Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
I. Phương pháp chứng minh qui nạp
1.Chứng minh rằng :
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
n(n 1)
2
+
b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+ n
2
=
c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n
2
d) 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ …+ (2n – 1)
2
=
e) 1
3
+ 2
3

n+2
> 2n + 5
d) n
3
+ 3n
2
+ 5n chia hết cho 3 e) 4
n
+ 15n – 1 chia hết cho 9
e) 3
n – 1
> n ∀ n > 1 f) 3
n
> 3n + 1 g) 2
n
– n >
f)11
n +1
+ 12
2n – 1
chia hết cho 133 g) 5.2
3n – 2
+ 3
3n – 1
chia hết cho 19
g) 2n
3
– 3n
2
+ n chia hết cho 6 g) 3

2
,…,x
n
thỏa mãn điều kiện x
1.
x
2.
…x
n
= 1
Chứng minh rằng: x
1
+

x
2
+ …+ x
n
≥ n
7. Cho n số thực x
1
,x
2
,…,x
n
∈ (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng:
(1 – x
1
)(1–


d) u
n
=
2.Cho dãy số u
n
=
a) Xác định 5 số hạng đầu tiên
b) số là số hạng thứ mấy của dãy số
c) số là số hạng thứ mấy của dãy số
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 1
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
3. Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 5.4
n – 1
+ 3
Chứng minh rằng: u
n + 1
= 4u
n
– 9 ∀ n ≥ 1
4. Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) u
1
= 3 ; u
n +1
= u
n

n +1
= u
n
+ 1 h)

u
1
= 1 ; u
n +1
= u
n
+ ()
n

5. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
= 0 ; u
2
= 1 ; u
n + 2
=
a)Chứng minh rằng: u
n + 1
= – u
n
+ 1
b)Xác định công thức tính u
n

= 3u
n – 1
– 2u
n – 2
b) u
1
= 1 ; u
2
= 2 ; u
n
= 4u
n – 1
– 3u
n – 2
8. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= u
n
+ 7 ∀ n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
4
và u
6
b)Chứng minh rằng: u

n + 1
= 5u
n
∀ n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
4
và u
6
b)Chứng minh rằng: u
n
= 2.5
n – 1
∀n ≥ 1
11. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 3u
n
+ 2n – 1 ∀ n ≥ 1
Chứng minh rằng: u
n
= 3
n
– n ∀n ≥ 1
12. Cho dãy số (u

= b) u
n
= c) u
n
= n – d) u
n
=
15. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u
n
= b) u
n
= n
2
– 5 c) u
n
= d) u
n
= (– 1)
n
.n e) u
n
= 2
n

f) u
n
= g) u
n
= h) u

n
(2
n
+ 1) k) u
n
=
l) u
n
= 2n + m) u
n
=
17. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
= a là một số thực.Hãy xác định a để:
a) (u
n
) là dãy số giảm b) (u
n
) là dãy số tăng
18. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) u
n
= b) u
n
= c) u
n
= d) u
n

22. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức: u
1
= 1 và u
n +1
=
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn dưới bởi số 1 và
bị chặn trên bởi số 3/2
23. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức u
1
= và u
n +1
=
Chứng minh rằng u
n
< 3 ∀ n
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 2
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
24. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
=
a)Tìm 5 số hạng đầu tiên b)Chứng minh rằng (u

=
III. Cấp số cộng
1. Cho cấp số cộng thoả mãn a
10
= 15 ; a
5
= 5 .Tính a
7
2. Cho cấp số cộng thoả mãn



=+
=−+
8aa
10aaa
62
473
Tính a
5
;S
9
3. Cho cấp số cộng thoả mãn



=
=−
75a.a
8aa

5. Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400. Hỏi
cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
6. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng :
a) a
2
+ 2bc = c
2
+ 2ab
b) 3 số a
2
+ ab + b
2
; a
2
+ ac + c
2
; b
2
+ bc + c
2
cũng tạo thành 1 cấp số cộng
c) a
2
+ 8bc = (2b + c)
2
d) 3(a
2
+ b
2
+ c

lập thành 1 cấp số cộng
b)các số a,b,c lập thành 1 CSC ⇔ các số
,

,
lập thành 1 cấp số cộng
16. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ tan
.
tan=
17. Chứng minh rằng nếu cot, cot , cot tạo thành 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số
cộng theo thứ tự đó
18. Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành 1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết
cạnh lớn nhất là 44cm. Tính số cạnh của đa giác
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 3
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
19. Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3
o
. Tính các góc
của đa giác đó
20. Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1 cấp số cộng và số hạng đầu bằng tổng các
bình phương của 3 số còn lại
21. Cho cấp số cộng (u
n
). Chứng minh rằng :
a) + +…+ = u
n
≠ 0 ∀ n
b) + + …+ =
22. Tìm m để phương trình x
4

