Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1989-1990
Ngày thứ I :
Bài 1 : Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức là số nguyên
Bài 2 : Tìm min của
Bài 3 :
a)Chứng minh với mọi m nguyên dương ,biểu thức không phài là số chính phương
b)Chứng minh rằng với mọi m nguyên dương thì không thể thành tích của 4 số tự
nhiên liên tiếp
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông cân ,góc A=90 độ .CM là trung tuyến (M nằm trên AB).Từ A
vẽ đường vuông góc với MC cắt BC ở H.Tính tỉ số
Bài 5 : Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc với
nhau .Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau
1
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1993-1994
Ngày thứ I :
Bài 1 :
a)Giải phương trình
b)Giải hệ phương trình
Bài 2 : Tìm max và min của A= khi x,y thay đổi thỏa mãn ;
Bài 3 : Cho hình thoi ABCD .Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp các :delta ABD,ABC
và a là độ dài cạnh hình thoi .CMR:
Bài 4 : Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho
nhận giá trị nguyên dương
Ngày thứ II:
Bài 1 : Giải hệ phương trình :
Bài 2 : Có tồn tại hay không các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện :
.
Bài 3 : Số 1997 viết đước dưới dạng tổng hợp số, nhưng không viết được dưới dạng tổng
hợp số . Hỏi bằng bao nhiêu ?

Chắc ý bạn muốn chứng minh:
vậy thì trước hết chứng minh:
Xây dựng 2 bất đẳng thức còn lại tương tự đpcm
THI THử CHUYÊN TOÁN KHTN
Vòng 1: (toán chung)
4
Bài 1,(2đ)
Tính S=
Bài 2,(2đ)Tìm nghiệm nguyên dương:
Bài 3,(2đ)C/m nghiệm pt là nghiệm pt:
Bài 4,(3đ)Cho hv ABCD, M di động trên BD (M khác B,D).Vẽ 2 đường tròn tâm O1,O2
đều qua M và lần lượt tiếp xúc với CB,CD ở B,D. (O1) cắt (O2) ở N ( khác M).
a,C/m C,M,N thẳng hàng
b,C/m N 1 đường tròn cố định
c,Tìm M để đoạn O1O2 min.
Bài 5,(1đ)Giả sử a,b,c là những số thực dương thoả mãn ,c/m:
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1998-1999
5
Ngày thứ I:
Bài 1 :
a) Giải phương trình :
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2 : Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện
Tính giá trị của biểu thức
Bài 3 : Cho các số . Chứng minh rằng :
Bài 4 : Cho đường tròn (O) bán kính R . A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB<2R) .
Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn .
a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn
(O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường trỏn thì

Cho tam giác đều ABC . Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính bằng
nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam giác . Gọi
là vòng tròn tiếp xúc ngoài với cả bà vòng tròn . Biết bán kính của vòng
tròn là , hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC .
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1999-2000
7
Ngày thứ I:
Bài 1: Cho các số thỏa mãn :
Tính giá trị của biểu thức .
Bài 2:
a) Giải phương trình :
b) Giải hệ phương trình :
Bài 3 : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho .
Bài 4 : Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN
và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại
tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau . Tìm
vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .
Bài 5 :
Các số dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Ngày thứ II:
8
Bài 1 : Giải phương trình :
Bài 2: Cho các số được xác định bởi công thức với mọi . Tính
giá trị của tổng
Bài 3 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng

Bài 1 :
a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : .
b) Cho cặp số thỏa mãn : , . Chứng minh : ,
.
Bài 2 :
a) Giải phương trình .
b) Cho có tính chất , , đều là các số hữu tỉ . Chứng minh
rằng là các số hữu tỉ .
Bài 3 :
a) Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng, nếu các góc B và D của tứ giác là vuông hoặc tù
thì .
b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động . Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác
ABC là tam giác không tù và góc là góc bé nhất của tam giác ABC .
Bài 4 : Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa
các cặp điểm là các số khác nhau . Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng,
trong các đoạn thẳng vừa thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của một tam giác có 3
đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác cũng có 3
đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho .
THI TUYểN VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN QUảNG BÌNH
Năm học 2002-2003
Câu 1(2 điểm):
Cho đường thẳng có phương tr“nh
1) Xác định trong mỗi trường hợp sau:
a/ (d) đi qua điểm
b/ (d) cắt trục tung tại B có tung độ bằng 3
2) T“m để 2 đường thẳng được xác định trên và đường thẳng đôi một song song
Câu 2(1,5 điểm):
CMR:
Câu 3(2 điểm):
Cho phương tr“nh:

