12
mức chất lỏng trong bể. Một ví dụ nữa rất quen thuộc với cuộc sống của chúng ta
là chiếc tủ lạnh. Người sử dụng có thể đặt một mức nhiệt độ mong muốn, một
nhiệt kế sẽ đo nhiệt độ thực sự trong tủ lạnh và độ sai lệch của nhiệt độ thực sự
với nhiệt độ mong muốn, còn độ
ng cơ nén khí của tủ lạnh đóng vai trò của bộ
khuyếch đại công suất.
Quá trình
Tín hiệu
vào hay
đối sánh
Tín
hiệu ra
Hình 1.7. Một hệ thống điều khiển vòng kín cơ bản
Cơ cấu
chấp hành
Khuyếch
đại
Hệ đo
_
+
Tự động hóa được định nghĩa như một công nghệ trong đó các mệnh lệnh đã
được lập trình được sử dụng để vận hành một quá trình nhất định, và được kết
hợp với sự phản hồi thông tin để xác định xem các mệnh lệnh đó có được thực
hiện một cách đúng đắn hay không. Tự động hóa thường được áp dụng cho các
quá trình vốn đã đượ
c vận hành bởi con người. Khi được tự động hóa, quá trình
có thể vận hành mà không cần tới sự trợ giúp hay can thiệp của con người. Trong
thực tế, phần lớn các hệ thống tự động có khả năng thực hiện các chức năng của
chúng với độ chính xác cao hơn và tốn ít thời gian hơn so với khả năng con
người có thể làm được.

thể có tới hơn 90 biến đặt dưới một sự điều khiển thống nhất. Ví dụ, để điều
khiển hoạt động của lò hơi, hệ thống cần đo các giá tr
ị biến thiên như nhiệt độ, áp
suất, nồng độ ôxy và cung cấp cho máy tính thực hiện việc tính toán. Sơ đồ
khối của một hệ thống điều khiển bằng máy tính được biểu diễn trong Hình 1.8.
Ngành công nghiệp năng lượng điện đã sử dụng được nhiều khía cạnh hiện đại
của kỹ thuật điều khiển vào những ứng dụng có ý nghĩ
a quan trọng. Bài học của
ngành công nghiệp năng lượng điện cho thấy, yếu tố làm duy trì khoảng cánh
giữa lý thuyết và ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong nhiều lĩnh vực là việc
thiếu những thiết bị dùng để đo đạc tất cả các biến quan trọng của các quá trình,
bao gồm cả chất lượng và thành phần của sản phẩm. Khi những thiết b
ị này trở
nên sẵn có, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển hiện đại vào các hệ thống công
nghiệp sẽ tăng lên nhanh chóng.

Quá trình
Tín hiệu
đối sánh
Tín hiệu
ra
Hình 1.8. Một hệ thống điều khiển bằng máy tính
Cơ cấu
chấp hành
Máy tính
Hệ đo
_
+

Ứng dụng của khái niệm điều khiển phản hồi đã và đang xuất hiện trong rất

. Chúng ta có thể coi việc tắm như là điều khiển một quá trình có hai lối
vào là đường nước nóng và đường nước lạnh với lưu lượng được điều khiển bởi
hai van độc lập với nhau. Mục đích của việc điều khiển lượng nước vào mỗi
đường là để nước ở phun ra ở vòi tắm có lưu lượng và nhiệt độ như mong muốn.
Vẽ sơ
đồ khối của hệ thống vòng kín.
Bài 1.5
. Một người lính dừng chân hàng ngày bên cạnh một cửa hiệu trên đường
tới doanh trại và chỉnh đồng hồ đeo tay của anh ta theo đồng hồ treo tại cửa hiệu
vào đúng 9 giờ sáng mỗi ngày. Một ngày, anh ta bước vào cửa hiệu và khen ngợi
tính chính xác của chiếc đồng hồ tại cửa hiệu với người chủ cửa hiệu. Ông ta trả
lời rằng ông chỉnh chiếc đồng hồ hàng ngày vào lúc 5 giờ chi
ều theo tiếng đại
bác chào cờ tại doanh trại quân đội. Người lính nói, anh ta là một pháo thủ và
chính anh ta là người bắn phát đại bác vào lúc 5 giờ chiều mỗi ngày đó.
Thông tin phản hồi trong trường hợp này là phản hồi âm hay dương? Giả sử
cứ sau 24 giờ chạy liên tục, chiếc đồng hồ tại cửa hiệu sẽ bị chậm một phút và
chiếc đồng hồ của người lính sẽ bị chậm ba phút, sai l
ệch về thời gian của phát
đại bác sau 15 ngày sẽ là bao nhiêu?
15
Chương II

MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG

Tóm tắt nội dung
Để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển, cần phải có được mô hình toán
học định lượng của những hệ thống này. Chúng ta sẽ xem xét nhiều loại hệ thống
khác nhau như các hệ thống cơ học hay điện, cùng với các phương trình vi phân
được sử dụng để mô tả động lực của những hệ thống này. Để có thể giải các

đổi Laplace, được sử dụng để giải ra nghiệm của hệ phương trình mô tả hoạt
động của hệ thống. Tóm lại, phương pháp phân tích vấn đề của các hệ thống
động có thể bao gồm những bước như sau:
1. Xác định hệ thống và các thành phần của hệ thống
2. Thiết lập mô hình toán học và các giả thiết cần thiết
3. Viết các ph
ương trình vi phân mô tả mô hình của hệ thống
4. Giải các phương trình cho các biến ra cần xác định
5. Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có phù hợp với các giả thiết
6. Phân tích lại hoặc chuyển sang bước thiết kế
16
2.2. Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý
Các phương trình vi phân mô tả hoạt động của một hệ thống vật lý được thiết lập
bằng cách sử dụng các định luật vật lý của các quá trình. Phương pháp này có thể
áp dụng cho các hệ thống cơ khí, điện, chất lỏng, nhiệt động
Ví dụ, chúng ta có thể mô hình hóa hệ thống giảm xóc của ô tô bằng một hệ
thống cơ họ
c đơn giản như trong Hình 2.1, bao gồm một vật có khối lượng M
được treo bằng một lò xo, có thể trượt theo phương thẳng đứng bên trong một
ống có vai trò cản dao động (damper). Hệ số ma sát giữa bề mặt vật và bề mặt
ống là f. Hệ số đàn hồi của lò xo là K. Vật có thể chuyển động theo chiều thẳng
đứng y dưới tác động của một ngoại l
ực F(t). Theo định luật 2 của Newton:

)()(
)()(
2
2
tFtKy
dt

độ dòng điện là i(t) và sinh ra một hiệu điện thế v(t). Theo định luật Kirchhoff,
chúng ta có được phương trình sau:

)()(
1)()(
0
tidv
Ldt
tdv
C
R
tv
t
=++
∫
ττ
(2.3)
Giả sử i(t) = 0 và hiệu điện thế v ban đầu khác không, giải phương trình (2.3) cho
v(t) chúng ta sẽ thu được phương trình của hiệu điện thế có dạng:

)cos()(
222
2
θβ
α
+=
−
teKtv
t
(2.4)


t
v(t)
0
e
-
α
2
t

2π/
β
2

Hình 2.3. Dao động tắt dần của hiệu điện thế v(t) trong mạch RLC

Các hệ thống đồng dạng với các giải pháp tương tự nhau bao gồm cả các hệ
thống điện, cơ học, nhiệt và chất lỏng. Sự tồn tại của các hệ thống và giải pháp
18
đồng dạng cho phép chúng ta mở rộng kết quả phân tích của một hệ thống cho tất
cả các hệ thống đồng dạng với nó, cũng được mô tả bằng chính những phương
trình vi phân của hệ thống đầu tiên. Vì vậy những kiến thức chúng ta có được
trong việc phân tích và thiết kế một loại hệ thống, ví dụ như các hệ thống điện, sẽ
có thể áp dụng ngay lậ
p tức cho các hệ thống cơ học, nhiệt, chất lỏng
2.3. Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý
Phần lớn các hệ thống vật lý chỉ tuyến tính trong những khoảng nhất định của các
biến. Tất cả các hệ thống trong thực tế đều trở thành phi tuyến nếu các biến của
chúng có thể thay đổi không giới hạn. Ví dụ, hệ thống dao động lò xo trong Hình
2.1 là một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình 2.1, chừng nào

(t).
2.
Tính chất đồng nhất: Nếu y là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là x
thì khi tín hiệu vào được nhân với một hệ số tỷ lệ, tín hiệu ra của hệ thống
cũng phải thay đổi theo cùng tỷ lệ, nghĩa là đáp ứng của hệ thống sẽ là
β
y
khi tín hiệu kích thích là
β
x, với
β
là một giá trị bất kỳ.
Ví dụ, hệ thống được mô tả bởi quan hệ y = x
2
không phải là một hệ thống
tuyến tính vì không thỏa mãn cả hai điều kiện. Hệ thống được mô tả bởi quan hệ
y = mx+b cũng không tuyến tính vì không thỏa mãn được tính chất đồng nhất.
Tuy nhiên, hệ thống này có thể coi là tuyến tính xung quanh một điểm (x
0
, y
0
)
cho các thay đổi ∆x, ∆y: ∆x = x−x
0
, ∆y = y−y
0
; vì mối quan hệ giữa ∆x và ∆y,
biểu diễn bằng phương trình ∆y = m∆x, thỏa mãn cả hai điều kiện đã nêu.
Phần lớn các hệ thống cơ học và điện đều có thể coi là tuyến tính trong một
miền giá trị khá rộng của các biến. Điều đó thường không đúng với các hệ thống

+
−
+==
==
xx
dx
gd
xx
dx
dg
xgxgy
xxxx
(2.7)
Với giả thiết tín hiệu thay đổi rất nhỏ xung quanh điểm làm việc bình thường,
chúng ta có thể xấp xỉ (2.7) bằng phương trình:

)(
!1
)(
00
0
0
0
xxmy
xx
dx
dg
xgy
xx
−+=

, , x
n
0
, và bỏ qua các thành
phần có bậc cao để thu được xấp xỉ tuyến tính:

)( )(), ,,(
0
0
0
0
11
000
11
1
21 nn
xx
n
xx
n
xx
x
g
xx
x
g
xxxgy
nn
−
∂

. Áp dụng khai triển Taylor tới đạo hàm
bậc nhất tại
θ
0
, chúng ta có được xấp xỉ tuyến tính của T:

θθθθθ
θ
θ
θθ
MgLMgLMgLT =−=−
∂
∂
=
=
))(0(cos)(
sin
00
0
(2.13)
Xấp xỉ này tương đối chính xác với -π/4 ≤
θ
≤ π/4. Ví dụ, sai số của phép xấp xỉ
khi con lắc qua các vị trí ±30
o
là khoảng 2%.
2.4. Biến đổi Laplace
Khả năng xấp xỉ tuyến tính các hệ thống vật lý cho phép chúng ta xem xét tới
việc sử dụng biến đổi Laplace (Laplace transform). Phương pháp biến đổi
Laplace cho phép biến các phương trình vi phân tuyến tính thành các phương

α
được gọi là giới hạn
của hội tụ tuyệt đối. Biến đổi Laplace của hàm f(t) tồn tại với mọi s >
α
và được
định nghĩa như sau:

∫
∞
−
==
0
)()]([)( dtetftfsF
st
L
(2.15)
Phép biến đổi Laplace nghịch (inverse Laplace transform) của F(s) được định
nghĩa như sau:

∫
∞+
∞−
−
==
i
i
st
dsesF
πi
sFtf

1
(t) +
β
f
2
(t)] =
α
F
1
(s) +
β
F
2
(s)
L
−1
[
α
F
1
(s) +
β
F
2
(s)] =
α
f
1
(t) +
β

=
−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
t
dt
tdf
sfsFs
dt
tfd
L

−
Đạo hàm bậc n
∑
=
=
−
−
−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

)(
0
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
ττ
L
)()()()(
0
sGsFdgtf
t
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∫
τττ

Ftf
1
)]([
L
8.
Nhân chập
L[f
1
(t) ∗ f
2
(t)] = F
1
(s)F
2
(s)
9. Giá trị khởi đầu
)(lim)0( ssFf
s ∞→
=
10.
Giá trị cuối cùng
)(lim)(
0
ssFf
s→
=
∞
Bảng 2.1. Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng
f(t) (t ≥ 0)
F(s)

α
+s
1
(s > max(0,−
α
))
sin(
ω
t)
22
ω
ω
+s
(s > 0)
cos(
ω
t)
22
ω
+s
s
(s > 0)
Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản được mô tả bởi phương trình (2.1). Biến đổi
Laplace của phương trình (2.1) là:

[]
)()()0()()0()(
0
2
sFsKYyssYf

0
+ KY(s) = 0 (2.18)
Giải phương trình (2.18) cho Y(s):

)(
)(
)(
)()(
)(
2
0
2
0
sq
sp
MKsMfs
yMfs
KfsMs
yfMs
sY =
++
+
=
++
+
= (2.19)
Phương trình q(s) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng (characteristic
equation) của Y(s) bởi vì nghiệm của phương trình này quyết định đặc trưng của
đáp ứng theo thời gian của hệ thống. Nghiệm của phương trình đặc trưng được
gọi là các điểm cực (pole), còn nghiệm của phương trình p(s) = 0 được gọi là các

ps
k
ps
k
ps
k
sY
−
++
−
+
−
= )(
2
2
1
1
(2.21)
k
j
(j = 1 n) được gọi là các phần dư (residue). Để tính nhanh được k
1
, chúng ta
nhân cả hai vế của phương trình (2.21) với (s − q
1
):