)
c)Chứng minh rằng: (u
n
) là một cấp số cộng ,xác định công sai
26. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= ∀n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n
2
∀n ≥ 1 là một cấp số cộng , hãy xác định cấp số cộng đó
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
)
c)Tính tổng S = u
1
2
+ u
2
2
+ u
3

1

b)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
28. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và u
n +1

= u
n
+ 2n – 1 ∀n ≥ 1
Xét dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n + 1
– u
n
∀ n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
b)Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (v
n
) theo k. Từ đó suy ra số

n
’ = 4n + 27.
Tính tỉ số
31. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S
n
= 4n
2
+ 5n ,
∀n ∈ N
32. Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
p
= q và S
q
= p. Hãy tính S
p + q

33. Cho cấp số cộng (u
n
) biết u
p
= q và u
q
= p. Hãy tính u
n

34. Cho cấp số cộng (u
n
) biết S

IV. Cấp số nhân
1.Cho cấp số nhân có u
2
= – 8; u
5
= 64.Tính u
4
; S
5
2.Cho cấp số nhân thoả:
a)



=+
=+
180aa
60aa
35
24
tìm a
6
; S
4
b)



=++
=−

=+
65aaa
325aa
531
17
tìm u
1
, q
3. Cho cấp số nhân (u
n
) có 3.u
2
+ u
5
= 0 và u
3
2
+ u
6
2
= 63. Tính tổng
S = |u
1
| + |u
2
| + |u
3
| + ….+|u
15
|

+ c
2

b) (bc + ca + ab)
3
= abc(a + b + c)
3
c) (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
) = (ab + bc)
2
d) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng
e) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân với a ,b ,c > 0
12. Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân
13. Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng thứ hai ta được 1 cấp số cộng. Nếu
thêm 32 vào số hạng thứ 3 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 3 số hạng đó
14. Tìm cấp số nhân a,b,c biết
a)



=
=++
64c.b.a

B
1
C
1
lập thành tam giác A
2
B
2
C
2
, trung điểm các cạnh của
A
2
B
2
C
2
lập thành tam giác A
3
B
3
C
3
....Tính tổng chu vi của tất cả các tam giác ABC,

A
1
B
1
C

vo s th ba thỡ c 3 s mi lp thnh 1 cp s nhõn .Tỡm cỏc s ú
27. Ba s lp thnh 1 cp s cng cú tng = 15. Nu thờm 1 vo s th nht, thờm 4 vo s th hai, thờm
19 vo s th ba thỡ c 3 s mi lp thnh 1 cp s nhõn . Tỡm cỏc s ú
28. Bn s lp thnh 1 CSC .Ln lt tr mi s y cho 2, 6, 7, 2 ta c 1 CSN .Tỡm 4 s ú
29. Ba s khỏc nhau to thnh 1 cp s nhõn, cú tng = 15 ng thi chỳng l s hng th nht, th t,
th hai mi lm ca 1 cp s cng khỏc. Tỡm cỏc s ú
30. Cho cp s nhõn a,b,c,d. Chng minh rng :
a) a
2
b
2
c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
b) (ab + bc + cd)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)(b
2
+ c

a) S = 1 + + + + +
b) S = ( ) + ( ) + ( ) + + ( )
c) S = 1 + + + + +
38. Cho dóy s (u
n
) xỏc nh bi u
1
= 1 ;u
n + 1
= v dóy s (v
n
) xỏc nh bi v
n
= u
n
2 . Chng minh
rng: (v
n
) l mt cp s nhõn .T ú suy ra biu thc ca u
n
v v
n
V. Gii hn hm s
1. Duứng ủũnh nghúa, CMR:
a)
x 2
lim(2x 3) 7

+ =
b)

x 2

+

c)
x 3
lim x 1



d)
2
2
x 2
2x 3x 1
lim
x 4x 2

+ +
+ +
e)
3
x 1
1 1
lim
1 x
1 2x




0
1
lim
cos
x
x

j)
0
tan sin2x
lim
cos
x
x
x

+
k)
x
4
tgx
lim
x



Bi tp SGT 11NC hc kỡ II Trang 6
Trng THPT Phc Bỡnh T Toỏn Tin
Daùng voõ ủũnh
0



d)
2
2
x 2
x 2x
lim
2x 6x 4


+
e)
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3

+
+
f)
3 2
2
x 1
x x x 1
lim
x 3x 2


5
3
1
1
lim
1
x
x
x

+
+

j)
3 2
4 2
x 3
x 5x 3x 9
lim
x 8x 9

+ +

k)
4 3 2
3 2
x 1
2x 8x 7x 4x 4
lim
3x 14x 20x 8

3
1
1 3
lim
1 1
x
x x



ữo)
5 6
2
x 1
x 5x 4x
lim
(1 x)

