PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG
Phần I. Đặt vấn đề
TRƯỜNG THCS THỔ TANG

BÁO CÁO KẾT QUẢ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Môn: Toán
Tổ bộ môn: Toán – Lý – Tin
Mã:30
Người thực hiện: Lê Nguyệt Thu
Điện thoại: 0978119467, Email:

Vĩnh Tường, tháng 4 năm 2014

1


I.Lý do chọn đề tài
Đại số là một là một môn học có thể được xem là dễ học hơn so với bộ
môn hình học theo quan niệm của một số giáo viên và học sinh, nhưng để dạy
tốt- học tốt bộ môn đại số thì cũng không phải là điều dễ. Để học sinh có thể học
chắc, hình thành cho mình kĩ năng và phương pháp giải toán thì giáo viên cần
trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản cần thiết không chỉ là những kiến
thức cơ bản được đưa ra trong SGK mà giáo viên cần phải tham khảo các tài
liệu, chắt lọc những kiến thức cơ bản mở rộng, đúc rút những kinh nghiệm trong
quá trình giảng dạy để mở rộng kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh từ đó
nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng như trau dồi phương pháp giải toán cho các
em. Để làm tốt được điều này đòi hỏi mỗi giáo viên toán phải thường xuyên
nghiên cứu, trăn trở để hệ thống lại những kiến thức theo từng chuyên đề lôgic

Làm được hoàn chỉnh trong thời
gian khảo sát 15 phút

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

Câu 1

2

5,0

5

12,5

20


10,0

19

47,5

15

37,5

Câu 3

1

2,5

2

5,0

17

42,5

20

50,0

Qua kết quả khảo sát trên tôi nhận thấy học sinh chậm phát hiện ra cách

+Phấn II :Nội dung
+Phần III Kết kuận và kiến nghị

3


Trong phạm vi một đề tài SKKN tôi đưa ra: “Phương pháp giải các bài
toán có chứa dấu giá tị tuyệt đối” với mục đích nâng cao hiệu quả dạy học bộ
môn Đại số và giúp học sinh nhanh chóng tìm ra chìa khoá cho những bài toán
khó, cũng từ đó các em biết chọn cho mình những con đường đi ngắn nhất để
đến đích một cách nhanh chóng mà không còn vướng mắc, tạo cho các em hứng
thú học bộ môn Đại số nói riêng, bộ môn Toán nói chung. SKKN được nghiên
cứu trong thời gian từ tháng 9 năm 2011 đến tháng 4 năm 2013, với đối tượng
học sinh lớp 8 trường THCS Thổ Tang.
Phần II. Nội dung
A .Cơ sở lý luận
A.1Mục đich ý nghĩa của việc dạy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối
-Rèn cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
-Rèn cho học sinh các thao tác tư duy, so sánh,khái quát hóa ,trừu tượng
hóa,tương tự hóa......
-Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ
dàng các môm học khác,mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
-Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận,sáng tạo
,chủ động trong giải toán.
A.2 Các kỹ năng ,kiến thức khi làm một số dạng toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
-Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số
-Giá trị tuyệt đối của một số

0
a
-a

Hình 1

a

Ví dụ 1:
3

a =3 a=
3
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với hai điểm
trên trục số ( hình 2)
-3

0

3

Hình 2
a = b

b
b
a= ; a = b a=
b
b
b > 0


Hình 3
a 3 nếu a 0

a 3

a 3 nếu a 0
3 a hoặc a 3



-a 3 nếu a < 0

a -3 v nếu a < 0

Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (- ;
3] và [3; + ) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tơng ứng
với các khoảng số đó. (hình 4)
-3

0

3

Hình 4
a b
Tổng quát: a b
a b
b, Định nghĩa 2 ( lớp 7-9):
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là:

1 - 2x nếu x

a.b = a . b
a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0
a.b = a.b = a . b a.b = a . b (2)
a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0
a.b = a.b = ( a)(b) = a . b a.b = a . b

(3)

a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0
a.b = a.b = a.(b) = a . b a.b = a . b (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
2.9. Tính chất 9:
a
a
= (b 0)
b
b

Thật vậy: a = 0

a
a
a
=0 = 0
b
b
b

(1)



(4)

a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ
a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ

(2)

Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ ®pcm.
II) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1. Phương trình bậc nhất dạng:
A = a ( A là nhị thức bậc nhất ,a là hằng số).

Phương pháp giải :
a) Nếu a
Cách 2: A = B ⇔ 
2. Bài tập ví dụ:

Bài 1: Giải các phương trình:

8


1) 3x − 1 + 2 = 3x + 4
2) x − 3 = x + 1
3) x − 2005 = x − 2005
Giải:

−2
x ≥


  3x + 2 ≥ 0
 − 1 =32


3x − 1 = 3x + 2
1) 3x − 1 + 2 = 3x + 4 ⇔  3x + 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ − 2

3
3 x − 1 = −3 x − 2

−1

 x =

x − 2005 = x − 2005 ⇔ x − 2005 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2005

Vậy Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn x ≥ 2005 .
Bài 2: Giải pt :

x − 1 = 3 x + 2m (1) (m là tham số).

Giải :

9



− 2m
 x ≥ 3

  3 x + 2m ≥ 0
− 2m − 1
 x =

x − 1 = 3 x + 2m
2
⇔
⇔ 

− 2m
  3 x + 2m ≥ 0
 x≥
  x − 1 = −3 x − 2 m
3

2
3
2

b)Nếu

1 − 2m − 2m
−3
≥
⇔m≥
4
3
2

Tóm lại: m ≤ −
m≤−

3
2m + 1
thì pt (1) có nghiệm x = 2
2

3
1 − 2m
thì pt (1) có nghiệm x =
2
4

Bài 3: Giải PT sau theo tham số m.
m x − 3 = 4 − m (1)

 x = 1 − m Hoặc
mx + 3 = 4 − m
mx + 3 = m − 4

m

 m < 0
x = m − 7

m

Tóm lại:
• Nếu m < 0 thì phương trình có nghiệm là:

x=

1− m
m−7
hoặc x =
m
m

10


Nu 0 < m 4 thỡ phng trỡnh cú nghim l: x=

7m
m 1
hoc x =


(1)
5x 1 2 = 3 4 x
5 x 1 = 5 4 x(2)


1
5
x
x




4
4
4 x 1 0
5 4 x 0
x = 0(loai

)

2




x =
5x 1 = 4x 1
5x 1 = 5 4x

9


x=

2
; x = 4
3
2
3

Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim l: x = ; x = 4 .
x +1
3
+
= 2 (1)
x +1
3
Điều kiện xác định của phơng trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
x +1
Cách 1: Đặt t =
điều kiện t > 0
3
1
Khi đó (1) + t = 2 t 2 2t + 1 = 0 t = 1
t
x +1
x + 1 = 3
x = 2

x +1
3

x +1
x + 1 = 3
x = 2
3
=
9 = (x + 1)2

x +1
3
x + 1 = 3 x = 4
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Đối với những phơng trình có từ giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách
đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x
làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. Những giá
trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt
đối là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và
giải phơng trình tìm đợc.
khi

Bài 4: Giải phơng trình: x 1 + x 3 = 2
Ta thấy x - 1 0 x 1
x-3 0 x 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trờng
hợp.
+Trờng hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó phơng trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)

x
−
1

g ( x)
1) Phương pháp giải:
 f ( x) < −a

a) f ( x) > a 
 f ( x) > a

⇔
3
2
x > 7
 2( x − 3) > x + 1


Dạng 3: f ( x) > g ( x)
1) Phương pháp giải:
f ( x ) > g ( x ) ⇔ [ f ( x ) ] 2 > [ g ( x )] 2

2) Bài tập áp dụng: Giải bất phương trình:
x − 3 > x + 2 ⇔ ( x − 3) 2 > ( x + 2) 2 ⇔ x 2 − 6 x + 9 > x 2 + 4 x + 4 ⇔ x
m  f ( x ) − g ( x ) > m − f ( x ) − g ( x ) > m



f ( x) < 0
a) f ( x) + g ( x) > m ⇔ (1) f ( x) ≥ 0 (2) f ( x) ≥ 0 (3)



2

• Nếu x > 1 ta có bất phương trình: x + 1 + x – 1 > 5 ⇔ 2 x > 5 ⇔ x > (thỏa
mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: ⇔ x < −

5
5
hoặc x > .
2
2

b) x − 1 + x − 2 > x + 3
• Nếu x< 1 ta có bất phương trình: 1 - x +2 - x > x + 3 ⇔ x < 0 (thỏa mãn
điều kiện).
• Nếu 1 ≤ x ≤ 2 ta có bất phương trình: x-1+2 - x > x + 3 ⇔ x < −2 ( Không
thuộc khoảng đang xét).
• Nếu x > 2 ta có bất phương trình: x – 1 + x – 2 > x + 3 ⇔ x > 6 (Thỏa mãn
điều kiện).
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: ⇔ x < 0 hoặc x > 6 .
Bài tập áp dụng :
Giải các bất phương trình sau :

14


1) x − 2 < 4
2) 3x − 2 < x + 1
3) x + 1 > x − 2
4) x − 1 > x + 2 − 3


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x=1.
b) Đặt t = x > 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình:
t3-3t +2 =0 ⇔ t 3 − t − 2t + 2 = 0 ⇔ (t 3 − t ) − 2(t − 1) = 0 ⇔ t (t 2 − 1) − 2(t − 1) = 0
⇔ t (t − 1)(t + 1) − 2(t − 1) = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t − 2) = 0 ⇔ (t − 1) 2 (t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn

điều kiện t >0) hoặc t = - 2 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện t > 0).
* Với t =1 ta có x= ± 1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm : S = { − 1;1} .
Bài 2: Giải phương trình:

x 3 + 100 x 2 = x + 100

(1)

Cách 1: phương trình (1)
 x + 100 = 0
 x = −100
⇔ x 3 + 100 x 2 − x + 100 = 0 ⇔ ( x + 100)( x 2 − 1) = 0 ⇔  2
⇔
 x −1 = 0
 x = ±1

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = ± 1; x = −100 .
Cách 2:

15


Phương trình (1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 3 ≤ x ≤ 8 .
Cách 2: Từ pt (*) ta có:
 x +1 < 2
⇔ −1 ≤ x ≤ 3 ta có phương trình:
 x ≥ −1

• Nếu 

2- x + 1 + 3 − x + 1 = 1 ⇔ 5 − 2 x + 1 = 1 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 3 (Loại vì không
thoả mãn điều kiện trên).
2 ≤ x + 1 ≤ 3
⇔ 3 ≤ x ≤ 8 Phương trình có dạng:
x
≥
1


• Nếu 

x + 1 − 2 + 3 − x + 1 = 1 ⇔ 1 = 1 vô số nghiệm x ∈ [ 3;8]
3 ≤ x + 1
⇔ x>8
 x ≥ −1

• Nếu 

Phương trình (*) ⇔ x + 1 − 2 + x + 1 − 3 = 1 ⇔ 2 x + 1 = 6 ⇔ x = 8 ( loại vì
không thoả mãn điều kiện x > 8).
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHƯA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
5 3x − 2 + 7 5 y − 1 = 88



3x + 5 y = 7

3x + 5 y = 7
y=2
56 28

5(3 x 2) + 21(2 x) = 88
2
x =
=

- Nu x 2 ta cú h:
6
3 ( khụng thuc
3x + 5 y = 7
3



khong xột).
35

x= 9
5(3 x 2) + 21( x 2) = 88
36 x = 140


- Nu x > 2 ta cú h:


2m + 1
Để giá trị này là nghiệm của phơng trình ta cần có:
m+2

2m + 1
1
Hoặc m < -2
0m
m+2
2

Nếu x < 0 ta có mx + 2x = 2m + 1 (2 m) x = 2m + 1(4) .
Khi m = 2 phơng trình (4) 0x = 5 (vô lý do đó hệ vô nghiệm.)
Khi m 2 x =
có:
x=

2m + 1
Để giá trị này là nghiệm của phơng trình ta cần
2m

2m + 1
1
Hoặc m > 2.


• NÕu m ≥ −2 th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm .

Bµi 3: T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.

x − 1 + y − 2 = 1(1)

2
( x − y ) + m( x − y − 10 = x − y (2)

Gi¶i : Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã 1 = x − 1 + y − 2 ≥ x − y + 1 (3)
Tõ

(2)

ta

cã

(x-y)2

-

(x-y)

+

m(x

–

Vậy : Amin=2 đạt được khi và chỉ khi (x-1)(3-x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 .
Cách 2:

18


Trong khoảng x < 1 thì A = 1 - x + 3 – x = 4 - 2x.
Do x < 1 nên -2x > -2 đo đó 4 – 2x > 2.
Trong khoảng 1 ≤ x ≤ 3 thì A = x – 1 + 3 – x = 2.
Trong khoảng x > 3 thì A = x – 1 + x – 3 = 2x – 4.
Do x > 3 nên 2x – 4 > 2.
So sánh giá trị của A trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất của A
bằng 2 khi và chỉ khi 1 ≤ x ≤ 3 .
Bài 2: Tìm GTNNcủa B = x − 2006 + x − 2007 + x − 2008
Giải : Xét các trường hợp:
• Nếu x< 2006 ta có B =2006 – x + 2007 – x + 2008 – x = 6021 - 3x.
Do x < 2006 nên 6021- 3x > 3.
• Nếu 2006 ≤ x < 2007 ta có : B = x - 2006 + 2007 – x + 2008 – x =2009 – x.
Do 2006 ≤ x < 2007 nên 2 < B ≤ 3 đẳng thức xảy ra khi x = 2006.
• Nếu 2007 ≤ x < 2008 ta có : B = x – 2006 + x – 2007 + 2008 – x = x –
2005.
Do 2007 ≤ x < 2008 nên 2 ≤ B < 3 Đẳng thức xảy ra khi x = 2007.
• Nếu x > 2008 ta có B = x – 2006 + x – 2007 + x – 2008 = 3x – 6000 > 3.
So sánh giá trị của B trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất cuả B
bằng 2 đạt được khi x = 2007.
Bài 3:Cho C = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
a)Tìm điều kiện của a để C được xác định.
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của C và giá trị tương ứng.
Giải :
a) ĐKXĐ: x ≥ 1

