Chương III
TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
Trong nhiều bài toán thực tế ta cần phải tính đạo hàm của hàm số y = f(x) khi biết
giá trị của hàm này tại các mốc x
i
. Ta biết:
y
i
= f(x
i
) (3.1)
Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính đạo hàm:
f’(x) ≈ L
n
’(x) (3.2)
với ước lượng sai số:

()
()
()
()
()
1
'
1!
n
nn
fc
d

0
)/h (3.4)
y’(x
n
) = (y
n
-y
n-1
)/h
Vì y
n
= y
n-1
+ y’(x
n
) h + 0(h
2
) nên sai số của ước lượng (3.4) là O(h
2
).
b) Đạo hàm tại các điểm trong
Khi x = x
i
là các điểm trong (i = 1,2, ,n-1) ta dùng công thức nội suy bậc 2 có x
i
là
điểm giữa
()
()
2


thay x = x
i
hay t = 1 vào công thức trên ta được:

() ()
'2
11 1 1
11 1 1

22
ii i i ii
yx y y y y y
hh
−− − −
⎛⎞⎛ ⎞
≈Δ + Δ =Δ + Δ −Δ
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

() ()
'
1
1
2
iii
y
xyy
h
−

h
y
yhy yOh
h
y
yhy yOh
+
−
⎧
=+ + +
⎪
⎪
⎨
⎪
=− + +
⎪
⎩

Do vậy:

()
'2
11
2
ii
i
yy
y
Oh
h

'''33
1
26
26
iii i i
iii i i
hh
yyhy y yOh
hh
yyhy y yOh
+
−
⎧
=+ + + +
⎪
⎪
⎨
⎪
=− + − +
⎪
⎩

từ đó ta có:

()
()
'' 2
11
2
1

3
4
5
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,4
1,266
1,326
1,393
1,469
1,553
1,647
0,6
0,635
0,715
0,8
0,89
0,94

0,7
0,9
0,8
1,0
II.TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1 Công thức hình thang
Giả sử chúng ta biết giá trị của hàm y = f(x) tại các mốc cách đều x
i

y
y
f
xdx h
+
+
+
=
∫
(3.10) x
n
= b x
0
= a x
i
x
i+1

y
i


=
+
≈
∑
∫

hay

() ()
01 1
2 2
2
b
nn
a
ba
f
xdx y y y y
n
−
−
≈++++
∫
(3.11)
Ứớc lượng sai số:
Thực chất của công thức (3.11) là thay hàm f(x) trên đoạn Δx
i
bởi công thức nội
suy bậc nhất của nó trên đoạn này. Với i = 0 ta có:


fx= ; với mọi x∈[a,b]
Vậy sai số của tích phân trên đoạn Δx
0
là
() ()()
11
00
3
10
22
01
.
22 12
xx
xx
yy
M
Mh
fxdx h xx xxdx
+
−≤−−=
∫∫

trên n đoạn ta có sai số toàn phần:

()
()
2
3
2

2
3
4
5
6
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,00
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
1,0000
0,9900
0,9608
0,9139
0,8521
0,7788
0,6977
7
8
9
10

i
i
yy y
=
++ =
∑

Vậy

2
1
0
0,7462
x
edx
−
≈
∫

()
''
f
x
đạt max tại x = 0 là M
2
= 2. Vậy

()
2
10

x
0
=a
x
2i

x
2i+1
x
2i+2
y = f(x)
Ta có:

()
()
2
22 2
1
2
ii i
tt
f
xyty y
−
≈+Δ+ Δ

với

() ()
01234 212
4 2 4 2 4
6
b
nn
a
ba
f
xdx y y y y y y y
n
−
−
≈ ++++++ +
∫
(3.14)
b). Ước lượng sai số
Người ta đã chứng minh công thức ước lượng sai số như sau:

()
()
4
24
2
180
ba
R
nMh
−
=


2
i
x

i = 0 và i = 10 i lẻ i chẵn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,00
0,01

1,0408

1,1725

1,4333

1,8965 Đạo hàm 4 lần liên tiếp ta được:

()
()
2
4
42
44 12 3
x
yxxe=++

Hàm này đạt giá trị cực đại tại x = 1 và M
2
= 76.e
Vậy:

4
2