Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi

1.
T A I M V VECT
T A I M V VECT
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. T a i m : Trong khụng gian v i h t a Oxyz
1).
( )
M M M M M M
M x ; y ;z OM x i y j z k
= + +
uuuur r r r
2). Cho
( )
A A A
A x ; y ;z
v
( )
B B B
B x ;y ;z
ta cú:
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
=
uuur
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
= + +
3). N u M chia o n AB theo t s k

a (a ;a ;a )
=
r
v
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
ta cú :

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= =


=

r r

1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
=
r r

thỡ
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a,b ; ;
b b b b b b=
ữ

ữ

r r
2). Vect tớch cú h ng
c a,b

=

r r r
vuụng gúc v i hai vect
a
r
v
b
r
.
3).

1).
a
r
v
b
r
cựng ph ng
1 1
2 2
3 3
a kb
a,b 0 k R :a kb a kb
a kb
=



= = =



=

r r r r r

2).
a
r
v
b

r
v
b
r

k,l R sao cho
c ka lb= +
r r r
6). G l tr ng tõm c a tam giỏc ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
+ +

=


+ +

Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
c) Tớnh cỏc gúc c a tam giỏc ABC.
d)Tớnh di n tớch tam giỏc BCD.
e)Tớnh th tớch t di n ABCD v di ng cao c a t di n h t nh A.
Bi 3: Cho
a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)= = = =
r r r r
a)Ch ng t r ng b ba vect
a, b, c
r r r
khụng ng ph ng.
b)Ch ng t r ng b ba vect
a, b, d
r r r
ng ph ng, hóy phõn tớch vect
d
r
theo
hai vect
a, b
r r
.
c) Phõn tớch vect
( )
u 2;4;11=
r
theo ba vect
a, b, c
r r r
.

2
, N
3
.
b)Ch ng minh r ng N
1
N
2
AN
3
.
c) G i P,Q l cỏc i m chia o n N
1
N
2
, OA theo t s k xỏc nh k PQ//M
1
N
1
.
2. M T PH NG
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. Ph ng trỡnh m t ph ng :
1). Trong khụng gian Oxyz ph ng trỡnh d ng Ax + By + Cz + D = 0 v i A
2
+B
2
+C
2
0

0
;z
0
) v nh n
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
v
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r

lm c p vect ch ph ng thỡ m t ph ng (P) cú vect phỏp tuy n :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
n a,b ; ;
b b b b b b= =
ữ

ữ


2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
=
+ +
IV/. Gúc g a hai m t ph ng
G i l gúc gi a hai m t ph ng : (P): Ax + By + Cz + D = 0
v (Q): A x + B y + C z + D = 0.
Ta cú :
P Q
P Q
2 2 2 2 2 2
P Q
n .n
A.A' B.B' C.C'
cos cos(n ,n )
n . n
A B C . A ' B' C'
+ +
= = =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
(0
0
90
0

b) Vi t ph ng trỡnh tham s ,chớnh t c ,t ng quỏt ng th ng i qua g c
t a O v vuụng gúc v i m t mp(P).
c) Tớnh kho ng cỏch t g c t a n m t ph ng (P).
( TNPT n m 1993 )
Bi 4: Trong khụng gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): x + y z + 5 = 0
v (Q): 2x z = 0 .
a) Ch ng t hai m t ph ng c t nhau,tớnh gúc gi a chỳng.
b) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) v
(Q) i qua A(-1;2;3).
c) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) v
(Q) v song song v i Oy.
d) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) i qua g c t a O v vuụng gúc v i hai
m t ph ng (P)v (Q).
Bi 5: Trong khụng gian Oxyz, cho m t ph ng (P) : 2x + 2y z + 2 = 0 v i m M(2;1;-
1).
a) Tớnh di o n vuụng gúc k t M n m t ph ng (P).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d) qua M vuụng gúc v i m t ph ng (P).
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng ( ) i qua i m M song song Ox v h p v i
m t ph ng (P) m t gúc 45
0
.
Bi 6: Trong khụng gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x + ky + 3z 5 = 0 v (Q):
mx 6y 6 z + 2 = 0.
a) Xỏc nh giỏ tr k v m hai m t ph ng (P) v (Q) song song nhau,lỳc ú
hóy tớnh kho ng cỏch gi a hai m t ph ng.
b) Trong tr ng h p k = m = 0 g i (d) l giao tuy n c a (P) v (Q) hóy tớnh
kho ng cỏch t A(1;1;1) n ng th ng (d).
3. NG TH NG
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. Ph ng trỡnh ng th ng :