+

p)
3 3
h 0
(x h) x
lim
h


2 2
x 1
x 2 x 4
lim
x 5x 4 3(x 3x 2)


+
+
ữ
+ +

u)
1992
1990
x 1
x x 2
lim
x x 2

+
+
k)
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)


+
+

D =
2
3 2
1
x
2
4x 1
lim
4x 2x 1


+
E =
2
2
x 1
x 4x 3
lim
x 2x 3

+
+
F =
2
2
1
x

2
x 1
x 1
lim
x x




J =
3x4x
27x
lim
2
3
3x
+


K =
3 2
2
x 2
x 6x 12x 8
lim
x 4x 4

+ +
+
L =

O =
3 2
2
x 2
x x 5x 2
lim
x 3x 2

+
+
P =
3 2
2
x 1
x 4x 6x 3
lim
x x 2

+ + +

Q =
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 2x 1

+
+

x 2
2 x 2
lim
x 3x 2

+
+
Bi tp SGT 11NC hc kỡ II Trang 7
Trng THPT Phc Bỡnh T Toỏn Tin
d) EMBED Equation.DSMT4
2
x 2
4x 1 3
lim
x 4

+

e) EMBED Equation.DSMT4
3 2
x 1
2x 7 3
lim
x 4x 3

+
+
f) EMBED Equation.DSMT4
x 4
x 5 2x 1


i)
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2


+

j) EMBED Equation.DSMT4
x 4
3 5 x
lim
1 5 x

+

k) EMBED Equation.DSMT4
x 1
3 8 x
lim
2x 5 x

+

l) EMBED Equation.DSMT4
x 2

o) EMBED Equation.DSMT4
3
2
0
1 1
lim
2
x
x
x x


+

p) EMBED Equation.DSMT4
3
2
1
1
lim
2 5 3
x
x
x x

+
+ +
q) EMBED Equation.DSMT4
3
2

3
x 1
x 7 2
lim
x 1

+

v) EMBED Equation.DSMT4
3
4
x 1
x 1
lim
x 1



w) EMBED
Equation.DSMT4
3
3
x 1
x 1
lim
4x 4 2


+
x) EMBED Equation.DSMT4

lim
x

+ + +
d.
3
x 0
x 1 x 1
lim
x

+ +
e.
3
2
1
3 3 5
lim
1
x
x x
x

+ +

f.
3
2
x 1
8x 11 x 7

x x 1
lim
x x 1
+
+
+ +
Bi tp SGT 11NC hc kỡ II Trang 8
Trường THPT Phước Bình Tổ Tốn – Tin
d)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
→−∞
−
− +
e)
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −

x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
i)
2 2
4
x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
→±∞
− +
+
j)
2 3
2 2
x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
→±∞
− +
− −
k)
2
x
4x 1

x
x x 2 3x 1
lim
4x 1 1 x
→±∞
+ + + +
+ + −

o)
2
2
x
4x 2x 1 2 x
lim
9x 3x 2x
→±∞
− + + −
− +
p)
2
2
x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→±∞
+ + + +
+ + −
q)
2

+ + + +
−
t)
x
(x x x 1)( x 1)
lim
(x 2)(x 1)
→+∞
+ − +
+ −
 Dạng vô đònh
∞ − ∞
8.Tính các giới hạn sau:
a)
)32(lim
3
xx
x
−
+∞→
b)
3
lim (2 3 )
x
x x
→±∞
−
c)
2
lim 3 4

−+−
−∞→
h)
2
lim ( 2 4 )
x
x x x
→±∞
− + −
i)
)22(lim −−+
+∞→
xx
x

j)
2 2
x
lim ( x 4x 3 x 3x 2)
→±∞
− + − − +
k)
2
lim ( 5 )
x
x x x
→±∞
+ +
l)
2

→±∞
− + + −
q)
2
lim ( 3 1 3)
x
x x x
→±∞
− + − +
r)
2
lim ( 4 3 2 1)
x
x x x
→±∞
− + − +
s)
3
3 2
x
lim ( x x x)
→±∞
+ −
t)
3
3 2
x
lim ( x x x x)
→±∞
− + +

−
+
b)
2
3 1
lim
2
x
x
+
→
−
c)
1
1
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
d)
1
1
lim
1
x

