23

n
n
ps
ps
k
ps
ps
kksYps
−
−
++
−
−
+=−
1
2
1
211
)()(
(2.22)
Cho s = p
1
, vế phải của phương trình (2.22) sẽ chỉ còn lại k
1
, nghĩa là:

11
)) ()((
)) ()((

23
3
)(
2
++
+
=
+
+
+
=
ss
s
ss
s
sY
(2.24)
Áp dụng phương pháp khai triển phân thức đơn giản với (2.24):

21
)(
21
+
+
+
=
s
k
s
k

+
=+=
−=−= ss
s
s
sYsk

Đáp ứng theo thời gian y(t) được xác định bởi biến đổi Laplace nghịch của Y(s):

tt
ee
ss
sYty
2111
2
2
1
1
2
)]([)(
−−−−−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−

nghĩa tỷ số cản (damping ratio)
)2( KMf=
ζ
và tần số tự nhiên (natural
frequency)
MK
n
=
ω
của hệ thống. Phương trình (2.19) trở thành:

22
0
2
)2(
)(
nn
n
s
ys
sY
ωζω
ζω
++
+
= (2.29)
Phương trình đặc trưng của Y(s) có các nghiệm như sau:
24
1
2

0
ζ
< 1
y
0

Hình 2.5. Đáp ứng của một hệ thống lò xo-vật-cản
ζ
= 1
ζ
> 1

Đồ thị của các điểm cực và điểm không của Y(s) trong mặt phẳng phức (mặt
phẳng s) được thể hiện ở Hình 2.6, trong đó góc
θ
= arccos
ζ
. Với tần số tự nhiên
ω
n
là một hằng số và tỷ số cản
ζ
thay đổi, các nghiệm của phương trình đặc trưng
có quỹ tích nằm trên một đường tròn có bán kính
ω
n
trong trường hợp phương
trình có nghiệm phức, hay nằm trên trục thực (trục
σ
) của mặt phẳng s trong

2
1
ζω
−
n
i

2
1
ζω
−−
n
i

0
Hình 2.6. Đồ thị các điểm cực và điểm không của Y(s) trong mặt phẳng s
θζ
= 1
ζ
> 1
σ
i
ω

ω
n
i


1
Thuật ngữ thường được dùng từ trước tới nay là hàm truyền. Tuy nhiên, do khái niệm chúng ta đang đề
cập tới được dùng để biểu diễn các hệ thống ở đó các biến vào và ra có thể khác nhau về bản chất, từ hàm
truyền được dùng ở đây không thật chính xác vì nó không phản ánh được sự chuyển hóa xảy ra trong hệ
thống. Vì vậy, tác giả của giáo trình này đề nghị sử dụng thuậ
t ngữ hàm chuyển để thay thế.
26
Thêm nữa, hàm chuyển mô tả hành vi của một hệ thống dưới dạng quan hệ vào-
ra, vì vậy mô tả bằng hàm chuyển không chứa những thông tin về cấu trúc bên
trong của hệ thống.
Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản, được mô tả bởi phương trình (2.1), có biến
đổi Laplace là phương trình (2.17). Với các điều kiện ban đầu bằng không,
phương trình (2.17) trở thành:
Ms
2
Y(s) + fsY(s) + KY(s) = F(s) (2.32)
Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau:

KfsMs
sF
sY
sG
++
==
2
1
)(
)(
)(


0
)(
)]()([)(
2
12122
=+−+
s
sV
KsVsVfssVM (2.35)
M
2

M
1

K
f
1

f
2

F(t)
v
2
(t)
v
1
(t)

= 1/f
1
, R
2
= 1/f
2
, và L = 1/K vào hai phương trình trên. Biến
đổi để hai phương trình (2.34) và (2.35) trở thành:
(M
1
s + f
1
+ f
2
)V
1
(s) – f
1
V
2
(s) = F(s) (2.36)