;z
0
) l i m thu c ng th ng v
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
l vect ch
ph ng c a ng th ng.
3). Ph ng trỡnh chớnh t c c a u ng th ng :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

= =
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 5
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Trong ú M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) l i m thu c ng th ng v
1 2 3
a (a ;a ;a )
=

() // ( )
[a,a ']=0
M '






r ur r
() ( )
[a,a ']=0
M '






r ur r
2). V trớ t ng i c a ng th ng v m t ph ng:
Cho ng th ng ( ) i qua M(x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )


r r
III/. Kho ng cỏch :
1). Kho ng cỏch t M n u ng th ng ( ) i qua M
0
cú VTCP
a
r
.

= =
Y
uuuuur r
r
0
[M M,a]
S
d(M, )
c.ủaựy
a
2). Kho ng cỏch gi a hai ng chộo nhau :
() i qua M(x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
a
r

1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 6
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
( ) i qua M (x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
1 2 3
a (a ' ;a ' ;a ' )
=
r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a '
a .a' a .a ' a .a '
cos cos(a,a ')
a . a '
a a a . a ' a' a '
+ +
= = =
+ + + +
rur
r ur

c) Vi t ph ng trỡnh tham s chớnh t c c a u ng th ng cú ph ng trỡnh
2 4 0
2 2 0
x y z
x y z
+ + =


+ + =

Bi 2 : Trong khụng gian Oxyz cho ba i m A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) v m t
ng th ng ( ) cú ph ng trỡnh
4 2 1 0
3 5 0
x y z
x z
+ + =


+ =

a) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng ( ) i qua ba i m A,B,C.
b) Vi t ph ng trỡnh tham s chớnh t c t ng quỏt ng th ng BC.Tớnh
d(BC,).
c) Ch ng t r ng m i i m M c a ng th ng ( ) u th a món AM BC,
BM AC, CM AB.
Bi 3: Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh h p ch nh t cú cỏc nh A(3;0;0), B(0;4;0),
C(0;0;5), O(0;0;0) v D l nh i di n v i O.
a) Xỏc nh t a nh D.Vi t ph ng trỡnh t ng quỏt m t ph ng (A,B,D).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng i qua D v vuụng gúc v i m t ph ng

b) L p ph ng trỡnh mp (P) i qua i m C v vuụng gúc v i ng th ng AB.
c) L p ph ng trỡnh ng th ng (d) l hỡnh chi u vuụng gúc c a ng
th ng CD xu ng m t ph ng (P).
d) Tớnh kho ng cỏch gi a hai ng th ng AB v CD.
Bi 6: Trong khụng gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Tớnh cỏc gúc t o b i cỏc c p c nh i di n c a t di n ABCD.
b) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (ABC).
c) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d) qua D vuụng gúc v i m t ph ng (ABC).
d) Tỡm t a i m D i x ng D qua m t ph ng (ABC).
e) Tỡm t a i m C i x ng C qua ng th ng AB.
Bi 7: Cho ng th ng
2x y z 5 0
( ):
2x z 3 0
+ + =



+ =

v mp (P) : x + y + z 7 = 0
a) Tớnh gúc gi a ng th ng v m t ph ng.
b) Tỡm t a giao i m c a ( ) v (P).
c) Vi t ph ng trỡnh hỡnh chi u vuụng gúc c a ( ) trờn mp(P).
Bi 8: Trong khụng gian Oxyz cho hai ng th ng ( ) v ( ) l n l t cú ph ng
trỡnh:
2x y 1 0 3x y z 3 0
;
x y z 1 0 2x y 1 0
+ + = + + =

c) L p ph ng trỡnh ng th ng (d) qua A vuụng gúc v i ( ), bi t (d) v ( )
c t nhau.
4. M T C U
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. Ph ng trỡnh m t c u:
1). Ph ng trỡnh m t c u tõm I(a;b;c) bỏn kớnh R l:
(x a)
2
+ (y b)
2
+ (z c)
2
= R
2
.
2). Ph ng trỡnh x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 v i A
2
+B
2
+C
2
D>0 l
ph ng trỡnh m t c u tõm I(-A;-B;-C), bỏn kớnh
2 2 2

2 2
r R d(I,(P))=
.
Tõm H c a ng trũn l hỡnh chi u c a tõm I m t c u (S) lờn m t ph ng (P).
B/. BI T P:
Bi 1: Trong khụng gian Oxyz, cho m t c u (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
2x 4y 6z = 0 v hai
i m M(1;1;1) N(2;-1;5).
a) Xỏc nh t a tõm I v bỏn kớnh c a m t c u (S).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng MN.
c) Tỡm k m t ph ng (P): x + y z + k = 0 ti p xỳc m t c u(S).
d) Tỡm t a giao i m c a m t c u (S) v ng th ng MN. Vi t ph ng
trỡnh m t ph ng ti p xỳc v i m t c u t i cỏc giao i m.
Bi 2: Trong khụng gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
a) Ch ng minh r ng A,B,C,D l b n nh c a t di n.
b) Tớnh th tớch t di n ABCD.
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng qua ba i m A,B,C.
d) Vi t ph ng trỡnh m t c u ngo i ti p t di n ABCD. Xỏc nh t a tõm
v bỏn kớnh.
e) Vi t ph ng trỡnh ng trũn qua ba i m A,B,C. Hóy tỡm tõm v bỏn kớnh
c a ng trũn ú.
Bi 3: Trong khụng gian Oxyz cho m t ph ng (P): 2x 3y + 4z 5 = 0 v m t c u
(S): x
2
+ y

(TN THPT 2003-2004)
Bi 6: Trong khụng gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) v C(1/3; 1/3;1/3)
a) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P) vuụng gúc OC t i C. Ch ng minh O, B, C
th ng hng. Xột v trớ t ng i c a m t c u (S) tõm B, bỏn kớnh
R 2=
v i m t
ph ng(P).
b) Vi t ph ng trỡnh t ng quỏt c a ng th ng l hỡnh chi u vuụng gúc c a
ng th ng AB lờn m t ph ng(P).
Bi 7: Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): x + y + z 1 = 0 . mp(P) c t cỏc tr c t a
t i A, B, C.
a) Tỡm t a A, B, C. Vi t ph ng trỡnh giao tuy n c a (P) v i cỏc m t t a
. Tỡm t a giao i m D c a (d):
2 0
2 1 0
x y
x y z
+ =


+ =

v i mp(Oxy). Tớnh th tớch t di n
ABCD.
b) L p ph ng trỡnh m t c u (S) ngo i ti p ABCD. L p ph ng trỡnh ng
trũn ngo i ti p ACD. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh c a ng trũn ú.
(TN THPT 2001-2002)
Bi 8: Trong khụng gian Oxyz cho 4 i m A, B, C, D cú t a xỏc nh b i :
A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k
= = + = = +

b) G i A, B, C l n l t l giao i m (khỏc i m g c t a ) c a m t c u (S)
v i cỏc tr c t a Ox, Oy, Oz. Tớnh t a A, B, C v vi t ph ng trỡnh m t ph ng
(ABC).
c) Tớnh kho ng cỏch t tõm m t c u n m t ph ng.T ú hóy xỏc nh tõm
v bỏn kớnh ng trũn ngo i ti p tam giỏc ABC.
Bài 1. hệ tọa độ trong không gian
Bi tp 1. Trong Oxyz, cho 4 im A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tỡm ta v di ca cỏc vect sau:
=
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA
.
b) Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CD, DA. Tỡm ta ca M, N, P, Q.
c)Chng minh A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc. Tỡm ta trng G tõm ca ABC.
d) Tỡm ta im E sao cho t giỏc ABCE l hỡnh bỡnh hnh. Tớnh din tớch ca hỡnh bỡnh hnh
ABCE.
e) Chng minh 4 im A, B, C, D khụng ng phng. Tớnh th tớch ca t din ABCD.
f) Tớnh tớnh di ng cao h t cỏc nh tng ng ca t din ABCD.
g) Tỡm cụsin gúc to bi cỏc cnh i din ca t din.
h) Tỡm ta im B i xng vi B qua im D.
i) Tỡm ta ca im K nm trờn trc Oz ADK vuụng ti K.
Bi tp 2. Cho 3 im A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) v C(x; y; 6). Tỡm x, y A, B, C thng hng.
Bi tp 3. Trong khụng gian Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C

.
a) Tỡm ta hỡnh chiu ca cỏc im A, B, C trờn cỏc trc ta , trờn cỏc mt ta .
b) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc mp ta .
c) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc trc ta .

( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A

a) Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
b) Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh hp.
c) Tớnh th tớch V ca hỡnh hp.
d) Tớnh di ngcao ca hỡnh hp k t A.
Trong kg Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.ABCD, bit
( ) ( )
1 1 1 3 3 3
; ; , ; ; ,A x y z C x y z

( )
, , ,
2 2 2
' ; ; ,B x y z
( )
, , ,
4 4 4
' ; ;D x y z
. Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
Bi tp 8. Trong kg Oxyz, cho 4 im
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D
a)CMr: a
1
/ 4 im A, B, C, D khụng ng phng.
1. T din ABCD cú cỏc cnh i din vuụng gúc.
2. Hỡnh chúp D.ABC l hỡnh chúp u.
b) Tỡm ta chõn ng cao H ca hỡnh chúp D.ABC .

.
Bi t p 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(1;0;2), C(1;3;1).
a) Vit pt mt phng (ABC).
b) Vit pt mt trung trc ca on AB.
c) Vit pt mp qua A v vuụng gúc vi BC.
d) Vit pt mp qua B v vuụng gúc vi Oz.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 12
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
e) Gi A
1
, A
2
, A
3
ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc trc Ox, Oy,Oz. Vit pt mt phng (P) qua A
1
,
A
2
, A
3
.
Bi tp 3. Trong kg Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C
.
a) CMr: A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc.
b) Tỡm D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
c) Tỡm M sao cho
2 3AM BA CM

mt phng () qua giao tuyn ca (), () v qua A(2;1;1).
Bi t p 9. Trong Oxyz, cho ():
4 0x y z+ + =
, ():
3 2 1 0x y z
+ =
. Lp pt mt
phng () qua giao tuyn ca (), () ng thi vuụng gúc vi mt phng ():
2 3 1 0x y z
+ =
.
Bi t p 10. Lp pt mp i qua gc ta v vuụng gúc vi 2 mp:():
7 0x y z
+ =
,
():
3 2 12 5 0x y z+ + =
Bi tp 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) v D(-1; 1; -2).
a. Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi BC.
b. Vit phng trỡnh mt phng (ABC).
c. Vit phng trỡnh mt phng () qua B v song song vi (): 3x 2y + z +7 = 0.
d. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua AC v song song vi BD.
e. Tớnh S
ABC
.
f. Chng minh 4 im A, B, C, D khụng ng phng.
g. Tớnh V
ABCD
.
h. Tớnh chiu cao DH ca t din ABCD.

i qua cỏc im A, B v vuụng gúc vi mt phng
( )
a
.
c.Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB.
Bi tp 14. Vit phng trỡnh mt cu i qua 3 im A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) v cú
tõm nm trờn mt phng (Oxy).
Bi tp 15. Vit phng trỡnh mt cu i qua 2 im A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) v cú tõm thuc trc
Oz.
Bi tp 16. Vit phng trỡnh mt cu i qua 4 im A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bi tp 17. Cho mt mt phng
( )
: 3 2 6 14 0x y z
a
- + + =
v mt cu
( )
( )
2
2 2 2
: 2 2 0S x y z x y z+ + - + + - =
. Chng minh rng
( )
a
ct (S) theo mt
ng trũn (C). Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca (C).
Bi tp 18. Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) v D (2;
-1; 3).
a. Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi CD
b. CMr bn im A, B, C, D khụng ng phng.

g
i qua cỏc im A, B v vuụng gúc vi mt phng
( )
a
.
c. Vit phng trỡnh mt cu tõm A v tip xỳc vi
( )
a
.
d. Tỡm cỏc giao im A, B, C ca
( )
a
vi cỏc trc Ox, Oy, Oz. Tớnh th tớch khi t din OABC.
Bài 3. phơng trình đờng thẳng
Bi t p 1 Lp pt tham s ca ng thng (t) trong mi trng hp sau:
a) qua 2 im A(2;3;5) v B(1;2;3).
b) qua im A(1;1;3) v ssong vi BC, bit B(1;2;0), C(1;1;2).
c) qua im A(1;0;2) v vuụng vi mp():
7 0x y z
+ =

d) Tỡm ptct ca bit cú phng trỡnh tham s l:
1
2
x t
y t
z
=




: 11 2
16
x t
d y t
z t

= =
5 2 3
' :
2 1 6
x y z
d
. CMr: d ct
d.Vit ptmp cha d v d.
Bi tp 5 Cho
= +


=


=

5 2
: 1
5
x t
d y t
z t

v
= +


= +


=

1 '
' : 2 '
3 '
x t
d y t
z t
.
a. CMr: d v d chộo nhau.
b. Lp pt mp qua O v song song vi d v d.
Bi t p 7 Lp pt mp() cha t :
=




= +


=



:
1 2
3 1 1
x y z +
= =
v ct d
2
:
=


= +


= +

1
1
2
x
y t
z t

Bi tp 11 Vit ptct t qua M(1;5;0) v ct c 2 t d
1
:
=


=

z t
Bi tp 12 Cho ng thng d:
= +


= +


= +

12 4
9 3
1
x t
y t
z t
v mp(P):
+ =
3 5 2 0x y z
.
a) Tỡm to giao im ca d v (P)
b) Vit ptmp (P) qua M(1; 2; -1) v vuụng gúc vi d. Tớnh khong cỏch t M n d.
c) Vit pt hỡnh chiu d ca d lờn mp(P).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 15
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
d) Tớnh gúc gia d v (P).
e) Cho im B(1; 0; -1), hóy tỡm ta im B sao cho (P) l mp trung trc ca on thng BB.
f) Vit ptt nm trong (P) vuụng gúc v ct d.
Bi t p 13 Cho d:
=


v d
2
:
1 3
1 1 2
x y z +
= =
.
a) Hóy xột v trớ tng i ca d
1
, d
2
.
b) Tỡm ta giao im I ca d
1
, d
2
.
c) Lp phng trỡnh tng quỏt ca mp cha d
1
, d
2
.
Bi tp 15 Cho 2 ng thng d
1
:
2 3 4
2 3 5
x y z +



= +


= +

, n:
3
3 2
2
x u
y u
z
=


= +


=


a) Tỡnh khong cỏch gia 2 t m, n.
b) Vit pt ng vuụng gúc chung ca 2 t m, n.
Bi tp 17 Cho 2 t d:
2
1
2
x t

1
:
2 2 1
3 4 1
x y z +
= =
; d
2
:
7 3 9
1 2 1
x y z
= =

; d
3
:
1 3 2
3 2 1
x y z+ +
= =

. Lp pt t d ct d
1
, d
2
v ssong vi d
3
.
Bi tp 19 Hóy vit phng trỡnh ca ng thng i qua im M(0,1,1) vuụng gúc vi ng

x y z
d
+
= =


1 2
' : 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +


=

v mt cu (S) cú phng trỡnh: x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
a) Chng minh d v d chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh mt phng qua im M(1;2;3) v vuụng gúc vi ng thng d.
c) Lp phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca d v d. Tỡm to cỏc chõn ng vuụng gúc

=

=


zyx
d
. Hóy lp phng trỡnh ng thng vuụng gúc chung ca d
1
v
d
2
.
Lp phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu: x
2
+ y
2
+ z
2
- 10x + 2y + 26z - 113 = 0 v song
song vi 2 ng thng
2
13
3
1
2
5
:
1
+



= +


=

,
2
':
2 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

a) Chng minh rng:
)(
,
)'(
chộo nhau.
b) Tớnh khong cỏch gia
)(
,

1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu .
2. Gi A, B,C l giao im (khỏc O) ca (S) vi cỏc trc Ox, Oy, Oz. Tớnh khong cỏch t tõm mt
cu (S) n mt phng (ABC).
Bi tp 25 Trong khụng gian Oxyz, cho mt phng
( ) ( )
2
: 2 2 3 0 tham sốP x y z m m m
+ + =
v mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 9S x y z
+ + + =
. Tỡm m (P) tip xỳc vi (S). Vi m va tỡm c, hóy xỏc
nh ta ca tip im ca (P) v (S).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 17
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 26 Trong khụng gian cho Oxyz, cho 2 ng thng:
1
3
: 2 2
x
d y t
z t
=