Câu 1 :
Câu 2 :
2) Đk cần là là số cp > Đặt . Tách xong ta đc :
NX : và cùng tính chẵn lẻ , từ đó làm nốt ra kết quả.
Cách 2:
ta có:
Ta có 2 nghiệm của phương trình là
13
Do chúng đều nguyên vậy, suy ra
Do đó , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 vậy không có p thỏa
mãn cho phương trình trên có nghiệm nguyên
Cách 3:
Gọi và là nghiệm của phương trình ( , là các số nguyên )
Theo hệ thức Viét :
+ =
=
Vì và là các số nguyên nên
là nguyên p lẻ
là nguyên p chẵn
VÔ LÝ
Vậy không tồn tại p thỏa mãn
Câu 3 :
1) Gọi O là tâm nội tiếp . CM đc O là trung trực AM , AN > O là tâm ngoại tiếp AMN.
2) Kẻ > EF là đg kính > đpcm.
Câu 4 :
Ta có Do đó vậy
Giả sử và , ta có
Do đó trong 2 số có một số nhỏ hơn 3.
Giả sử , xét ta có , lúc này
Xét ta có

Bi 4:
-> (vỡ cỏc a nhn giỏ tr 1 0-1)
-> ( ): ( )
gi s |x| 2
->|x|-1 1-> VP < ( vụ lớ)
->pcm
Đề tuyển sinh vào 10 - Chuyên Lam Sơn (6)
Bài 1: Cho K = (
1a
a
-
aa
1
) : (
1
1
+a
+
1
2
a
)
Tính K khi a = 3 +2
2
Bài 2: Cho f(x) = x
4
4x
2
+ 12x 9
a, Phân tich f(x) thành tích

+=
+=
xyy
yxx
82
83
3
3

Bài 7: Cho a,b là hai số dơng. Chứng minh rằng :
a
1
+
b
1


ba +
4
Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G
a, Chứng minh rằng dt(

GAB)đt(

GCA),dt(

GBC)
b, Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của AB,BC,CA. O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC . CMR O là trực tâm của


+
a
a
a
a
a

=
a
a 1
Khi a= 3 + 2
2
= (
2
+ 1)
2
=> K =
12
222
+
+
=2
1.0
1.0
2
(2đ)
a, Ta có f(x) = x
4
- 4x

=
032
3
1
2
xx
x
x

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = 1, x = -3
1.0
1.0
17
3
(2đ)
Phơng trình




=














=
=
=
-1/2 x
x

21
21
02
21
21
02

21
21
21
21
21
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx


) là nghiệm của hệ









=
=
=




=
=
3
0
1
12
1
2
x
x
xy
xxy

Vậy M(1;0) thì MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất
1.0
1.0
6
2.0
Hệ
18



=
=




+=
=+++




+=
=

011
83
0)5)((
83
)(5







=
=



=
=



=
=

11
11
11
11
0
0
y
x
y
x
y

abba
abbaabab
Bất đẳng thức đã cho đúng
Dấu bằng xảy ra a=b
1.0
1.0
8
(2đ)
Ta có :
)(
)(
ABCdt
GBCdt


=
AH
GH
1
=
AN
GN
=
3
1

=> dt(

GBC) =
3

MNP
MP // BC
1.0
1.0
19
OM ⊥ AB => OM ⊥ NP ⇒ OM lµ ®êng cao cña MNP
NP // AB
 O lµ trùc t©m cña
∆
MNP
9
(2®)
Gäi H lµ giao ®iÓm cña AM vµ BD
Trong
∆
vu«ng ABD ta cã BD =
22
ADAB
+
=a
3
∆
vu«ng cã AM =
22
BMAB
+
=
2
6a
V× M =

(2®)
Ta cã :




⊥
⊥
SKDM
SADM
=> DM ⊥ (SAK)

AKDM
⊥
 Gãc
0
90
=
∧
AKD
-> K thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AD
1.0
1.0
20
“Luôn chúc mọi người hạn phúc và luôn vui vẻ”
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
Năm học 2004-2005
Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức:
a) Với giá trị nào của th“ biểu thức có nghĩa?
b) Rút gọn P r?#8220;i so sánh với .