10) x − 3 x + 2 = 0
Bài 2: Cho phương trình với tham số m.
1
1
1
(3 x − m ) + 1 = ( 2 x + m ) + m +
3 x − 35
2
5
10

a) Giải phương trình đã cho.
b) Phải cho m giá trị nào để có x = 36
c) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0;8)
Bài 3: Giải các phương trình ;
1) x 3 + x 2 + x = x
2) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 = 2( x + 1)
3) 3 + x − 4 x − 1 + x =
4)

2
3 + x − 4 x −1

=

15
4
5

1+ x −1

20


- Kết quả khảo sát khảo sát cụ thể như sau: (Khảo sát học sinh lớp 8b
trường THCS Thổ Tang)
Đề bài: Giải phương trình:
Câu 1:
Câu 2:

x−3 + x+2 = 7
x +1
x

=5

Câu 3: Giải bất phương trình:
x −1 + x − 2 > x + 3

Làm được hoàn chỉnh trong thời
Làm xong
Không làm
Số HS lớp gian khảo sát 15 phút
nhưng hết > 15
được
8B dự khảo
Từ 11 – 15
phút
Trước 10 phút
sát: 40 em
phút

2

5,0

Câu 2

15

37,5

19

47,5

4

10,0

2

5,0

Câu 3

20

50,0

17


21


gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động vận dụng kiến thức khá thành thạo
khi làm một số dạng bài toán từ dễ đến khó.
- Tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn,khả năng tư
tìm tòi cách các dạng toán của các em được phát huy một cách tích cực, kết quả
học tập môm toán được năng lên rõ rệt.
-Qua các buổi phụ đạo, tôi đã cung cấp cho các em học sinh các kiến thức
lý thuyết, sau đó đưa ra các bài tập áp dụng cụ thể từng dạng bài và những kinh
nghiệm, cách nhìn nhận, phán đoán để có phương pháp giải nhanh đối với từng
bài, kết quả thu được sau 8 buổi :
- Học sinh biết phân loại và nắm được phương pháp giải các dạng phương
trình , bất phương trình, hệ phương trình và một số bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
-Trang bị thêm cho các em những kiến thức về giá trị tuyệt đối mà các em
thường mắc sai lầm, vì vậy mà các em không ngại khi gặp các bài toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
- Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu
thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Xây dựng cho các em niềm đam mê và hứng thú học tập bộ môn toán,
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo trong học tập.
Để chất lượng giảng dạy ngày một nâng lên đảm bảo theo yêu cầu của
ngành giáo dục, bản thân mỗi thầy cô giáo chúng ta phải chịu khó suy nghĩ trau
dồi phương pháp, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, biết
chắt lọc, hệ thống kiến thức theo từng chuyên đề bám sát, nâng cao phù hợp đối
tượng học sinh từng lớp. Phải thường xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập
của các em, kịp thời bổ sung sữa chữa những sai lầm về kiến thức, phương pháp
giải đặc biệt là rèn luyện kĩ năng trình bày bài. Giáo viên phải có kế hoạch phân
chia kiến thức thành các chuyên đề lôgíc, theo hệ thống. Dạy sâu, dạy chắc kiến

Phan Đức Chính
Tôn Thân

2.

Sách bài tập Toán lớp 8

NXB Giáo dục

Tôn Thân
Nguyễn Huy Đoan

3.

Sách giáo viên Toán 8

NXB Giáo dục

Phan Đức Chính
Tôn Thân

4.

Để học tốt Toán 8

NXB Đại học Hoàng Chúng
Quốc gia Hà
Nội

5.

giỏi toán THCS

Nguyễn Vũ Thanh

10. Tài liệu bồi dưỡng toán 8

NXB Giáo dục

NXB Giáo dục

Vũ Hữu Bình
Nguyễn Ngọc Đạm

Bùi Văn Tuyên

23


MỤC LỤC
TT

Tên tiêu đề

1.

Phần I. Đặt vấn đề

2.

Lý do chọn đề tài

10.

Kết luận và kiến nghị

Ghi chú

24


CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

TT

Cụm từ

Viết tắt

1.

Sáng kiến kinh nghiệm

SKKN

2.

Giá trị lớn nhất

GTLN

3.


Vế phải

VP

25