=




cha d
1
,
)(

vuụng gúc d
2
, mt phng
)(

cha d
2
v
)(

vuụng gúc d
1
.
c)Tỡm giao im ca d
2
v
)(

, d
1
v
)(

. Suy ra phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip

.
c) Chng t
)(

ct mt cu (S). Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ng trũn giao tuyn.
Bi tp 29 Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S) qua i gc to O v 3 im A(2,0,0),
B(0,-1,0), C(0,0,3).
a. Xỏc dnh tõm v bỏn kớnh mt cu (S).
b. Lp phng trỡnh mt phng
)(

qua A, B, C.
c. Lp phng trỡnh ng trũn giao tuyn ca (S) v
)(

. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ny.
Bi tp 30 Cho ng thng
1
1
3
9
4
12
:)(

=

=
zyx
d


=

v
5
4
1
3
2
1
:
2

=
+
=



zyx
a.Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi mt phng Oxy v ct c hai ng thng
1

,
2

b.Vit phng trỡnh mt phng song song vi 2 ng thng
1

,

Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 34 Trong khụng gian Oxyz, cho 4 im A, B, C, D cú to xỏc nh bi cỏc h thc:
A(2;4;-1),

+= kjiOB 4
, C=(2,4,3),

+= kjiOD 22
.
a. Chng minh rng
ACAB
,
ADAC
,
ABAD
.Tớnh th tớch khi t din ABCD.
b. Vit phng trỡnh tham s ca ng vuụng gúc chung

ca hai ng thng AB v CD.
Tớnh gúc gia ng thng

v mt phng (ABD).
c. Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua 4 im A, B, C, D. Vit phng trỡnh tip din
)(

ca
mt cu (S) song song vi mt phng (ABD).
Bi tp 35 Trong mt phng ta Oxyz, cho 4 im: A(0;1;0), B(2;3;1),
C(-2;2;2), D(1;-1;2).
a. Chng minh rng A, B, C, D l 4 nh ca t din. Tớnh th tớch t din ú.

Bi tp 2 Cho hỡnh t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng (ABC);
AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tớnh khong cỏch t im A ti mt phng (BCD).
Bi tp 3 Cho hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cú cnh bng a
a) Tớnh theo a khong cỏch gia hai ng thng A
1
B v B
1
D.
b) Gi M, N, P ln lt l cỏc trung im ca cỏc cnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tớnh gúc gia hai ng
thng MP v C
1
N.
Bi tp 4 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng
(d) :

x y
.
Bi tp 6 Trong khụng gian vi h to cỏc vuụng gúc Oxyz, cho mt phng
(P): 2x - y + 2 = 0 v ng th ng d
m
:
( ) ( )
( )



=++++
=+++
02412
01112
mzmmx
mymxm

Xỏc nh m ng thng d
m
song song vi mt phng (P) .
Bi tp 7 Trong khụng gian vi h trc to cỏc vuụng gúc Oxyz, cho hai mt phng (P): x - y
+ z + 5 = 0 v (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc mt phng (P) v
tip xỳc vi mt phng (Q) ti M(1; - 1; -1).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 19
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 8 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng (d ) :
3 1 3
2 1 1
+ +

= +


=

x t
y t
z

a. Chng minh rng ng thng
1
( )
v ng thng
2
( )
chộo nhau .
b. Vit phng trỡnh mt phng ( P ) cha ng thng
1
( )
v song song vi ng thng
2
( )

Bi tp 10 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hỡnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D' cú
A trựng vi gc ca h to , B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b)
(a > 0, b > 0). Gi M l trung im cnh CC'.
a) Tớnh th tớch khi t din BDA'M theo a v b.
b) Xỏc nh t s
b
a

Bi tp 14 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho im A(-4; -2; 4) v ng thng d:





+=
=
+=
tz
ty
tx
41
1
23
(t R). Vit phng trỡnh ng thng i qua im A, ct v vuụng gúc vi
ng thng d.
Bi tp 15 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hỡnh lng tr ng ABC.A
1
B
1
C
1
. Bit
A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B
1
(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng B
1
C v AC

