giải:
Xét hàm số (P) : y = x
2
+ 2x – 3
MXĐ : D = Ρ.
BBT:

ç
= + +
÷
ç
÷
ç
è ø
(1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài giải:
Vì
2
m m 1+ +
> 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 1/3 hai vế phương trình (1) ta
được:
|x
2
– 2x| = log
1/3
(m
2
+ m + 1) (2)
Đặt log
1/3
(m
2
+ m + 1) = a . Khi đó phương trình (2) được viết lại |x
2
– 2x| = a.
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x
2

í
ï
-
ï
î
BBT:
x -∞ 0 1 2 +∞
y
’
+ - +
y +∞ 1
+∞

0 0
Từ đó đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x
2
– 2x| tại 4 điểm phân biệt
⇔0 < a < 1 ⇔ 0 < log
1/3
(m
2
+ m + 1) < 1
1
3
< m
2
+ m + 1 < 1
-1 < m < 0
Vậy với -1<m<0 phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Cách 2:Với các em học sinh chưa biết khái niệm đạo hàm thì làm theo cách này:

+ m + 1) < 1.
⇔ - 1 < m < 0.
Vậy với – 1 < m < 0 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5:
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: | x
3
– 3x
2
– 6| = a.
Bài giải:
Xét hàm số y = f(x) = x
3
– 3x
2
– 6.
MXĐ: D = Ρ.
y’ = 3x
2
– 6x
y’ = 0 ⇔ 3x
2
– 6x = 0 ⇔
x 0
x 2
é
=
ê
ê
=
ë

®- ¥ ®- ¥
®- ¥
= - - = - - =- ¥
y
’
+ 0 - 0 +
y
-6 +∝
-∝ -10
Đồ thị hàm số :
Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x
3
– 3x
2
– 6| gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y= f(x)
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành .

Biện luận :
Với a < 0 : phương trình (1) vô nghiệm.
Với a = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm.
Với 0< a < 6 hoặc a>10: phương trình (1) có 2 nghiệm.
12
Vi a = 6 hoc a = 10 : phng trỡnh (1) cú 3 nghim.
Vi 6 < a < 10 : phng trỡnh (1) cú 4 nghim.
Vớ d 6 : Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh |x
4
- 2x
2
-1| = log

= 12x
2
4
y

= 0 x =
1
3

.
x
-
1
3
-

1
3
+
y

+ - +
th
lừm li lừm

1 14
,
9
3
ổ ử

+ -1 +
-2 -2
th hm s y = x
4
- 2x
2
-1 ct trc honh ti x=
1 2+
.
Ta cú y = |x
4
- 2x
2
-1| = |f(x)| =
ỡ
ù

ù
ớ
ù
- <
ù
ợ
f(x) neỏu f(x) 0
f(x) neỏu f(x) 0
T ú ta cú th ca hm s y= |x
4
- 2x
2
-1| gm hai phn:

m < 0 ⇔ m < 1 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 7 : Biện luận theo a số nghiệm của phương trình :
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
= a (1).
Bài giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
= x + 1 +
1
x 2+
MXĐ :D = Ρ\{-2}.
Đạo hàm : y’ = 1 -
2
1
(x 2)+
y’= 0 ⇔ x
2
+ 4x + 3= 0 ⇔
x 3 y 3
x 1 y 1
=- Þ =-
=- Þ =

-3 +∝ +∝
-∝ -∝ 1

Từ đồ thị của hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
suy ra đồ thị của hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+

gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x).
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành . Biện luận:
Với a < 1: phương trình vô nghiệm.
Với a = 1: phương trình có nghiem duy nhất.
Với 1< a < 3 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Với a = 3 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Với a > 3 : phương trình co 4 nghiệm phân biệt.
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
15
Bài 1:

a
x 3
- -
=
-
b.
2
x 1
a 5
x
+
= -
DẠNG II: y = f(|x|)
I/ VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m (1)
Bài giải:
Xét hàm số: y = 2x + 5
Mxđ: D = R
Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2,1) và B(-1,3)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần:
Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x + 5
16
Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao đỉểm của (C) và đường thẳng y =
3m. Ta được:
Với 3m < 5  m<5/3 thì phương trình (1) vô nghiệm.

Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y
= m,ta được:
- Với m > 1 : phương trình vô nghiệm.
- Với m = 1 v m < 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Với 0 < m < 1 : phương trình có 4 nghiệm phân biệt
- Với m= 0 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|
3
+ 3(x-1)
2
+ 1 = m
Bài giải:
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 1
Mxđ: D = R
Đạo hàm:
+ y’ = 3x
2
+ 6x
y’ = 0  3x
2
+ 6x = 0

*Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm:
Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f(x – 1)
19
y=f(x)
y = 1y = f(x-1)
Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1
Biện luận:
Với m < 1 phương trình vô nghiệm.
Với m = 1 phương trình có 1 nghiệm.
Với m > 1 phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
y = f(x) = = m (1)
Bài giải:
Xét hàm số y = f
1
(x) =
Mxđ: D = R\{1}
f
1
’(x)= < 0
BBT:
x 1
f
1
’(x) - -
2
f
1
(x)


c/ |x – 1|
3
+ 3|x – 1| + 1 = a
d/ = a
Bài 2: Tìm tham số m để phương trình 2|x|
3
– 3x
2
+2 = m có 4 nghiệm phân biệt
21
DẠNG III: y = |f(|x|)|
I/ VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: |||x – 1| - 2|-1| = m
Bài giải:
Đặt f(x) = |||x – 1| - 2|-1|
Ta có bảng xét dấu sau:
x -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) ||x+1| - 1| ||x – 3| - 1|
f(x) |x+2| |x| |x – 2| |x – 4|
f(x) -x - 2 x + 2 -x x 2 - x x - 2 4 - x x – 4
Nhận xét: Đồ thị của f(x) = |||x – 1| - 2|-1| nằm phía trên trục hoành
Từ đồ thị ta có :
Với m > 1: phương trình có 2 nghiệm.
Với m = 1: phương trình có 5 nghiệm.
Với 0 < m < 1: phương trình có 8 nghiệm
Với m = 0 : phương trình có 4 nghiệm.
Với m < 0 : phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
|x
2

- Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox
23
Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = với đường thẳng y = m, ta được:
- Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm
- Với 0 < m : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m:
a/ |x
3
– 4|x| + 3| = m +2
b/ = lg m
24
DẠNG IV: y = |f(x)|g(x)
I/ VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:
x|x – 1| + m = 0 (1)
Bài giải:
(1)  m = - x|x – 1|
Vậy nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của:
- Đường thẳng (D) : y = m
- Đường cong (P): y = - x|x – 1| =
Vẽ đồ thị y = -x
2
+ x (P1)
Đỉnh (1/2,1/4)
BBT: x ½
y ¼