45
thời gian, t. Biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển là cơ sở
của lý thuyết điều khiển hiện đại và tối ưu hệ thống. Trong chương này, chúng ta
sẽ phân tích biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển và các
phương pháp xác định đáp ứng theo thời gian của hệ thống.
3.2. Biến trạng thái của một hệ thống động
Phương pháp phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển trong miền thời gian
sử dụng khái niệm trạng thái của hệ thống. Trong một hệ thống động, trạng thái
(state) của hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái (state
variables) {x
1
(t), x
2
(t), , x
n
(t)}. Các biến trạng thái là những biến quyết định
hành vi của hệ thống trong trong tương lai khi trạng thái hiện thời của hệ thống
và các tín hiệu vào đã được biết. Với một hệ thống như vậy, cho biết các tín hiệu
vào và giá trị khởi đầu của các biến trạng thái tại thời điểm t
0
là {x
1
(t
0
), x
2
(t
0
), ,
x
n

tdx
M =++
(3.1)
Do vậy, chúng ta có thể biến đổi phương trình vi phân bậc hai (2.1) thành một hệ
hai phương trình vi phân bậc nhất:

)(
1
12
2
2
1
tF
M
x
M
K
x
M
f
dt
dx
x
dt
dx
+−−=
=
(3.2)
Hệ phương trình vi phân này mô tả hành vi của hệ thống bằng tốc độ thay đổi của
hai biến trạng thái.

0
) và x
2
(t
0
) đại diện cho năng lượng tổng cộng của mạng, nghĩa là
trạng thái của mạng, tại thời điểm t = t
0
. Trong một mạng RLC thụ động, số biến
trạng thái cần phải bằng số lượng các phần tử tích năng lượng trong mạch. Áp
dụng các định luật Kirchhoff cho dòng điện và hiệu điện thế, chúng ta có được
các phương trình sau đây:

dt
dv
Ci
c
c
=
(3.4)
và:

Lc
L
Riv
dt
di
L −= (3.5)

R

2
1
ti
C
x
Cdt
dx
+−=
(3.7)
21
2
1
x
L
R
x
Ldt
dx
−= (3.8)
Tín hiệu ra của hệ thống:
v
ra
(t) = Ri
L
= Rx
2
(3.9)
Sử dụng các phương trình (3.7), (3.8), (3.9) và các điều kiện ban đầu x
1
(t

trạng thái vượt ra khỏi khái niệm năng lượng của hệ thống vật lý, trở thành
những khái niệm rộng lớn hơn, cho phép chúng ta dự báo được hoạt động của hệ
thống trong tương lai.
3.3. Phương trình vi phân của vector trạng thái
Trạng thái của một hệ thống tuyến tính mô tả được bởi một tập hợp các phương
trình vi phân bậc nhất của các biến trạng thái x
1
, x
2
, , x
N
. Các phương trình vi
phân này có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
dx
1
/dt = a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1N
x
N
+ b
11
u

u
2
+ + b
2M
u
M

(3.10)
dx
N
/dt = a
N1
x
1
+ a
N2
x
2
+ + a
NN
x
N
+ b
N1
u
1
+ b
N2
u
2

+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥

x
dt
d 2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
(3.11)
hay:

BuAx


⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
M
u
u
u

2
1
u (3.14)
Ma trận
A có kích thước N×N và ma trận B có kích thước N×M là các ma trận hệ
48
số, với M là số biến vào của hệ thống và N là số biến trạng thái. Phương trình vi
phân của vector trạng thái (state vector differential equation) thể hiện mối quan
hệ giữa tốc độ thay đổi của các biến trạng thái với trạng thái của hệ thống và các
tín hiệu vào. Các tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể xác định được từ các
biến trạng thái và các tín hiệu vào dưới dạng t

Lấy biến đổi Laplace nghịch của phương trình (3.18), chúng ta có được biến
trạng thái x(t):

∫
−
+=
t
taat
dbuexetx
0
)(
)()0()(
ττ
τ
(3.19)
Nghiệm của phương trình tổng quát (3.12) cũng có dạng tương tự:

∫
−
+=
t
tt
deet
0
)(
)()0()(
ττ
τ
Buxx
ΑA

t
dttt
0
)()()0()()(
τττ
BuΦxΦx (3.22)
49
Tính Φ(t) theo công thức (3.21) khá phức tạp nếu không có máy tính, vì vậy
chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp tính ma trận này một cách đơn giản hơn.
Nếu tất cả các biến vào của hệ thống đều bằng không, nghĩa là
u(t) = 0, phương
trình (3.22) trở thành:
x(t) = Φ(t)x(0) (3.23)
Khi đó, phần tử
φ
ij
(t) của ma trận Φ(t) chính là đáp ứng của trạng thái x
i
(t) khi tất
cả các giá trị khởi đầu của các biến trạng thái đều bằng không, trừ x
j
(0) được đặt
bằng một, có nghĩa là:

φ
ij
(t) = x
i
(t)|
x

φ
11
(t) và
φ
21
(t) cần phải đặt x
1
(0) = 1 và x
2
(0) = 0.
Khi đó, (3.25) và (3.26) trở thành:
sX
1
(s) + 2X
2
(s) = x
1
(0) = 1 (3.27)
X
1
(s) − (s + 3)X
2
(s) = 0 (3.28)
Giải hệ hai phương trình trên chúng ta thu được:
)2)(1(
3
)(
1
++
+

⎢
⎣
⎡
++
+
==
2)1)(s(s
3s
L
φ
(3.31)
tt
eetxt
2
221
1
)()(
−−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
==
2)1)(s(s
L
φ

1
++
−
=
ss
sX
(3.35)
)2)(1(
)(
2
++
=
ss
s
sX
(3.36)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của hai hàm trên, chúng ta sẽ có được
φ
12
(t) và
φ
22
(t):
tt
eetxt
2
112
22
2
)()(

++
==
2)1)(s(s
L
φ
(3.38)
Chúng ta có được hàm ma trận Φ(t):

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−
+−−
=
−−−−
−−−−
)2()(
)22()2(
)(
22
22
tttt
tttt
eeee
eeee


T
tTt
dt
td )()()(
xxx
−
+
= (3.41)
nếu T là một giá trị rất nhỏ. Thay vào phương trình (3.12), chúng ta có:

BuAx
xx
+=
−
+
T
tTt )()(
(3.42)
hay:
x(t + T) = TAx(t) + x(t) + TBu(t) = (TA + I)x(t) + TBu(t) (3.43)
Nếu giá trị khởi đầu
x(0) đã biết, chúng ta có thể xác định giá trị của vector trạng
thái
x(t) tại các thời điểm t = T, 2T, 3T, 4T bằng công thức đệ quy:
x[(k + 1)T] = (TA + I)x(kT) + TBu(kT) (3.44)
Phương pháp xấp xỉ theo thời gian rời rạc đặc biệt hữu ích đối với các hệ
thống phi tuyến, khi chúng ta không thể giải phương trình bằng cách sử dụng ma
51
trận chuyển tiếp như đã trình bày ở mục trước. Trường hợp tổng quát nhất, hệ

Bài 3.1. Một hệ thống tay máy một khớp được biểu diễn bằng phương trình vi
phân sau đây:
dv(t)/dt = −k
1
v(t) − k
2
y(t) + k
3
i(t)
ở đó v(t) là vận tốc, y(t) là vị trí và i(t) là cường độ dòng điều khiển động cơ.
Biểu diễn phương trình trạng thái của hệ thống dưới dạng ma trận.
Bài 3.2
. Một hệ thống có ma trận A của phương trình vi phân của vector trạng
thái được cho như sau:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
10
A
(a)
Xác định ma trận Φ(t)
(b)
Cho giá trị khởi đầu của các biến trạng thái là x
1
(0) = x


là các biến vào. Xác định các ma trận
A và B của phương trình vi phân của
vector trạng thái, với hai biến trạng thái là v
c
và i
L
.

v
1
(t)
R
2

L
C
v
c
(t)
i
L
(t)
~ ~
v
2
(t)
R
1
R

(0) = 10.

53
Chương IV

ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
PHẢN HỒI

Tóm tắt nội dung
Với các mô hình toán học đã trình bày ở các chương trước, chúng ta đã có thể
nghiên cứu các công cụ phân tích sử dụng cho việc mô tả các đặc tính của hệ
thống điều khiển phản hồi. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm tín
hiệu sai khác của hệ thống. Tín hiệu này được dùng để điều khiển quá trình, với
mục tiêu cuối cùng là giảm sự sai khác tới mức nhỏ nhất có thể.
Chúng ta cũ
ng sẽ tìm hiểu khái niệm độ nhạy của hệ thống đối với sự thay đổi
của tham số, với mục đích nhằm giảm thiểu những ảnh hưởng gây ra bởi những
biến thiên không được mong muốn của các tham số. Chúng ta sẽ mô tả hiệu suất
nhất thời của hệ thống phản hồi và chỉ ra cách làm tăng hiệu suất này.
Một vấn đề quan tr
ọng trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển là làm giảm
ảnh hưởng của những tín hiệu vào không được mong muốn (nhiễu) lên tín hiệu ra
của hệ thống. Đó cũng sẽ là một chủ đề trong chương này.
4.1. Hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín
Một hệ thống điều khiển là liên kết của nhiều thành phần tạo nên một cấu hình hệ
thống nhằm tạo ra một đáp ứng mong muốn. Trong hệ thống điều khiển phản hồi,
một tín hiệu tỷ lệ với sự sai khác giữa đáp ứng mong muốn và đáp ứng thật sự
của hệ thống được sử dụng để
điều khiển quá trình, tạo nên hệ thống vận hành
theo một chuỗi vòng kín: Điều khiển → Quá trình → Đáp ứng → Cảm biến (đo)

a
(s)
B(s)
+
−
Hình 4.1. Hệ thống điều khiển phản hồi âm

E
a
(s) sẽ bằng E(s) nếu H(s) = 1. Vậy tại sao chúng ta không dùng các hệ thống
phản hồi với H(s) = 1? Vấn đề là, tín hiệu vào của các hệ thống thường là các tín
hiệu điện, trong khi tín hiệu ra có thể là nhiệt độ, vị trí, vận tốc , vì vậy người ta
phải dùng cảm biến để đo được các tín hiệu ra và chuyển thành tín hiệu điện để
so sánh v
ới tín hiệu vào. Trong trường hợp đó, H(s) chính là hàm chuyển của bộ
phận cảm biến.
Quan hệ giữa biến vào và ra của hệ thống trong Hình 4.1 được thể hiện bằng
công thức:

)(
)()(1
)(
)( sR
sHsG
sG
sC
+
= (4.3)
Tín hiệu sai khác dùng để điều khiển quá trình:


Từ công thức (4.3) suy ra, nếu G(s)H(s) >> 1 trong toàn bộ miền giá trị được
55
quan tâm của s, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:

)(
)(
1
)(
)()(
)(
)( sR
sH
sR
sHsG
sG
sC =≅
(4.5)
Điều đó có nghĩa là, nếu độ lớn của G(s)H(s) được tăng lên rất lớn thì ảnh hưởng
của G(s) lên tín hiệu ra sẽ suy giảm tới mức không đáng kể. Khi đó, ảnh hưởng
do biến thiên của các tham số
của quá trình biểu diễn bởi hàm chuyển G(s) lên tín
hiệu ra sẽ không đáng kể.
Tất nhiên, cho dù G(s)H(s) rất lớn thì sự biến thiên của các tham số vẫn sẽ
làm thay đổi tín hiệu ra. Giả sử những thay đổi trong quá trình làm hàm chuyển
của quá trình trở thành G(s) + ∆G(s) và tín hiệu ra trở thành C(s) + ∆C(s). Chúng
ta có:

)(
)()]()([1
)()(

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
∆++
∆+
=∆
(4.7)
Thường thì G(s) >> ∆G(s), do vậy G(s)H(s) >> ∆G(s)H(s), vì vậy chúng ta có
thể dùng công thức xấp xỉ:

)(
)]()(1[
)(
)(
2
sR
sHsG
sG
sC
+
∆
≅∆ (4.8)
Gọi T(s) là hàm chuyển của hệ thống điều khiển phản hồi:


G
T
S ⋅
∂
∂
= (4.11)
Từ (4.9) và (4.11), chúng ta thu được: