PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN
TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM
***************
Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THCS
Môn toán
Tác giả : Nguyễn Thị Thanh Tâm
Chức vụ: Giáo viên tổ Tự nhiên I
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Năm học: 2013- 2014
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. Cơ sở lý luận .
Qua thực tế giảng dạy cho thấy phần lớn các thầy cô giáo lấy việc giải
nhiều bài tập để rèn luyện cho học sinh mà theo tôi nên rút ra được phương
pháp giải cho từng loại bài tập, phân loại các dạng bài tập cơ bản.
Thực hiện chương trình cải cách giáo dục nội dung kiến thức của cấp
học ngày càng cao. đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản một
cách thực sự. Học sinh phải có phương pháp học, phương pháp tự nghiên cứu
hợp lý để thực sự có kết quả cao, cũng như việc hình thành các kỹ năng, kỹ
xảo cho học sinh. Hơn nữa do tính sư phạm có những định nghĩa, định
lý, học sinh phải công nhận trong giải toán. Hệ thống bài tập không những
đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng kiến thức mà còn phải biết
đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kho tàng
kiến thức khổng lồ trong chương trình cấp học THCS là phương trình.
Giải phương trình là một bài toán cơ bản liên quan đến nhiều bài toán
khác như tìm tập xác định, giải bài toán có lời văn bằng cách lập phương
trình. Đối với những phương trình có dạng cơ bản thì học sinh có thể áp dụng
giải dễ dàng. Tuy nhiên với những phương trình dạng bậc cao hoặc những

b) Tập xác định của phương trình: Là những giá trị của biến làm cho
mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
c) Đối với hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
d) Định nghĩa hai phương trình hệ quả.
Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương
trình thứ hai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương
trình thứ nhất.
e) Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình:
Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình khác tương
đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương.
2. Các định lý về biến đổi tương đương phương trình.
a) Định lý 1 : Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của
phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình
đã cho.
Ví dụ :5 x =10 <=> 5 x-3 x = 10 - 3 x
Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một
phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới
tương đương với phương trình đã cho.
Trang 3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Ví dụ: 2 x - 5 = 7 x + 9 <=> 2 x- 7 x =9 + 5
Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương
trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ : 5 x - x
2
- 7 = 3 x + x
2
<=> 5 x- 7 = 3 x
b) Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình

- ac (b’ = b/2)

,
< 0 phương trình vô nghiệm

,
= 0 phương trình có nghiệm kép
Trang 4
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
x
1
= x
2
= -b/2a
> 0 phương trình có 2 nghiệm
phân biệt
x
1,2
=
a
b
2
∆±−
x
1
= x
2
= - b’/a

,

= 81 - 80 = 1 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
2
19 +
= 5; x
2
=
2
19 −
= 4
+ Sử dụng định lý Vi-et:
= 1> 0 x
1
+ x
2
= -
a
b
= -
1
9
= 9 x
1
. x
2
=
a
c

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Sai lầm mà học sinh thường mắc khi giải bằng phương pháp này.
Ví dụ : Giải phương trình: x
2
- 9x + 20 = 4
<=> (x - 4)(x - 5) = 4 (sai)
<=> x - 4 = 5
hoặc x- 5 = 4
+ Phương pháp đồ thị:
Giải phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
<=> ax
2
= -bx - c
Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong
P : y = ax
2
và đường thẳng D: y = -bx - c
- Nếu P và D không cắt nhau thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu P và D tiếp xúc thì phương trình có nghiệm kép.
- Nếu P và D cắt nhau tại hai điểm thì phương trình có 2 nghiệm phân
biệt.
Ví dụ: Giải phương trình : x
2
- 9x + 20 = 0 <=> x
2
= 9x- 12
P: y = x
2

≥
0 nên phương trình ax
2
+ bx + c =
0 có nghiệm.
Trang 6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Chỉ với điều kiện ac
≤
0 chưa đảm bảo phương trình ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm, chẳng hạn khi xét phương trình m
2
x
2
- 3x- 5 = 0 ta có ac = -5m
2
nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành 0x= 5 vô nghiệm.
Như vậy khi xét trường hợp ac
≤
0 ta phải xét 2 trường hợp a ≠ 0 và a
= 0, với a≠ 0 thì phương trình có nghiệm.
Ngoài 2 cách chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm nêu trên, ta
còn có thể chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm bằng cách sau đây:
Ví du: Cho phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh nếu tồn tại số thực
α

/4
Nếu f(
α
)
≤
0 thì
∆
/4
≥
(a
α
+ b/2)
2
=>
∆

≥
0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 tồn tại một trong các
phương trình sau đây có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx

minh một phương trình có nghiệm.
2.2/ Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc 2.
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có ít nhất một
nghiệm chung.
2x
2
- (3m - 1)x - 3 = 0 (1)
6x
2
- (2m - 3)x - 1 = 0 (2)
Giải: Gọi x
0
là nghiệm chung của (1) và (2). Thay vào 2 phương trình ta
được:
(11m - 6) x
0
= 8
Với m =
11
6
thì 2 phương trình (1) và (2) vô nghiệm.
Với m ≠
11
6
thì x
0
=
611
8
−m

- Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm dương phân biệt là:
∆
> 0
P > 0
S > 0
- Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm âm là :
∆

≥
0
P > 0
S < 0
Trang 8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 3x + k - 1 = 0 xác định số k để phương trình:
a) Có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghiệm trái dấu.
Giải:
∆
= 9 - 4(k -1) = 13 - 4k
P = k -1.
a)
∆
> 0 <=> 13 - 4k > 0 <=> 4k < 13
P > 0 k - 1 > 0 k > 1
Điều kiện 1 < k < 13/4
b) P < 0 => k < 1
• So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số

- 4x + 2(m - 1) = 0 (1) có hai nghiệm
phân biệt nhỏ hơn 2.
Giải: Đặt X = x - 2 => x = X + 2
(1) trở thành 3(X + 2)
2
- 4(X + 2) + 2(m - 1) = 0
<=> 3X
2
+ 8X + 2(m + 1) = 0 (2)
Phương trình có nghiệm khi:
∆
> 0 m< 5/3
P > 0 <=> m > -1 <=> -1 < m < 5/3
S < 0 -8/3 < 0
Ta phải tìm điều kiện của m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm
<=> -1 < m < 5/3.
Vậy với -1 < m < 5/3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ
hơn 2.Nhận xét:
Trang 9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Như vậy với trường hợp so sánh nghiệm của phương trình với số
α
≠ 0
ta đặt ẩn phụ đưa về một phương trình bậc hai khác mà ta cần so sánh
nghiệm của phương trình đó với 0.
Bài tập:
1. Cho phương trình: mx
2
- 2(m - 1)x + (m - 1) = 0 (1) (m là tham
số)

thoả mãn -2 < x
1
< -1 ; 1 < x
2
< 2.
3. Phương trình bậc cao.
Định nghĩa: Ta gọi phương trình đại số bậc n trên trường số thực là các
phương trình được đưa về dạng:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
= 0
Trong đó n nguyên dương, x là ẩn, a
1
, a
2
, ,a
n
là các số thực xác định
a
n

3
- x
2
+ 3x + 6 = 0
<=> 2x
2
(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0
<=> (x + 1) . (2x
2
– 3x + 6) = 0
Giải: x + 1 = 0 => x = -1.
2x
2
- 3x + 6 = 0 vô nghiệm.
Phương trình đã cho có một nghiệm là: x = -1
- Sai lầm của học sinh hay mắc phải là không biến đổi cho một vế
bằng 0.
+ Ví dụ: Giải phương trình.
x
4
- 1 = 3 <=> (x - 1).(x + 1).( x
2
+ 1) = 3
x - 1 = 3
<=> x + 1 = 3 (sai)
x
2
+ 1 = 3
b) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình dạng sau

2
. Ta thường gọi phương
trình này là phương trình hồi quy, cách giải:
Đặt ẩn phụ như phương trình đối xứng bậc 4
Ví dụ: Giải phương trình
0231632
234
=++−+ xxxx
( 1)
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x
2
0≠

ta được
0
23
1632
2
2
=++−+
x
x
xx
016)
1
(3)
1
(2
2
2

X
= -4 ta có:
4
1
−=+
x
x
322,1
014
2
±−=⇒
=++⇒
x
xx
+ Với
5
2
2
=X
ta có:
2
51
=+
x
x
2 x
2
-5x +2 =0
<=> x
3

16)1()1(
44
=++− yy
Rút gọn ta được
076
24
=−+ yy
7;1
22
−==⇔ yy
( loại )
Với y = 1. Ta được x = - 2
y =-1. Ta được x= - 4
+ Phương trình dạng: (x + 4)(x + b)(x +c)(x + d) = mx
2
Với ad = bc
Đặt ẩn phụ là y = x +
2
ad
hoặc y = (x + a)(x + d)
+ Phương trình dạng: ( x + a)(x + b)(x + c)( x + d) = mx
2
Với ad = bc
Đặt ẩn phụ là y = x +
2
ad
hoặc y = (x + a) (x+d)
+ Đặt ẩn phụ là y = x + (a +
2
d

Phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm kép x = 1
Trang 13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Nhận xét : Với dạng này học sinh thường mắc sai lầm là coi A
2
= B
2
<=> A = B , như vậy sẽ thiếu một trường hợp A = - B
4. Phương trình phân thức hữu tỷ.
* Định nghĩa : Phương trình phân thức hữu tỷ là phương trình có dạng :
),(
),(
yxQ
yxP
= 0 (1)
Trong đó P (x,y ) Q (x,y ) là các đa thức ; Q(x,y) ≠ 0
Phương trình (1) tương đương với : P (x,y ) = 0
Q (x,y ) ≠ 0
Trong chương trình phổ thông cơ sở phương trình này gọi là phương
trình chứa ẩn ở mẫu .
* Cách giải : - Tìm tập xác định .
- Quy đồng khử mẫu đưa về các dạng phương trình đã nêu ở trên
tuy nhiên có một số phương trình phân thức hữu tỷ có thể giải bằng biến đổi
dẫn đến đặt ẩn phụ để đưa về các phương trình đơn giản .
Ví dụ : Giải phương trình x
2
+ x -
xx +
2

2
= -3
Nghiệm của phương trình là : x
1
= 2 ; x
2
=-3
Nhận xét : Sai lầm của học sinh đối với dạng này là không tìm TXĐ
của các biểu thức trong phương trình dẫn đến biến đổi không tương
đương . Vì vậy đã không loại nghiệm không phù hợp .
Bài tập : Giải các phương trình :
Trang 14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
1. x
2
+ x +
x
1
+
2
1
x
= 0
2. 2(x
2
+
2
1
x
) - (x +

Để giải được phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử được
dấu giá trị tuyệt đối .
+ Sử dụng định nghĩa :
|A| = A nếu A ≥ 0
- A nếu A < 0
+ Phương pháp thông thường là xét các khoảng giá trị thuộc miền xác
định của ẩn .
+ Ngoài ra có thể sử dụng phương pháp bình phương hai vế đưa về giải
phương trình bậc 2 :
| A(x) | = B(x) điều kiện B (x) ≥ 0
<=> [A(x)]
2
= B[(x)]
2
Ví dụ : Giải phương trình |(2x +3)| = x + 2 điều kiện x > -2
Cách 1 : nếu x ≥ -3/2 thì (1) có 2 nghiệm là x = -1 và x = -5/3
Cách 2 : với điều kiện x ≥ 2 bình phương 2 vế của (1)
(1) <=>(2x + 3)
2
= (x + 2)
2
<=> 3x
2
+ 8x + 5 = 0
<=> x = -1; x= - 5/3 (thoả mãn điều kiện)
Nhận xét: Sai lầm học sinh thương mắc là không xét hết các
khoảng, không so sánh với điều kiện của ẩn .
+ Phương pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ : Giải phương trình : 3x
2

2
+ 6 (m - 2)x + 4m - 7 = 0 (1)
Nếu m = 0 thì (1) <=> - 12x - 7 = 0 <=> x = -7/2
Nếu m ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai .
A' = ( m - 4).(5m - 9)
Nếu
∆
' = ( m-4 ).(5m - 9)
Nếu
∆
' < 0 <=> m = 4
m =
5
9
< m < 4 . Phương trình vô nghiệm .
Nếu
∆
' = 0 <=> m = 4
m =
5
9
Thì phương trình có nghiệm kép
Nếu
∆
' > 0 <=> m > 4
Trang 16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
m <
5
9

A
= | A |

A
+
B
=
2
2
BAA −+
+
2
2
BAA −+
Với A > 0 ; A
2
> B > 0 .
Các phương trình dùng đẻ giải phương trình vô tỷ .
a) Phương pháp nâng lên luỹ thừa :
Để làm căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế lên luỹ thừa bậc n . Nếu n là số
chẵn thì phép biến đổi này chỉ tương đương nếu 2 vế không âm .
Ví dụ : Giải phương trình
1+x
-
2−x
= 1 (1)
Điều kiện x ≥ - 1 (2)
Viết phương trình (1) dưới dạng :
1+x
=

=−−+−−⇔
=+−−−++−−+⇔
xx
xx
xxxx
Với x >10 thì phương trình ( 2) trở thành:
1031612 =⇔=−⇔=− xxx
(loại )
Với x <5 thì phương trình ( 2) trở thành
521 =⇔=− xx
( loại )
Với
835 ≤≤ x
thì phương trình ( 2) trở thành:
13121 =+−+−− xx
11 =⇒
( luôn đúng )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
83 ≤≤ x
Nhận xét: Sai lầm học sinh thường mắc phải khi khai căn bậc 2
chẵn không lấy dấu giá trị tuyệt đối.
c) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp đặt ẩn phụ nhằm biến đổi một phương trình vô tỷ về một
phương pháp hữu tỷ
Ví dụ: giải phương trình
Trang 18
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
2x2 + 3x - 5
0932
2

Với việc phân loại từng dạng phương trình và đưa ra cách giải rõ ràng, khắc
sâu các sai lầm mà học sinh hay mắc phải đã mang lại những hiệu quả rõ rệt
góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân và chất lượng học tập
của học sinh. Các kiến thức về phương trình một ẩn đã được các em nắm
vững đồng thời biết vận dụng kiến thức chính xác vào giải bài tập. Kết quả
bài kiểm tra cao thể hiện ở tỉ lệ trên trung bình và tỉ lệ của các bài khá giỏi.
Dưới đây là kết quả một số bài kiểm tra của lớp 9A4 trong năm học 2013 -
2014 này.
Kết quả bài kiểm tra 8 tuần học kỳ II.
SS 0- 2,5 3- 4,5 5- 6,5 7- 8,5 9- 10 Trên TB
31 SL % SL % SL % SL % SL % SL %
0 0% 2 6% 8 26% 11 35% 10 32% 29 94%
Kết quả bài kiểm tra 1 tiết ở chương IV.
SS 0; 1; 2 3; 4 5; 6 7;8 9; 10 Trên TB
31 SL % SL % SL % SL % SL % SL %
1 3% 3 10% 8 26% 11 35% 8 26% 29 94%
Trang 19
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
III. KẾT LUẬN.
Trên đây là những kiến thức và phương pháp giải phương trình mà theo
tôi nghĩ mỗi giáo viên cần có để giảng dạy cho học sinh .
Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta
đều phải truyền tải các nội dung trên. Mỗi giáo viên cần xác định đúng đối
tượng học sinh để cung cấp những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và
quỹ thời gian của học sinh.
Việc cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản để tạo tiền đề cho
học sinh có tư duy sáng tạo trong việc giải bài toán có lời văn. Từ đó học sinh
thấy đươc sự thuận lợi giữa việc giải bài toán đại số với bài toán số học.
Qua việc áp dụng nhưng vấn đề đã nêu ở trên trong quá trình giảng
dạy của mình tôi thấy học sinh tiêp thu bài rất nhanh và áp dụng làm bài tập