CHƯƠNG 2

40

Hàm dốc đơn vò
(hàm RAMP) (H.2.2c)
Hàm dốc đơn vò thường được sử dụng làm tín hiệu vào để
khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi.

t nếu t 0
r t t u t
nếu t 0
( ) . ( )
≥

= =

<

0
(2.12)
Theo đònh nghóa

{ }
st st
st st
t e e
f t f t e dt t e dt
s
s
.

Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân để tìm được
biến đổi Laplace của hàm dốc đơn vò như sau:
Để ý rằng:
t
r t t u t u d
( ) . ( ) ( )
= = τ τ
∫
0

Mặt khác:
{ }
u t
s
( )
=
1
L
LL
L (biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vò).

Nên theo tính chất ảnh của tích phân ta có:
{ }
{
}
t
u t
r t u d
s
s

+
=
1
L
LL
L (2.14)
Trường hợp n = 2 ta có hàm parabol (H.2.2d).
t
u t
s
( )
 
 
=
 
 
 
2
3
1
2
L
LL
L
Hàm mũ
at
at
e nếu t 0
f t e u t
nếu t 0

− +
− − − − +
 
= = = −
 
+
 
 
∫ ∫
0 0
0
L
LL
L

⇒
{
}
at
e u t
s a
. ( )
−
=
+
1
L
LL
L
(2.16)

st
e e
t u t e dt
j j s j s j
(sin ) ( ) .
+∞
ω − ω
−
 
−
ω = = −
 
− ω + ω
 
∫
0
1 1 1
2 2
L
LL
L
⇒

{ }
t u t
s
(sin ) ( )
ω
ω =
+ ω

L
=
m m
o m m
m m
d r t d r t dr t
b b b b r t
dt
dt dt
( ) ( ) ( )
( )
−
−
−
+ + + +
1
1 1
1
L (2.19)
CHƯƠNG 2

42

trong đó các hệ số
),0( nia
i
=
và
j
b j m

số của hệ thống và biết tín hiệu vào, muốn tìm đáp ứng của hệ
thống ta phải giải phương trình vi phân cấp
n
, một công việc
không dễ dàng chút nào. Do đó ta cần một biểu diễn toán học
khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống tự động dễ dàng hơn.
Nhờ phép biến đổi Laplace, ta có thể thực hiện được điều này.
Giả sử
điều kiện đầu bằng 0
, biến đổi Laplace hai vế phương
trình (2.19) ta được:
(
)
(
)
n n m m
o n n o m m
a s a s a s a C s b s b s b s b R s
( ) ( )
− −
− −
+ + + + = + + + +
1 1
1 1 1 1
L L

⇒
m m
o m m
n n

a s a s a s a
( )
( )
( )
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
1
1 1
1
1 1
L
L
(2.20)
G
(
s
) gọi là hàm truyền của hệ thống.

Đònh nghóa:

Hàm truyền của một hệ thống là tỉ số giữa biến
đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào
khi điều kiện đầu bằng 0.
Cần nhấn mạnh rằng mặc dù hàm truyền được đònh nghóa là
tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của

Đặc tính của các khâu hiệu chỉnh này sẽ được phân tích ở các
chương sau.
Khâu hiệu chỉnh thụ động Hình 2.4 Các khâu hiệu chỉnh thụ động
a) Khâu tích phân bậc một; b) Khâu vi phân bậc một
CHÖÔNG 2

44

c) Khaâu sôùm pha; d) Khaâu treã pha
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

45



Khâu tích phân bậc một
(H.2.4a)
Quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên tụ
C
cho ta:

C o
dv t dv t
i t C C
dt dt
( ) ( )
( ) = =

o o i
RCsV s V s V s
( ) ( ) ( )
+ =

⇒

o
i
V s
G s
V s RCs
( )
( )
( )
= =
+
1
1

Đặt
RCT
=
, hàm truyền của khâu tích phân bậc nhất được
viết lại:
G s
Ts
( ) =
+
1

1
1
(2.24)
trong đó:
C
R
K
R R
=
+
2
1 2
;
R R C
T
R R
=
+
2 1
1 2T R C
α =
1
;
R R
R
+
α =

= +
1 2T R C
α =
2
;

R
R R
α =
+
2
1 2

( )
α <
1

CHƯƠNG 2

46

Để ý rằng dạng hàm truyền của khâu sớm pha và khâu trễ
pha giống nhau, chỉ khác là đối với khâu sớm pha thì
α
>1, đối
với khâu trễ pha thì
α


Khâu tích phân tỉ lệ PI
(P
roportional
I
ntegral)
(H.2.5b)
Hàm truyền của khâu PI

I
P
K
G s K
s
( ) = +
(2.27)
trong đó:
P
R
K
R
= −
2
1
;
I
K
R C
= −
1

G s K K s
( ) = +
(2.29)
trong đó:
P
R
K
R
= −
2
1
;
D
K R C
= −
2

Quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PD trong
miền thời gian là:
i
o P i D
dv t
v t K v t K
dt
( )
( ) ( )= +
(2.30)
Khâu vi phân tỉ lệ PD có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín
hiệu vào và vi phân của tín hiệu vào.


1 2
1
;
D
K R C
= −
2 1

Quan hệ trong miền thời gian giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào
của khâu PID là:
t
i
o P i I i D
dv t
v t K v t K v d K
dt
( )
( ) ( ) ( )= + τ τ +
∫
0
(2.32)
Biểu thức (2.32) cho thấy khâu vi tích phân tỉ lệ PID có đặc
điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, tích phân của tín hiệu vào
và vi phân của tín hiệu vào.
3- Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Đối tượng điều khiển rất đa dạng và khác nhau về bản chất
vật lý. Nguyên tắc để rút ra được hàm truyền đạt của các đối
CHƯƠNG 2

48

ư
- điện áp phần ứng B - hệ số ma sát
E
ư
- sức phản điện động J - mômen quán tính
Hình 2.6 Sơ đồ nguyên lý động cơ một chiều kích từ độc lập
Theo đònh luật Kirchoff ta có phương trình cân bằng điện áp
ở mạch điện phần ứng:
di t
U t i t R L E t
dt
( )
( ) ( ). ( )
= + +
ư
ư ư ư ư ư
(2.33)
trong đó:
E t K t
( ) ( )
= Φω
ư
- là sức phản điện phần ứng (2.34)

K
- là hệ số;
Φ
- là từ thông kích từ.
Áp dụng đònh luật Newton cho chuyển động quay, ta có
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

E s K s
( ) ( )
= Φω
(2.38)
( ) ( ) ( ) ( )
đ t
M s M s B s Js s
= + ω + ω
(2.39)
( ) ( )
đ
M s K i s
= Φ
ư
(2.40)
Đặt:
L
T
R
=
ư
ư
ư
là hằng số thời gian điện từ của động cơ

c
J
T
B
=

1
( ) ( ) ( ) ( )
đ t c
M s M s B T s s
− = + ω

⇒

1
( ) ( )
( )
( )
đ t
c
M s M s
s
B T s
−
ω =
+
(2.42)
Từ các biểu thức (2.38), (2.40), (2.41) và (2.42) ta có sơ đồ cấu
trúc của động cơ một chiều như trình bày ở hình 2.7. Mục 2.2.3 sẽ
trình bày cách tính hàm truyền tương đương của hệ thống từ sơ
đồ khối.

Hình 2.7 Sơ đồ cấu trúc động cơ một chiều
CHƯƠNG 2

50

( ) ( )
= −
1
trong đó:
t T
f t K e
/
( ) ( )
−
= −
2
1
Tra bảng biến đổi Laplace ta được:
K
F s
s T s
( )
( )
=
+
2
1

Do vậy, áp dụng đònh lý chậm trễ ta được:
T s
Ke
C s
s T s
( )
( )

thống phức tạp là dùng sơ đồ khối.
Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của
các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ
thống. Sơ đồ khối gồm có ba thành phần là khối chức năng, bộ
tổng và điểm rẽ nhánh.

Khối chức năng: Tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín
hiệu vào và hàm truyền

Điểm rẽ nhánh: Tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng
nhau.

Bộ tổng: Tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các
tín hiệu vào.

Hình 2.10 Các thành phần cơ bản của sơ đồ khối
a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng
2- Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ thống nối tiếp

Hình 2.11 Hệ thống nối tiếp
Hàm truyền tương đương của hệ thống nối tiếp:

n n n n
C s C s C s C s C s C s
C s
G s G s G s
R s R s R s C s R s R s C s
( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( )
( )

G s G s
( ) ( )
=
=
∏
1
(2.44)
Hệ thống song song

Hình 2.12 Hệ thống song song
Hàm truyền tương đương của hệ thống song song:
n n
n
C s C s C s C s
C s C s
C s
G s
R s R s R s R s R s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ +
= = = + + +
1 2
1 2
1 2
L
L


( )
( )
( )
=

Ta có:
C s E s G s
( ) ( ). ( )
=ht
R s E s C s
( ) ( ) ( )
= +
(do
ht
E s R s C s
( ) ( ) ( )
= −
)

)().()( sHsCsE
+
=
(do
ht
C s C s H s
( ) ( ). ( )
=

G s H s
( )
( )
( ). ( )
=
+
1
(2.46)
Trường hợp đặc biệt khi
H
(
s
) = 1 ta có hệ thống
hồi tiếp âm
đơn vò
. Trong trường hợp này công thức (2.46) trở thành:
k
G s
G s
G s
( )
( )
( )
=
+
1
(2.47)


Hồi tiếp dương


55


Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau một khối 
Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước một khối 
Chuyển vò trí hai bộ tổng 
Tách một tổng thành hai bộ tổng Chú ý:
Hai cách biến đổi sơ đồ khối dưới đây rất hay bò
nhầm lẫn là biến đổi tương đương.

CHƯƠNG 2

56


Chuyển vò trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng


G
3
(
s
)//
G
4
(
s
)],
ta được sơ đồ khối tương đương:
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

57•
G
B
(
s
) = [
G
1
(
s
) // hàm truyền đơn vò],
G
C
(


C
A
G s G s
G s
G s G s G s G s G s
( ) ( )
( )
( ). ( ) ( ).[ ( ) ( )]
= =
+ + −
2 2
2 2 3 4
1 1

Hàm truyền tương đương của hệ thống:
B C
G s G s G s
( ) ( ). ( )
=
tđ⇒

G s G s
G s
G s G s G s
[ ( )]. ( )
( )

)
CHƯƠNG 2

58
G
B
(
s
) = vòng hồi tiếp [
G
2
(
s
),
H
2
(
s
)]
G
C
(
s
) = [
G
A
(

G
E
(
s
) = vòng hồi tiếp [
G
D
(
s
),
H
3
(
s
)]
Trong các phép biến đổi sơ đồ khối trên, các hàm truyền
được tính như sau: