M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN GI
ẢI PH
ƯƠNG TR
ÌNHPHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI ĐẠI HỌC

C
ẨM NANG CHO M
ÙA THI

NGUY
ỄN HỮU BIỂNEmail:
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC


2
2
2
2
2
1 1
x
2 x x
8 2
2 2
1
2x 1
2
4
2 2
x x
1
4
2
2 2
2x 1
x x
1
x x
2x 1
2
4
2 2
1
x x

 
⇔ − + − − + =
 
 
 
⇔ − + − − + =
 
 
 
⇔ − + − − + =
 
 
⇔
2x 1
2
2 2
1 7 7
x x 3 .log 2x 1
4 4 4
(1)
−
 
   
− + + = − +
   
 
   
 

+ Xét hàm số

2
7 1
f '(t) 3 .ln 3.log t 3 . 0, t 0
4 t.ln 2
 
⇒ = + + > ∀ ≥
 
 
f (t)
⇒
là hàm đồng biến
+ Từ (1)
( )
2 2
1 1
f x x f 2x 1 x x 2x 1
4 4
 
⇒
− + = −
⇒
− + = −
 
 
(2)
+ Xét 2 TH:
2x 1 0;2x 1 0
− ≥ − <
để bỏ dấu GTTĐ ở (2), giải PT (2) ta có ĐS:
1 5

( )
( ) ( )
( )
3 2 3 2
3 2 2 2
x x 19x 16 x 1 x x 1 18 x 1
x x 19x 16 x 1 x x 1 x x 1 18 x 1
+ − − = + + − + − +
⇔ + − − = + − + + − + − +

+ Phương trình đã cho trở thành:
( )
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2
x 1 x x 1 x x 1 18 x 1 3 x 1 1 x 1 x x 1
 
+ − + + − + − + = + − + − +
 
(1)
+ Đặt ẩn phụ
2
a x 1 0
b x x 1 0


(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 3 2
a b b 18a 3 a 1 ab a 1 b 3a 3a b 18a 0
(3)
+ − = − ⇔ + − − − =

- Phương trình (3) tính được
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
3 2 2 2 2
3a 3a 4 a 1 18a 9a a 3
∆ = − + + = = +

⇒
phương trình (3) có 2 nghiệm
(
)
( )

= =

+ +


+ Vậy (2) :
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
a b b 18a 3 a 1 ab b 3a a b b 12a 0
+ − = − ⇔ − + + =

+ Do
2
a b b 12a 0 a b 0
+ + = ⇔ = =
(do
a, b 0
≥
)
2
x 0
x 1 x x 1
x 2
=


≥


+ Ta biến đổi PT
( ) ( )
( )
2
2 2
2x 3x 16 2x 3x x 1 4 x 1 8
 
 
⇔ − + − − − + + − =
 
 
 

+ Đặt
2
a 2x 3x
b x 1

= −


= −


thay vào phương trình ta có:
(
)

+ −
+ +
⇔ + + =
+ +
⇔ + + =
⇔ + + = + +
⇔ + + = + +

+ Xét hàm số
2
2
t
f (t) t 16 t, t R f '(t) 1 0, t R f (t)
t 16
(*)= + + ∈ ⇒ = + > ∀ ∈ ⇒
+
là hàm
đồng biến.
Vậy từ (1)
f (2b) f (a) 2b a
⇒ = ⇒ =
( )
( )
2
2
2
2
2x 3x 0
2 x 1 2x 3x (I)
4 x 1 2x 3x

>
bằng phương pháp phản chứng như sau:
Giả sử
2 2
2 2
t 0
f '(t) 0 t t 16 0 t 16 t
t 16 t
≤

< ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔

+ <

(vô lý)
f '(t) 0
⇒
>
)
Bài 4: Giải phương trình
2
2 7 2 1 8 7 1
+ − = − + − + − +
x x x x x

Hướng dẫn: Đk:
1 7
x
≤ ≤


4 2 2
1 (1 )
x x x x x
+ + + = −

Hướng dẫn:

ĐK:
1
0 1
≤ −


≤ ≤

x
x

- TH1: Với x = 0 không phải nghiệm của phương trình
- TH2: Với
0
x
≠
.
* Với
0 1
x
< ≤

Khi đó pt



* Với
1
x
≤ −
. Ta có
2
2
1 1
1 1
x x
x x
− + + + = − −

Đặt
4 2
2
1 1
2
t x t x
x x
= − ⇒ = + −
. Khi đó ta được
4
3 1 1
t t t
+ = + ⇔ =

⇒

Hướng dẫn:

ĐK:
5
x
≤
. Pt
(
)
(
)
2
3
4 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0
x x x x
⇔ + − + − − + − − =
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang
4

NGUYỄN HỮU BIỂN -

≠ −

( )
2
3 3
36 16
4 27 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
⇔ + + − =
+ −
− − + −

