CHƯƠNG 6

210

Bước 3:
Xác đònh tần số cắt biên
C
′
ω
của hệ sau khi hiệu
chỉnh từ điều kiện:
C
M
*
( )
′
ϕ ω = − ° + Φ + θ
1
180
trong đó
M
*
Φ
là độ dự trữ pha mong muốn,
θ = ° ÷ °
5 20

Bước 4:
Tính
α
từ điều kiện:

Bước 6:
Tính hằng số thời gian T

T T
= α
α
1 1
⇒
T

Bước 7:
Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn điều kiện về độ
dự trữ biên hay không? Nếu không thỏa mãn thì trở lại bước 3.
Chú ý:
Trong trường hợp hệ thống quá phức tạp khó tìm
được lời giải giải tích thì có thể xác đònh
C
( )
′
ϕ ω
1
,
C
′
ω

(bước 3) và
C
L
( )


Hàm truyền khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế là:
C C
Ts
G s K
Ts
( )
+ α
=
+
1
1
(
α <
1
)
Bước 1:
Xác đònh K
C

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

V C C C
s s
Ts
K sG s G s sK K
Ts s s s
*
lim ( ) ( ) lim .
( )( , )

( )( , )
= =
+ +
1
1
5
1 0 5 1

⇒ G s
s s s
( )
( )( , )
=
+ +
1
5
1 0 5 1

Biểu đồ Bode của
G s
( )
1
(H.6.23)
Hình 6.23
Biểu đồ Bode của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh trễ pha

CHƯƠNG 6

ω + ω = °
0 5 45

⇒
C C
C
( ) ( , )
tan( )
, ( )
′ ′
ω + ω
= ° =
′
− ω
2
0 5
45 1
1 0 5

⇒
C C
, ( ) ,
′ ′
ω + ω − =
2
0 5 1 5 1 0

⇒
C
,

Vẽ đường thẳng có hoành độ –135
0
. Hoành độ giao điểm của
đường thẳng này với biểu đồ Bode về pha
( )
ϕ ω
1
chính là giá trò
tần số cắt mới.
Theo hình 6.23 ta thấy:
C
,
′
ω ≈
0 5
(rad/sec)
Bước 4

Cách 1: Tính α từ điều kiện:

C
G j
( )
′
ω =
α
1
1

⇒

=
× × α
5 1
0 56 1 146 1 038
⇒
,
α =
0 133

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 213

Cách 2: Tính α từ điều kiện:
C
L
( ) lg
′
ω = − α
1
20

Dựa vào biểu đồ Bode ta thấy:
C
L
( )
′
ω ≈
1

.
Bước 5:

Chọn zero của khâu trễ pha

C
T
,
′
<< ω =
α
1
0 56

Chọn
T
,
=
α
1
0 05

⇒
T
α =
20

Bước 6:
Tính thời hằng T


chỉnh là:
GM dB
*
≈ 10
Kết luận:
Khâu hiệu chỉnh vừa thiết kế đạt yêu cầu về độ dự
trữ biên.
Nhận xét
Qua hai ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha và trễ pha
dùng phương pháp biểu đồ Bode ta có nhận xét sau:
- Nếu G(s) là
hệ bậc hai
thì bài thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm
pha và trễ pha hoàn toàn có thể giải được bằng các công thức
giải tích, bước vẽ biểu đồ Bode không thật sự cần thiết.
CHƯƠNG 6

214

- Nếu G(s) là
hệ bậc ba trở lên
thì các công thức giải tích để
tìm tần số cắt biên, tần số cắt pha, độ dự trữ biên, độ dự trữ
pha… trở nên phức tạp, trong trường hợp này nên vẽ biểu đồ Bode
và xác đònh các thông số dựa vào biểu đồ Bode vừa vẽ.
Biểu đồ Bode biên độ được vẽ bằng các đường tiệm cận, biểu
đồ Bode về pha được vẽ bằng cách phân tích đònh tính và thay
một số giá trò tần số
ω
biểu thức

8

- Hệ số vận tốc K
V
= 100.
Giải:


Hàm truyền bộ điều khiển PID cần thiết kế:
I
C P D
K
G s K K s
s
( )
= + +
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 215


Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh:

I
V C P D
s s
K
K sG s G s s K K s
s

C
G s G s
( ) ( )
+ =
1 0

⇔
I
P D
K
K K s
s
s s
  
+ + + =
  
+ +
  
2
100
1 0
10 100

⇔
D P I
s s s K s K s K
( ) ( )
+ + + + + =
2 2
10 100 100 0

2
8 64 0

⇔ s a s a s a
( ) ( )
+ + + + + =
3 2
8 8 64 64 0
(2)
Cân bằng các hệ số hai phương trình (1) và (2), suy ra:
D
P
I
K a
K a
K a
+ = +