0)()(
21211
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

−
+
+
0
)(
)(
)(
2
1
121
1211
sF
sV
sV
s
K
fsMf
fffsM
(2.38)
Giải phương trình (2.38) cho biến ra V
1
(s):

2
112211
12
1
))((
)()(
)(

hiệu góc quay của trục động cơ theo thời gian là
θ
(t), vận tốc góc là
ω
(t), mômen
quán tính của tải trọng là J và hệ số ma sát của tải trọng là f.

i
f
(t)
v
a
(t)
i
a
(t)
R
a
L
a

Tải trọng
ω
,
θ

v
f
(t)
R

m
(t) = K
1
φ
(t)i
a
(t) = K
1
K
f
i
f
(t)i
a
(t) (2.42)
Để hệ thống được mô tả bằng phương trình (2.42) tuyến tính, một trong hai dòng
điện phải có cường độ được giữ không đổi, dòng điện còn lại có cường độ thay
đổi sẽ là tín hiệu vào của hệ thống. Trước hết chúng ta sẽ xem xét động cơ điều
khiển bởi dòng điện của phần trường. Trong trường hợp này, dòng điện của phần
ứng có cường độ i
a
(t) = I không đổi. Áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình
28
(2.42), chúng ta có:
T
m
(s) = (K
1
K
f

I
f
(s) + L
f
[sI
f
(s) − i
f
(0)] = (R
f
+ L
f
s)I
f
(s) (2.45)
Mômen quay trên trục động cơ bao gồm mômen của tải trọng và mômen tạo bởi
tác động của nhiễu:
T
m
(t) = T
L
(t) + T
d
(t) (2.46)
trong đó mômen của tải trọng T
L
(t) được tính bởi công thức:

dt
td

K
m
I
f
(s) = s(Js + f)
Θ
(s) (2.49)
Từ (2.45), chúng ta có:

sLR
sV
sI
ff
f
f
+
=
)(
)(
(2.50)
Thay (2.50) vào (2.49):

)())(()( sΘsLRfJsssVK
fffm
+
+
=
(2.51)
Hàm chuyển của hệ thống bao gồm cả động cơ và tải trọng là:


ở đó
τ
f
= L
f
/R
f
là hệ số thời gian của phần trường của động cơ và
τ
L
= J/f là hệ số
thời gian của tải trọng. Thường thì
τ
L
>
τ
f
và
τ
f
có thể bỏ qua được. Mô hình sơ
đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần trường được thể hiện trong Hình 2.10,
29
với
Ω
(s) và
Θ
(s) là các biến đổi Laplace của
ω
(t) và

a
s)I
a
(s) + V
b
(s) (2.55)
sLR
ff
+
1

K
m

V
f
(s) I
f
(s) T
m
(s) T
L
(s)
T
d
(s)
fJs +
1

Ω

(s) theo V
a
(s):

sLR
sΩKsV
sI
aa
ba
a
+
−
=
)()(
)(
(2.57)
Tương tự như phương trình (2.49) của động cơ điều khiển bởi phần trường,
chúng ta có:
K
m
I
a
(s) = s(Js + f)
Θ
(s) (2.58)
Thay (2.57) vào (2.58):
K
m
[V
a

]))([()(
)(
)(
mbaa
m
a
a
KKsLRfJss
K
sV
sΘ
sG
+++
==
(2.61)
Trong nhiều động cơ một chiều, hệ số thời gian của phần ứng
τ
a
= L
a
/R
a
có thể
bỏ qua được. Khi đó:
30

)1(
)(
])[(
)(

(2.63)
Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần ứng được thể hiện trong
Hình 2.11. Trong mô hình này, khối phản hồi K
b
sinh ra do suất phản điện động
của bản thân động cơ chứ không phải để sử dụng cho mục đích điều khiển, vì vậy
đây vẫn là một hệ thống kiểu vòng hở.
+
T
m
(s)
sLR
K
aa
m
+