(4; 0; 4)
a) Tỡm to cỏc nh A
1
, C
1
. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm l A v tip xỳc vi mt phng
(BCC
1
B
1
).
b) Gi M l trung im ca A
1
B
1
. Vit phng trỡnh mt phng P) i qua hai im A, M v song
song vi BC
1
. mt phng (P) ct ng thng A
1
C
1
ti im N. Tớnh di on MN
Bi tp 18 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai ng thng:
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z + +

Bi tp 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD vi A(0;
0; 0) B(1; 0; 0) D(0; 1; 0) A(0; 0; 1). Gi M v N ln lt l trung im ca AB v CD.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AC v MN.
b) Vit phng trỡnh mt phng cha AC v to vi mt phng Oxy mt gúc bit cos =
1
6

Bi tp 20 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(1; 2; 3) v hai ng thng
d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z +
= =

a) Tỡm to im A i xng vi im A qua ng thng d
1
b) Vit phng trỡnh ng thng i qua A vuụng gúc vi d
1
v ct d
2

chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh ng thng d vuụng gúc vi mt phng (P): 7x + y - 4z = 0 v ct hai ng
thng d
1
, d
2
Bi tp 22 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0
v mt phng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Ox v ct (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng
3.
b) Tỡm to im M thuc mt cu (S) sao cho khong cỏch t M n mt phng (P) ln nht.
Bi tp 23 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai im A(1; 4; 2 B(-1 2; 4) v ng thng
:
1 2
1 1 2
x y z +
= =

Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 21
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
a) Vit phng trỡnh ng thng d i qua trng tõm G ca tam giỏc OAB v vuụng gúc vi mt
phng (OAB).
b) Tỡm to im M thuc ng thng sao cho MA
2

3
; 0) (a > 0). Gi M l trung im ca BC. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng
AB v OM.
Bi tp 27 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hai im I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Vit
phng trỡnh mt phng i qua hai im I, K v to vi vi mt phng xOy mt gúc bng 30
0
Bi tp 28 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hai ng thng (
1
) v (
2
) cú phng
trỡnh:
1
:



=+
=+
0104
0238
zy
yx

2
:



=++

0422
042
zyx
zyx
và
2
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song song với đờng thẳng
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài
nhỏ nhất.

1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đờng
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
Bi tp 36 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z +
= =

và mặt
phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
Bi tp 37 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0; -3; 0)
B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A

và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ =


+ =

Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng
thẳng d
1
và d
2
mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là
gốc toạ độ)
Bi tp 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đờng thẳng :
d
1

, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bi tp 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
2
, SA = a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AD và SC; I là giao
điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 23
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0
và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bi tp 42 Trong không gian Oxyz cho 2 đờng thẳng:
1
:



=++
=+
0422

(P): 2x - y + 2 = 0 và đờng thẳng d
m
:
( ) ( )
( )



=++++
=+++
02412
01112
mzmmx
mymxm

Xác định m để đờng thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P) .
Bi tp 43 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t
C n (P) bng khong cỏch t D n (P)
Bi tp 44 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 5 = 0 v hai
im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit phng
trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.
Bi tp 45. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v
mt phng (P): x + y + z 20 = 0. Xỏc nh ta im D thuc ng thng AB sao cho ng
thng CD song song vi mt phng (P).
Bi tp 46 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng :
x 2 y 2 z
1 1 1


=

0
mt cu (S):
x
2

+

y

2

+

z

2



2

x



4


x



2

y
+
2
z



1

=

0 v hai
ng th ng
1
1 9
:
1 1 6
x x z+ +
= =
v
2
1 3 1
:
2 1 2

i m

A

(

2

;

5

;

3
)

v

ng

th ng
1 2
:
2 1 2
x y z
d

= =
a)

Vit

ph n g

trỡnh

m t

ph ng

()

ch a

d

sao

cho

khong

cỏch

t

A

n


A

(
0

;1;

2
)

,

B

(

2

;



2

;1
)

,

C


i m

A,

B,

C.
b) Tỡm

ta



ca

im

M

thuc

m t

ph ng

2x

+


khụng

gian

v i

h

ta



Oxyz,

cho

b n

i m
A(3; 3; 0), B(3; 0 ; 3), C(0
; 3; 3),
D(3; 3; 3).
1.

Vit

ph n g

trỡnh



trũn

ngoi

ti p

tam

giỏc

ABC.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 25