12 BÀI HÌNH HỌC 9 ÔN TUYỂN SINH 10 –có đáp án ( St)
Bài 1*Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường
thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần
lượt tại điểm thứ hai E, F.
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Chứng minh
đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Giải:
1.
Ta có :
·
ABC
= 1v

·
ABF
= 1v
⇒ B, C, F thẳng hàng.
AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.
2.
·
ECA
=
·
EBA
(cùng chắn cung AE của (O)
Mà
·
ECA
=

C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H.
a) Chứng minh
·
BMD
=
·
BAC
, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp.
b) Chứng minh : HK // CD.
c) Chứng minh : OK.OS = R
2
.
Gv: Lê Long Châu THCS Nguyễn Trãi.Châu Đốc Sưu tầm-chỉnh sửa
O
O’
B
A
C
D
E
F
I
P
Q
H
1
1
(d)
H
I

MHKA nội tiếp.
b) Do BC = BD (do
ằ
ằ
BC BD=
), OC = OD (bán
kính)

OB là đờng trung trực của CD

CD

AB (1)
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp,
ã
0
90AMH =
(góc nt
chắn nửa đờng tròn)


ã
0 0 0
180 90 90HKA = =
(đl)

HK

AB (2)
Từ 1,2

v BD
=>OA l phõn giỏc ca
ẳ
' 'I OE
; OB l tia phõn giỏc ca
ã
' 'I OF
=>
ẳ
0
'OF' 180E =
=> E ; O; F thng hng
Gv: Lờ Long Chõu THCS Nguyn Trói.Chõu c Su tm-chnh sa
2
2
* Kt lun : I

AB ngoi tr 2 im A v B
b)AEHI ni tip =>
ẳ
ẳ
0
45 IHFAHI AEI B= =
ni tip =>
ẳ
ẳ
ẳ
0 0
45 90BHI IFB AHB H= = =
ng trũn ng kớnh AB =>

B
a) Đờng kính AB

MN (gt)

I là trung điểm của MN (Đờng kính và dây cung)
IA=IC (gt)

Tứ giác AMCN có đơng chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi.
b)
ã
0
90ANB =
(góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O) )

BN

AN.
AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN).

BN

MC (1)
ã
0
90BDC =
(góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O
'
) )

do đó ta có
OO
'
=OB + O
'
B

đờng tròn (O) và đờng tròn (O
'
) tiếp xúc ngoài tại B
V
MDN vuông tại D nên trung tuyến DI =
1
2
MN =MI

V
MDI cân

ã
ã
IMD IDM=
.
Gv: Lờ Long Chõu THCS Nguyn Trói.Chõu c Su tm-chnh sa
3
3
O
K
F
E

' 90IDO =
do đó ID

DO

ID là tiếp tuyến của đờng tròn (O
'
).
Bi 5)Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng
hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao điểm
của Aevà nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED
a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?
Gii
a. Ta có
ã
KEB
= 90
0

mặt khác
ã
BFC
= 90
0
( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=>
ã
BFK

=
ã
BEA
=45
0
(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=>
ã
BKF
=45
0
Vì
ã
ã
BKC BCK=
= 45
0
=> tam giác BCK vuông cân tại B
Bi 6) Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm
của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC .
Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Gii
Gv: Lờ Long Chõu THCS Nguyn Trói.Chõu c Su tm-chnh sa
4
4
Q
N
M

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên
ã
APB
=
ã
ADB

nhng
ã
ADB
=
ã
ACB
nhng
ã
ADB
=
ã
ACB

Do đó:
ã
APB
=
ã
ACB
Mặt khác:
ã
AHB
+

DAB
Chứng minh tơng tự ta có:
ã
CHQ
=
ã
DAC

Vậy
ã
PHQ
=
ã
PHB
+
ã
BHC
+
ã
CHQ
=
ã
BAC
+
ã
BHC
= 180
0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy

N
M
I
D
C
B
A
Gii
a). Xét
ABM

và
NBM

.
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :
ã
ã
AMB=MBN
= 90
o
.
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên
ã
ã
ABM =MBN
=>
ã ã

MNQ
( vì :
ã
ã
ã
ã
;MCB MBC MQN= =MNC
).
=>
) ( cgcMNQMCB
=
=> BC = NQ .
Xét tam giác vuông ABQ có

BQAC
AB
2
= BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB
2
= BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R
2
= BC( BC + 2R) => BC =
R)15(

* Bài 8 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất
kỳ trên đoan CD.
a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung điểm của MN.
b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.

2
1
Do đó AMB ADM =>
MD
MB
=
AD
MA
= 2
=> MD = 2MD (0,25 điểm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi)
Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC
Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC
Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC
* Cách dựng điểm M.
- Dựng đờng tròn tâm A bán kính
2
1
AB
- Dựng D trên tia Ax sao cho AD =
4
1
AB
M là giao điểm của DC và đờng tròn (A;
2
1
AB)
.
** Bài 9. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất
kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt tại C và D.

Do đó :
1
. .
. .
=
V
V
Chu vi COD OM
Chu vi AMB MH
(MH
1


AB)
Do MH
1


OM nên
1
1
OM
MH



Chu vi
COD

V

( )
2
. .
. .
AD AE AD BD CD
AD AD AE BD CD
=
=

Lại có :
( )
.ABD AEC g gV : V

2
. .
. .
AB AD
AB AC AE AD
AE AC
AD AB AC BD CD
= =
=

Bi 11) : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB.
Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Gii
Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)
Gv: Lờ Long Chõu THCS Nguyn Trói.Chõu c Su tm-chnh sa

ã
POB=ACB
(hai góc đồng vị)
=> AHC POB
Do đó:
OB
CH
PB
AH
=
(2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của
AH.
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
.)2(
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
= R

AH
2
.4PB
2


=
+
=
+
=
Bi 12) : Cho
ABCV
cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không
trùng với A, B). Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp
BCDV
. Tiếp tuyến của (O) tại C và D
cắt nhau ở K .
a/. Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.
b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?
c/. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
HD gii
c/. Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang.
Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành

AB // CK


ã
ã
BAC ACK=
Gv: Lờ Long Chõu THCS Nguyn Trói.Chõu c Su tm-chnh sa
8
8
O

.Khi đó, D là giao điểm của
ằ
AB
và Cy.
Với giả thiết
ằ
AB
>
ằ
BC
thì
ã
BCA
>
ã
BAC
>
ã
BDC
.


D

AB .
Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm.
Gv: Lờ Long Chõu THCS Nguyn Trói.Chõu c Su tm-chnh sa
9
9