V
a
(s) T
L
(s)
T
d
(s)
fJs +
1

Ω
(s)

các hệ thống con, thể hiện sự liên hệ giữa các biến vào và ra. Vì vậ
y chúng ta có
thể nhận định rằng hàm chuyển là một quan hệ quan trọng trong kỹ thuật điều
khiển.
Tầm quan trọng của mối quan hệ nhân-quả biểu thị bởi hàm chuyển còn được
thể hiện khi chúng ta cần biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống
dưới dạng sơ đồ. Biểu diễn sơ đồ khối của các mố
i quan hệ trong hệ thống được
sử dụng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển. Sơ đồ khối bao gồm các khối vận
hành một chiều, biểu diễn hàm chuyển của các biến được quan tâm. Chúng ta đã
31
biết đến ví dụ về sơ đồ khối ở mục trước (Hình 2.10 và 2.11), biểu diễn hàm
chuyển của các phần tử của động cơ một chiều.
Hàm chuyển chỉ thể hiện mối quan hệ giữa một biến vào và một biến ra. Để
biểu diễn một hệ thống có nhiều biến cần được điều khiển, sơ đồ liên kết khố
i
được sử dụng. Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống có hai biến vào và hai biến ra
được thể hiện trong Hình 2.12. Chúng ta có thể viết hệ phương trình cho các biến
ra của hệ thống đó như sau:
C
1
(s) = G
11
(s)R
1
(s) + G
12
(s)R
2
(s) (2.64)

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)(

)(
)(
)(


sG
sG
sC
sC
sC
J
IJ
J
J
II
(2.66)
hay:
C = GR (2.67)
ở đó
C và R là các ma trận cột chứa I biến ra và J biến vào, còn ma trận G có
kích thước I×J được gọi là ma trận hàm chuyển. Biểu diễn ma trận của mối quan
hệ tương hỗ giữa nhiều biến đặc biệt có giá trị đối với các hệ thống điều khiển đa
biến phức tạp.

G
11
(s)
G
22
(s)
G
21
(s)
G
12

2
(s) = G
2
(s)G
1
(s)X
1
(s) (2.68)
32
Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.13 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có
một khối với biến vào là X
1
(s), biến ra là X
3
(s) và hàm chuyển là G
1
(s)G
2
(s).
G
1
(s) G
2
(s)
X
1
(s) X
2
(s) X
3

)(
sHsG
sG
sR
sC
+
=
(2.72)
Hàm chuyển vòng kín (2.72) rất quan trọng vì nó sẽ được sử dụng rất nhiều trong
các hệ thống điều khiển trong thực tế.
Một số phép biến đổi sơ đồ khối thường dùng được giới thiệu trong bảng dưới
đây. Phân tích hệ thống bằng phương pháp rút gọn sơ đồ
khối giúp ta hiểu rõ hơn
vai trò của mỗi phần tử trong hệ thống, so với việc rút gọn bằng cách biến đổi các
phương trình.
Bảng 2.2. Một số phép biến đổi sơ đồ khối
Tên phép
biến đổi
Sơ đồ ban đầu Sơ đồ tương đương
Kết hợp
các khối
nối tiếp

G
1
(s) G
2
(s)
X
1

±
X
2
(s) G(s)
X
1
(s) X
3
(s)
+
±
X
2
(s)
G(s)
Chuyển
điểm chia
tín hiệu ra
trước khối
G(s)
X
1
(s) X
2
(s)
X
2

1
(s) X
2
(s)
X
1
(s)
1/G(s)

Chuyển
điểm cộng
tín hiệu ra
trước khối
G(s)
X
1
(s) X
3
(s)
+
±
X
2
(s)G(s)
X
1
(s) X


X
1
(s) X
2
(s)

 Ví dụ 2.4
Hình 2.15 là sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng. Các
bước được thực hiện để rút gọn sơ đồ này được thể hiện trong Hình 2.16a
−d.
G
1
G
2
G
3

G
4

H
1

H
2

H
3