137
hay:

0
)][arctan()][arctan(
=−
ω
ωτ
ω
α
ω
τ
d
d
d
d
(10.13)
Khai triển phương trình (10.13):

0
11
22222
=
+
−
+
τ
ω
τ
τ
ω

2
1
arctan
1
arctanarctan
1
arctan
1
arctan
)(
−
=
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
mm
(10.16)

bao gồm hai thành phần, tỷ lệ và đạo hàm, có dạng như sau:
138

dt
tdu
KtuKtu
DP
)(
)()(
vào
vàora
+=
(10.17)
Hàm chuyển của bộ điều khiển PD có dạng:

DPPD
sKK
sU
sU
sG +==
)(
)(
)(
vào
ra
(10.18)
Sử dụng mạch bù có hàm chuyển G
PD
(s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh
hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi

11
1
)1(
1
)1(
)( +=
+
≅
+
+
=
(10.19)
Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PD.
Người ta còn thường sử dụng một mạch bù nối tiếp có đặc tính chậm pha.
Một mạch chậm pha (phase-lag network) được thể hiện trong Hình 10.5. Các
phương trình hiệu điện thế của mạch chậm pha này là:

)()()(
211
tvtvtiR
−
=
(10.20)
và:

)()(
1
)(
2
0

−
= hay
1
21
)()(
)(
R
sVsV
sI
−
= (10.22)
và:

)(
)(1
)(
22
sV
s
sI
C
sIR =⋅+
(10.23)
139
Thay (10.22) vào (10.23):

)()]()([
1
221
11

c
)(1
1
)(
)(
)(
21
2
1
2
++
+
== (10.26)
Đặt
τ
= R
2
C và
2
21
R
RR +
=
α
, phương trình (10.26) trở thành:

ps
zs
s
s

ần số tăng theo thời gian, nhưng với cùng tốc
độ. Góc pha của hai mạch cũng có giá trị bằng nhau, tuy nhiên có dấu ngược
nhau. Góc pha của mạch chậm pha cũng đạt được độ lớn cực đại tại tần số
zp
m
=
ω
.
Một dạng của mạch chậm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân
(proportional-integral controller, hay PI controller), vì phương trình của nó bao
gồm hai thành phần, tỷ lệ và tích phân, có dạng như sau:

∫
+=
t
IP
duKtuKtu
0
vàovàora
)()()(
ττ
(10.28)
Hàm chuyển của bộ điều khiển PI có dạng:

s
K
K
sU
sU
sG

sG
c
)(11
1
11
1
1
)(
α
τ
ατα
τ
αατ
τ
+≅
+
+
⋅=
+
+
=
(10.30)
Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PI.
−20lo
g
10
α

φ
(

10.4. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha
Khi một mạch bù nối tiếp được sử dụng trong hệ thống, đáp ứng tần số của hệ
thống được bù sẽ là tổng của đáp ứng tần số của mạch bù và đáp ứng tần số của
hệ thống khi chưa được bù. Điều đó có thể biểu diễn được một cách dễ dàng trên
đồ thị Bode. Vì vậy, trong các loại đồ th
ị của đáp ứng tần số, đồ thị Bode thường
được sử dụng nhất cho việc thiết kế mạch bù.
Hàm chuyển vòng hở của hệ thống phản hồi trong Hình 10.1a là
G
c
(i
ω
)G(i
ω
)H(i
ω
). Để thiết kế mạch bù cho sơ đồ đó, trước tiên chúng ta cần vẽ
đồ thị Bode cho hàm chuyển G(i
ω
)H(i
ω
), sau đó xác định hai giá trị p và z thích
141
hợp cho G
c
(i
ω
) để đáp ứng tần số của hệ thống có được hình dạng như mong
muốn. Chọn giá trị cho tham số của G(i
ω

ứng tần số vòng hở tại tần số
ω
m
khi được bù sẽ tăng thêm một lượng là 10log
10
α

so với trước khi được bù. Giá trị của
α
được chọn để có được giá trị góc sớm pha
lớn nhất
φ
m
phù hợp, theo phương trình (10.16). Như vậy, để xác định mạch bù
sớm pha, chúng ta cần thực hiện các bước sau đây:
1.
Xác định tham số của G(i
ω
) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ
thống thỏa mãn được yêu cầu.
2.
Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù.
3.
Xác định giá trị thích hợp cho góc sớm pha lớn nhất
φ
m
của mạch bù.
4.
Xác định
α

tần số này chưa thỏa mãn được yêu cầu, lặp lại từ bước 1.
 Ví dụ 10.1
Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:

)2(
)(
+
=
ss
K
sG
(10.31)
Yêu cầu về hiệu suất đối với hệ thống là sai số ở trạng thái thường trực với tín
hiệu vào là hàm dốc phải nhỏ hơn 5% độ dốc của tín hiệu vào và giá trị nhỏ nhất
của dự trữ pha của hệ thống bằng 45
o
.
Đặt tín hiệu vào của hệ thống là hàm dốc r(t) = at và c(t) là đáp ứng theo thời
gian. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng kín được tính như sau:

)]()()([lim
)]()([lim
)]()([lim
0
0
sTsRsRs
sCsRs
tctre
s
s

1
1
lim
00
=
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
⋅=
→→
(10.33)
Yêu cầu đối với sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống là e ≤ 0,05a, nghĩa
là:

a
K

ở đó
độ lớn |G(i
ω
)H(i
ω
)| = 1 bằng cách giải phương trình sau:

1
1)5,0(
20
2
=
+
ωω
(10.36)

φ
(
ω
) (
o
)

ω
(rad/s)

20log
10
|GH| (dB)


o
o
162
)5,0arctan(90
)15,0()()]()([
−
≅
−−=
+
∠
−
−
∠
=
∠
c
cccc
iiiHiG
ω
ω
ω
ω
ω
(10.39)
Vì vậy, dự trữ pha của hệ thống chưa có bù là:

φ
pm
= −162
o

α
α
(10.41)
hay:

3
1
30tan
2
1
==
−
o
α
α
(10.42)
Phương trình (10.42) có hai nghiệm,
α
= 3 và
α
= 1/3. Tuy nhiên, vì
α
phải lớn
hơn một nên
α
= 3 chính là giá trị cần tìm. Để xác định tần số
ω
m
, chúng ta tìm
trên đồ thị Bode của G(i

2,8
3
11
≅==
τατ
ω
m
(10.45)
từ đó tính được
τ
= 0,07. Điểm cực và điểm không của G
c
(i
ω
) được tính như sau:

2,14
1
−≅−=
τ
p
và
7,4−≅=
α
p
z
(10.46)
144
Hàm chuyển của mạch bù sớm pha là:


= 8,2rad/s:

oo
1,136
2,14
arctan)5,0arctan(90
7,4
arctan)( −=−−−=
m
m
m
m
ω
ω
ω
ωφ
(10.49)
Dự trữ pha của hệ thống đã được bù, được xác định tại chính tần số
ω
m
, khi đó sẽ
là −136,1
o
− (−180
o
) = 43,9
o
(Hình 10.8). Giá trị dự trữ pha này chưa đạt được
mức tối thiểu theo yêu cầu là 45
o

đích của phương pháp thiết kế này là làm thay đổi quỹ tích của các nghiệm của
phương trình đặc trưng của hệ thống, để làm quỹ tích đó đi qua các vị trí nghiệm
thỏa mãn được yêu cầu đặt ra cho hệ thống. Như chúng ta đã biết ở Chương VII,
quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín có dạng
145
0)(1 =+ sKP khi K thay đổi được xác định từ các điểm không và điểm cực của
P(s). Vì vậy, khi chúng ta sử dụng mạch bù nối tiếp như trong Hình 10.1a với
hàm chuyển của mạch bù có dạng:

ps
zs
sG
c
−
−
=)(
(10.50)
quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G
c
(s)G(s)H(s) = 0 sẽ được thay
đổi nhờ vào giá trị điểm cực và điểm không của G
c
(s).
Việc đầu tiên chúng ta phải làm theo phương pháp này là xác định vị trí của
cặp nghiệm trội tương ứng với các giá trị được mong muốn cho tỷ số cản
ζ
và tần
số tự nhiên
ω
n

trị của điểm không này đúng bằng giá trị phần thực của cặp nghiệm mong
muốn.
4. Xác định vị trí điểm cực của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao
cho góc cực của G
c
(s)G(s)H(s) bằng ±180
o
tại vị trí cặp nghiệm mong
muốn.
5. Xác định tham số của G(s) để hệ thống sau khi bù có được cặp nghiệm
trội của phương trình đặc trưng như mong muốn, sau đó xác định sai số ở
trạng thái thường trực của hệ thống.
6. Nếu sai số không thỏa mãn yêu cầu đặt ra cho hệ thống, xác định lại vị trí
cặp nghiệm mong muốn và lặp lại các bước như trên.
 Ví dụ 10.2
Trong ví dụ này, chúng ta lại xem xét hệ thống đã đề cập tới trong ví dụ 10.1. Giả
sử yêu cầu về hiệu suất của hệ thống là phần trăm quá mức P
o
≤ 20% và thời gian
quá độ T
s
≤ 1s với tín hiệu vào nhảy bậc.
Theo phương trình (5.21), chúng ta có thể xác định được khoảng giá trị của tỷ
số cản
ζ
tương ứng với điều kiện P
o
≤ 20% là
ζ
≥ 0,45. Vì tốc độ của đáp ứng

và
ω
n
là
−
ζω
n
. Vì ảnh hưởng của cặp nghiệm này càng lớn nếu chúng nằm càng gần trục
ảo, chúng ta sẽ chọn vị trí gần trục ảo nhất có thể mà vẫn thỏa mãn điều kiện
(10.51), nghĩa là
ζω
n
= 4 hay
ω
n
= 9. Như vậy, vị trí được mong muốn cho cặp
nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống là cặp điểm
2
1
ζωζω
−±−
nn
i
= −4 ± i8. Khi đó, điểm không của G
c
(s) sẽ là z = −4. Để
xác định giá trị điểm cực của G
c
(s), chúng ta cần giải phương trình sau đây:


(10.54)
hay:
8,96
)88,6)(82)(84(
8
=
++−+−
=
iii
i
K
(10.55)
10.6. Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân
Với nhiều hệ thống điều khiển, mục tiêu chủ yếu là đạt được độ chính xác cao ở
trạng thái thường trực. Thêm nữa, hiệu suất nhất thời của các hệ thống cũng cần
được duy trì trong một giới hạn hợp lý. Như đã phân tích trong Chương IV,
chúng ta có thể làm tăng độ chính xác ở trạng thái thường trực của hệ thống phản
hồi bằng cách tă
ng hệ số khuyếch đại trên chiều thuận của hệ thống. Tuy nhiên,
cách đó có thể làm cho đáp ứng nhất thời của hệ thống trở nên không thể chấp
nhận được, thậm chí không ổn định. Vì vậy, người ta thường sử dụng mạch bù
trên chiều thuận của hệ thống điều khiển phản hồi nhằm đạt được độ chính xác
cần thiết ở trạng thái thường trực cho hệ thống.
Xem xét hệ thống phản hồi với hàm chuyển vòng hở G(s)H(s). Thay cho sai
số E(s) = R(s) − C(s), chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu sai khác E
a
(s), đã được định
nghĩa ở Chương IV:
E
a