+ = +


=

10 100 8
100 100 8 641
100 64

Với K
I

g

Bộ điều khiển PID được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế để
điều khiển nhiều loại đối tượng khác nhau như nhiệt độ lò nhiệt,
tốc độ động cơ, mực chất lỏng trong bồn chứa do nó có khả
CHƯƠNG 6

216

năng làm triệt tiêu sai số xác lập, tăng tốc độ đáp ứng quá độ,
giảm độ vọt lố nếu các thông số của bộ điều khiển được chọn lựa
thích hợp. Do tính thông dụng của nó nên nhiều hãng sản xuất
thiết bò điều khiển đã cho ra đời các bộ điều khiển PID thương
mại rất tiện dụng. Trong thực tế các phương pháp thiết kế bộ
điều khiển PID dùng QĐNS, biểu đồ Bode hay phương pháp giải
tích rất ít được sử dụng do sự khó khăn trong việc xây dựng hàm
truyền của đối tượng. Phương pháp phổ biến nhất để chọn thông số
cho các bộ điều khiển PID thương mại hiện nay là phương pháp
Zeigler-Nichols.
Phương pháp Zeigler-Nichols
Phương pháp Zeigler-Nichols là phương pháp thực nghiệm để
thiết kế bộ điều khiển P, PI, hoặc PID bằng cách dựa vào đáp
ứng quá độ của đối tượng điều khiển. Bộ điều khiển PID cần thiết
kế có hàm truyền là:
I
C P D P D
I
K
G s K K s K T s
s T s

P
/( . )
2 1
T T K

∞

0
PI
, /( . )
2 1
0 9T T K

T
1
/ 0.3
0
PID
, /( . )
2 1
1 2T T K

2
T
1
0.5
T
1
2
1440
1 2 1 2 3 3 6
480I
T T
sec
= = × =
1
2 2 480 960D
T T
, , sec
= = × =
1
0 5 0 5 480 240

Do đó:
PID P D
I
G s K T s s
T s s
( ) ,
 
 
= + + = + +

Hình 6.25
Đáp ứng nấc của hệ kín khi K = K
ghThông số bộ điều khiển P, PI, PID được chọn như sau:
Thông số
Bộ ĐK

K
P
T
I
T
D
P
,
gh
0 5K

∞

0
PI
,
gh
0 45K

,
gh

K
=
20
;
=
gh
T
sec
1

Chọn thông số bộ điều khiển PID theo phương pháp Zeigler-
Nichols:

P gh
K K
, ,
= = × =
0 6 0 6 20 12

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 219I gh
T T
, , , sec
= = × =
0 5 0 5 1 0 5

Cho đối tượng điều khiển mô tả bởi phương trình trạng thái:
t t u t
c t t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +


=

&
x Ax B
Cx
(6.31)
Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái (H.6.26) là hệ thống
trong đó tín hiệu điều khiển xác đònh bởi:
u t r t t
( ) ( ) ( )
= −
Kx
(6.32) Hình 6.26
Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái
Thay (6.32) vào (6.31) ta được:
t t r t t
c(t t
( ) ( ) [ ( ) ( )]
) ( )


220

được (quan sát được) và hệ sẵn sàng nhận tín hiệu điều khiển
(điều khiển được). Mục này sẽ trình bày cụ thể về khái niệm điều
khiển được và quan sát được cũng như các kiểm tra toán học để
đánh giá hệ có thể điều khiển được và quan sát được hay không.
1- Tính điều khiển được
Hệ thống (6.31) được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu
tồn tại luật điều khiển
u t
( )
có khả năng chuyển hệ từ trạng thái
đầu tại
o
t
( )
x
đến trạng thái cuối
f
t
( )
x
bất kỳ trong khoảng thời
gian hữu hạn
o f
t t t
≤ ≤
.
Một cách đònh tính, điều này có nghóa là hệ thống có thể

4
(t) không thể điều khiển được,
điều này có nghóa là u(t) không thể làm thay đổi x
3
(t) và x
4
(t) từ
trạng thái đầu x
3
(0) và x
4
(0) đến trạng thái cuối x
3
(t
f
) và x
4
(t
f
)
trong khoảng thời gian hữu hạn. Vì vậy hệ không điều khiển
được hoàn toàn. Hình 6.27
Sơ đồ dòng tín hiệu của một hệ thống
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 221


222

Đối với hệ thống một đầu vào một đầu ra (SISO) thì ma
trận
C
CC
C
là ma trận vuông cấp n. Do đó điều kiện (6.35) trở thành:
det( )
≠
0
C
CC
C
(6.36)
Ví dụ 6.13.
Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái:
t t u t
c t t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +


=

&
x Ax B
Cx

]
=
C
CC
C
B AB

⇒
 
     
=
 
     
− −
     
 
5 0 1 5
2 2 3 2
C
CC
C
 
=
 
−
 
5 2
2 16

Vì:

có thể xác đònh được trạng thái đầu
o
t
( )
x
.
Một cách đònh tính, hệ thống là quan sát được nếu mỗi biến
trạng thái của hệ đều ảnh hưởng đến đầu ra c(t). Thường, chúng
ta muốn xác đònh thông tin về trạng thái của hệ thống dựa vào
việc đo c(t). Tuy nhiên nếu chúng ta không quan sát được một hay
nhiều trạng thái từ việc đo c(t) thì hệ không quan sát được hoàn
toàn.
Để ví dụ về hệ không quan sát được hoàn toàn, chúng ta xét
hệ thống có sơ đồ dòng tín hiệu ở hình 6.28. Hệ này gồm bốn
trạng thái, trong đó chỉ có hai trạng thái x
1
(t) và x
2
(t) là ảnh
hưởng đến c(t) nên có thể quan sát được. Hai trạng thái còn lại
x
3
(t) và x
4
(t) không ảnh hưởng đến c(t) nên không thể quan sát
được. Do đó hệ thống ở hình 6.28 không quan sát được hoàn toàn.
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 223

 
 
1
M
O
OO
O
C
CA
CA
(6.37)
Điều kiện cần và đủ để hệ thống quan sát được là:

rank
n
( )
=
O
OO
O
(6.38)
Đối với hệ thống một đầu vào một đầu ra (SISO) thì ma trận
O
OO
O
là ma trận vuông cấp n. Do đó điều kiện (6.38) trở thành:

det( )
≠
0

 
 
 
 
= =
 
 
− −
 
 
 
 
 − − 
 
 
1 3
1 3
6 8
0 1
1 3
2 3
O
OO
O

Vì:
det( )
= ≠
10 0
O

s
det[ ]
− + =
0
I A BK
(6.40)
Phương pháp chọn véctơ hồi tiếp trạng thái
K
để phương
trình đặc tính (6.40) có nghiệm tại vò trí mong muốn gọi là
phương pháp phân bố cực.
Có nhiều cách thiết kế bộ điều khiển phân bố cực, trong
quyển sách này chúng tôi giới thiệu hai cách thường sử dụng
nhất.
Cách 1:

Tính K bằng cách cân bằng các hệ số của phương
trình đặc trưng. Cách này trực quan, dễ hiểu hơn các phương
pháp khác và cũng rất dễ áp dụng trong trường hợp hệ bậc thấp
(bậc ba trở xuống).
Trình tự thiết kế
Bộ điều khiển:
Hồi tiếp trạng thái

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 225

Phương pháp thiết kế:

trong đó
i
p
(
i n

=
1
) là các cực mong muốn
Bước 4:
Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc trưng
(6.41) và (6.42) sẽ tìm được véctơ hồi tiếp trạng thái
K
.

Ví dụ 6.15.
Cho đối tượng điều khiển mô tả bởi hệ phương trình
trạng thái:
t t u t
c t t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +


=

&
x Ax B
Cx


Hãy xác đònh luật điều khiển
u t r t t
( ) ( ) ( )
= −
Kx
sao cho hệ
thống kín có cặp cực phức với
,
ξ =
0 6
;
n
ω =
10
và cực thứ ba là
cực thực tại
−
20
.
Giải.
Phương trình đặc tính của hệ hồi tiếp trạng thái là:

s
det[ ]
− + =
0
I A BK

⇔

det
 
−
   
 
   
− + =
 
   
 
   
+
   
 
1 2 3
1 2 3
1 0 0 0 0
0 1 3 3 3 0
4 7 3

⇔

s
k s k k
k k s k
det
 
−
 
 

⇔

s k k s k k k s
( ) ( )
+ + + + + + − +
3 2
2 3 1 2 3
3 3 7 3 10 21

k k
( )
+ + − =
1 3
4 10 12 0
(1)
Phương trình đặc trưng mong muốn là:

n n
s s s
( )( )
+ + ξω + ω =
2 2
20 2 0

⇔
s s s
( )( , )
+ + × × + =
2 2
20 2 0 6 10 10 0

k
,
,
,
=


=


=

1
2
3
220 578
3 839
17 482

Vậy:
[
]
, , ,=
220 578 3 839 17 482
K

gCách 2:


- Nếu hệ không điều khiển được thì kết thúc vì bài toán phân
bố cực không có lời giải.
- Nếu hệ điều khiển được thì tiếp tục bước 2.
Bước 2:
Viết đa thức đặc trưng mong muốn:
n
n n
i n n
i
s s p s a s a s a
( ) ( )
−
−
=
Φ = − = + + + +
∏
1
1 1
1
K

trong đó
i
p
(
i n

=
1

C
CC
C
B AB A B 
           
 
           
=
 
           
 
           
− − − − − − − − −
           
 
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0
3 0 0 1 3 0 0 1 0 0 1 3
1 4 7 3 1 4 7 3 4 7 3 1 
 
= −
 
 
−
 