( )
2
3
36 16
4 27 0
4 10 2
12 9 37 2
x
x
x
⇔ + + − =
+ −
+ − −


x x
.
Hướng dẫn:

( )
2 2
2 2
'
2
log (4 2 1) log (2.16 2.4 1) 2.16 3.4 2
log (4 2 1) 4 2 1 log (2.16 2.4 1) 2.16 2.4 1
1
XÐt ( ) log , 0, ( ) 1 0, 0 ®ång biÕn trªn 0;
ln 2
⇔ − + − − + = − +
⇔ − + + − + = − + + − +
= + ∀ > ⇒ = + > ∀ > ⇒ +∞
x x x x x x x
x x x x x x x x
f t t t t f t t f
t

(
)
2 4 2
4 2 3
2
* (4 2 1) (2.16 2.4 1)
4 2 1 2.16 2.4 1 2 2 2.2 2.2
2.2 3.2 2 0 2.2 3.2 1 0


=
 
 

 
+

= −


x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x
x
x
f f
x
x





Bài 8: Giải phương trình:
.16212244
2
−+−=−++ xxxx

+ Đặt t =
44 −++ xx
, t > 0 ta được



=
−=
⇔=−−
4
)(3
012
2
t
loaïit
tt

+ Với t = 4 , ta được



+−=−
≤≤
⇔−=−⇔=−++
22
2
166416
84
816444
xxx

2 2 1
x x x x
− + − + = −

+ Đặt
( )
1
0
t t
x
= ≠
, phương trình trở thành:
2 3 23
2 10 17 8 2 5 1
t t t t
− + − + = −

( ) ( )
(
)
3
3
2 23 3
2 1 2 2 1 5 1 2 5 1
t t t t
⇔ − + − = − + −
( )
(
)
23

( )
3
2 3 2
0
17 97
2 1 5 1 8 17 6 0
16
17 97
16
t
t t t t t t
t


=

+

⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =


−

=


(loaïi)
(nhaän)
(nhaän)


1
3
x
≥ −
(*).
+ Đặt
1
1 3x
2
y
= +
1 3x 2
y
⇔ + =
(2), (1) trở thành
1 3 2
y x
+ =
(3) M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang
6


.
+ Trừ vế với vế (4) và (5) ta có
2 2
3( ) 4( )
x y x y
− = − − ( )(3 4 4 ) 0
x y x y y x
⇔ − + + = ⇔ =
(vì
0, 0
x y
≥ ≥
). Thế y = x vào (5) ta có
2
1
4x 3x 1 0
1
4
x
x
=


− − = ⇔

= −

.
+ Kết hợp với

xxxxx
xxxx
x

+ Vậy ta có hệ




=
=
⇔+=++⇒





+=+−+++
=+−−++
7
8
0
6922
41292
21292
2
22
22
x
x

0311131
2
2
22
32
xx
xx
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxx

Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm.
Bài 13: Giải phương trình
11
33 2
−=+− xxx

Hướng dẫn:

Điều kiện:
3
2≥x

+ Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
52
)93)(3(
412)1(
3
1)3(52321
3

3
1
412)1(
3
1
3
2
23 2
3
3 222
+−
++
<<
++−
+
+=
+−+−
+
+
x
xx
x
x
xx
x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 M

<
xx , đặt
2
1
1
0,
1
t
x
x
t
x
x
t =
+
⇒>
+
=

3 2
2
1
t
1
2t 3 2t 3t 1 0
2
t
t 1

=

38
1
415
1
)(1(
38
1
)1(3
415
1
3833415
222
2
2
2
22
=
⇔
=−
++
+
−
++
+
−⇔
++
−
+−=
++
−

)34( −=∆ x
3
4
3
4
0
1)12(
)(
4
3
12
2
1
22
2
=⇔




=
=
⇔





−−=
−=

015132)16()14(1713264
2
22
=+−−
+−
+−−−
+
+−
+−−−
⇔
=−+−−−+−−⇔+−=−+−
xx
x
xx
x
xx
xxxxxxxx

x 5 5 x
(x 5)(2x 3) 0
x 4 1 6 x 1
1 1
(x 5)( (2x 3)) 0
x 4 1 6 x 1
x 5
1 1
(2x 3) 0
x 4 1 6 x 1
− −
⇔ + − − − =

−
+−
x
xx
x
xx
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang
8

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
⇒

1
14
1
16
1
14
1

. Ta được hệ phương trình:





=+
=+
xy
yx
32
32
3
3

+ Đây là hệ phương trình đối xứng, trừ vế với vế ta được:
0)3)((
22
=+++− xyyxyx 2;1
−
=
⇒
=
⇔
xyx






2
3
2
1
≤≤
x

Đặt
)1(2
)0(12
)0(23
22
=+⇒





≥−=
≥−=
ba
bxb
axa

+ Vì
baxxxxaxbx
.23.12384;1247;214
222
=−−=−+−+=−=−





=−
=−
x
x
x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1
Bài 20: Giải phương trình:
83)23(2
32
+=+−
xxx

Hướng dẫn:

Điều kiện
2
−
≥
x

+ Biến đổi phương trình về dạng:
)42)(2(3)2(2)422(2
22
+−+=+−+
xxxxxx


+
+−
tt
x
xx
ta có




=
−=
=−−
2
2
1
0232
2
t
t
tt
(loại)
Với t = 2
13304684424
2
42
22
2
±=⇔=−−⇔+=+−⇔=
+

−
=−+⇒−++=
t
xxxxt

+ Phương trình trở thành



=
−=
⇔=
−
−
3
1
3
2
9
2
t
t
t
t

+ Với t = -1
163 −=−++⇔
xx
(vô nghiệm)
+ Với t = 3

055
2
≥+−
xx

+ Từ (1)
055)3(6)25)(3(
22
=+−−+−−−⇒
xxxxxx





=+−+−−
=
⇔
)2(055625
)(3
22
xxxx
loaix

+ Giải (2): đặt
,55
2
txx
=+−
điều kiện

x
x
xx
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 4
Bài 23:
16924422
2
+=−++ xxx

Hướng dẫn:

Bình phương hai vế, lúc đó phương trình :
169)2(16)4(216)42(4
22
+=−+−++⇔
xxxx

xxxx
8)4(216)4(8
222
+=−+−⇔

+ Đặt t =
)0()4(2
2
≥−
tx

+ Phương trình trở thành :

không thỏa mãn điều kiện
0
≥
t

+ Với
thì
x
t
2
=

3
24
)4(8
0
2
)4(2
22
2
=⇔



=−
≥
⇔=− x
xx
x
x

Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang
10

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
+ Khi đó phương trình đã cho trở thành
)1(03638
32
=+−++
xxxx

+ Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn nên (1)
0
3
6
3
8 =+−++⇔
x
x
x
x

+ Đặt
)12(
3
4
≥=+ tt





−=
+=
⇒
618
618
x
x

Bài 25:
1635223132
2
−+++=+++ xxxxx

Hướng dẫn:

Biến đổi phương trình về dạng:
20)1)(32(2132132 −++++++=+++ xxxxxx

+ Đặt
)0(132 ≥+++=
txxt

+ Khi đó
)1)(32(2132
2
++++++= xxxxt

92
292
2
2
2
=−
+
+
+
x
x
x
x

+ Đặt
0
92
2
≠
+
=
x
x
t
. Phương trình trở thành




−=

⇒
−= x
xx
x
xxt

+ Với t = 1 phương trình vô nghiệm
Bài 27:
13)23(243
23
++=+++ xxxxx

Hướng dẫn:

[
]
13)13()1()1(
131)13()1()1(
33
3
+++=+++⇔
+++=+++⇔
xxxx
xxxx

+ Xét hàm
aaaf +=
3
)(
ta suy ra
4
51
012412212)12(2)2(
233
+
=⇔=−−⇔+=⇔+++=+ xxxxxxxxx
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang
11

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>
Bài 29: Giải phương trình
53512
22
++=++ xxx

Hướng dẫn:


−
++
+
−⇔
++
−
+−=
++
−
⇔−++−=−+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx

+ Dễ dàng chứng minh được:
3
5
,03
35
2
412

2
1
4
13212
2
1
4
4)211(
04
021
01
4211
22
2
2
=⇔











−=
=
≤≤−

≥−
⇔+=−+−⇔
x
x
x
x
xxx
x
x
xxx
x
xxx
x
x
x
xxx

Bài 31: Giải phương trình:
3
23
9251417815 −=−+− xxxx

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định:
Rx
∈

+ Phương trình
3

2
511
4
0)2911)(4(
0116731592)5(
2
233
x
x
xxx
xxxxx

Bài 32: Giải phương trình
61224
3
=−++ xx

Hướng dẫn:

Điều kiện:
12
≤
x

+ Đặt
xvxu −=+= 12;24
3
với
0
≥

36)6(
6
36
6
2232323
uuu
vu
uuu
vu
uu
vu
vu
vu
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang
12

NGUYỄN HỮU BIỂN -
/>



=
=
⇔
3
88
24
3
3
10
4
6
0
x
x
x
v
u
v
u
v
u
(thỏa mãn)
Bài 33: Giải phương trình
2132727122
23
3
−+−=− xxxx

Hướng dẫn:


, ta chia hai vế cho x:
10)1(1
1
11
1
3
3
33
3
=⇔=−








−
+
⇔++=+
+
xx
x
x
xx
x
x