21
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
1 1
( ) ( )
( )( )
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
với x, y là các số thực lớn hơn 1.
4 Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = ∠ MDA.
b) Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống
AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số
OB
CN
có giá trị không đổi
khi M di chuyển trên đờng chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S) và (S’) có các đờng
kính tơng ứng AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại P và
Q. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S).
Bài 5 : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vợt quá
a và kí hiệu là [a]. Dãy số x
0
, x
1

b) Phương tr“nh (1) có hai nghiệm phân biệt thõa mãn .
Câu 3(1,0 điểm): T“m GTLN của biểu thức: (x>0).
Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường phân giác
trong và ngoài của góc A cắt BC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC ở F.
a) CM tam giác FAD cân tại F.
b) CM:
c) Đặt AB=m, AC=n. Tính tỷ số theo m và n
Câu 5(1,0 điểm): Trong dãy số tự nhiên có thể t“m được 2005 số liên tiếp nhau mà không có
số nào nguyên tố không?
Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên
Câu 1(1,5 điểm): Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh hai số sau:
và
22
Câu 2(2,0 điểm): Giải phương tr“nh:
Câu 3(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:
Câu 4(3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Từ C kẻ tia Cx vuông góc
với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm E, F sao cho CE=CA và CF=CB. Vẽ đường tròn tâm đi
qua ba điểm A, C, E và đường tròn tâm đi qua ba điểm B, C, F, chúng cắt nhau tại điểm thứ
hai D.
a) CM ba điểm E, B, D thẳng hàng và ba điểm A, D, F thẳng hàng.
b) Khi C di động trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và C cũng không trùng với B),
chứng minh đường thẳng CD luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5(1,5 điểm):
An hỏi B“nh: Bố của bạn năm nay bao nhiêu tuổi?
B“nh đáp: Năm 1986, tuổi của bố m“nh là một số có hai chữ số và bẳng tổng các chữ số năm
sinh của bố m“nh. Hỏi bố của B“nh sinh năm nào và năm 2005 này bố của B“nh bao nhiêu
tuổi?
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 2005-2006
Vòng 2:

Bài II: (3 điểm)
Câu1: Giải hệ phương trình:
3 4 31
2 3 25
x y
x y
+ =


+ =

Câu2: Giải phương trình : 25x
4
+ 24x
2
– 1= 0
Bài III (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P):y =
1
2
x
2
và đường thẳng (d): y =
1
2
x +
3
Câu1: Vẽ (P) và (d).
Câu2: Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu3: Chứng minh rằng đường thẳng (

4) Gọi J là giao điểm của BH và AC. Chứng minh BC.EJ = EA .BJ
. Hết

Họ và tên thí sinh Chữ ký giám thò 1
Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(2006 – 2007)
Bài 1: (3 điểm)
1) A =
24 6 -24 6 +30 6 -10 6
0,75đ
A =
20 6
0,25đ
2) B =
3 3 + 5-3 3 + 5
27-25
0,5đ
B = 5 0,5đ
3) C =
8-2 7 8+2 7
-
2 2
0,25đ
C =
(
)
(
)
2 2

=
1
25
=> x =
1
±
5
0,5đ
Kết luận nghiệm 0,25đ
Bài 3: (3điểm)
1) Vẽ đúng (P) 0,5đ
Vẽø đúng (d) 0,5đ
2) Lập được phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) 0,25đ
Giải phương trình tìm được x = –2 , x= 3 0,5đ
=> toạ độ 2giao điểm là ( –2 ; 1) và (3 ; 4,5) 0,25đ
3) Gọi A (x
0
,y
0
) là điểm thuộc đường thẳng(
Δ
): mx + y = 2– 2m
A (x
0
,y
0
) thuộc (
Δ
) <=> m( x
0