−
+−
−
→
x
xx
x
h)
2
33
lim
2
2
−
+−
+
→
x
xx
x
i)
4
3
lim
4
x
x
x
±
→

l)
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 5x 4
−
→
− +
− +
m)
x 0
1 x
lim x
x
±
→
 
−
 ÷
 ÷
 
n)
2
x 1
x x 2
lim
x 1
+

(x 1)
2
với x 1

− +
>


−
=


− <


=

2
o
4 x
(x 2)
b) f(x)
x 2
1 2x (x 2)
với x 2

−
<

=

11. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x
o
:
a)
3
x 1
(x 1)
f(x)
x 1
Ax 2 (x 1)

−
<

=
 −

+ ≤

với x
0
= 1 b)
3 2
2
x 6 2x 9
A x 3
f (x)
x 4x 3x
3x 2 x 3


c)
2
x 0
cosx cos 7x
lim
x
→
−
d)
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x
→
−
e)
3
x 0
tgx sin x
lim
x
→
−
f)
x 0
1 3
lim x
sin x sin3x
→

3
x 0
1 x x 1
lim
x
→
+ + −
2.
3
2 2
0
3 1 2 1
lim
1 cos
x
x x
x
→
− + +
−
3.
( )
6
2
x 1
x 6x 5
lim
x 1
→
− +

x 1
x nx n 1
lim
x 1
→
− + −
−
7.
( )
*
m n
x 1
m n
lim , m,n ,m n
1 x 1 x
→
 
− ∈ ≠
 ÷
− −
 
¥
8.
n
x 0
1 ax 1
lim
x
→
+ −

3
x 0
tan x sin x
lim
x
→
−
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 10
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
13.
( )
x 1
x
lim 1 x tan
2
→
π
−
14.
2
x 0
1 cos x.cos2x.cos3x
lim
x
→
−
15.
2
x 0
1 cos x.cos2x.cos3x...cos nx

x 0
x
lim
1 x sin x cos x
→
+ −
20.
( )
x 0
cos x
cos
2
lim
sin tan x
→
π
 
 ÷
 
21.
x
x x x
lim
x 1
→+∞
+ +
+
22.
( ) ( ) ( )
3

+ + + −
 
26.
2 2
x a
x a x a
lim
x a
→
− + −
−
27.
n
x 0
1 x 1
lim
x
→
+ −
28.
43
x 0
x x
1 1
3 4
lim
x
1 1
2
→

2 2
x a
x b a b
lim
x a
→
− − −
−
33.
3
2
3
2
x 1
x 2 x x 1
lim
x 1
→
− + − +
−
34.
n n
x 0
a x a
lim
x
→
+ −
35.
3

+ − +
39.
3
2
x 0
2x 1 x 1
lim
sin x
→
+ − +
40.
3
4
x 7
x 2 x 20
lim
x 9 2
→
+ − +
+ −
41.
3
2
x 0
1 4x 1 6x
lim
x
→
+ − +
42.

lim
2 cot x cot x
π
→
−
− −
46.
3
x 0
1 cosx cos2x cos3x
lim
1 cos2x
→
−
−
ĐÁP SỐ PHẦN DẠNG KHÁC
1)
5
6
2)
4
3)
15
4)
p
16
5)
( )
( )
+

Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 11
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
13)
p
2
14)
7
15)
+ + +
2 2 2
1 2
2
... n
16)
- 3
17)
1
4 2
18)
2
19)
4
3
20)
0
21)
1
22)
( )
+ +

- 4
31) -1632)
4
1
a a b−
33)
1
3
34)
n
a
an
35)
2
3
36)
1
37)
7
270
38)
am bn
mn
−
39) 1
40)
112
27
41) 2 42)
a a asin cos

n
) = limu
n
;
limv
n
lim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
n
)
Nếu ∀n ta có u
n
≤ v
n
≤ w
n
và limu
n
= limw
n
= A thì limv
n
= A

nn2n
3
23
−−
) l) lim m) lim(1 + n
2
– )
n) lim
4. Tính các giới hạn
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 12
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
a) lim b) lim c) lim d) lim
e) lim f) lim g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
5.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1
= ; u
n+1
=
a)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b)Suy ra (u
n
) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1

< 2 và x
n+1
= 1 + x
n
– x
n
2
∀n ∈ N
a)Chứng minh rằng: |x
n
– | < ()
n
∀n ≥ 3
b) Tính limx
n

11.Cho dãy số xác định bởi : u
1
= ; u
n +1
=
a) Chứng minh rằng: u
n
< 1 ∀n
b) Chứng minh rằng: (u
n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
12.Cho dãy số (u

x a
x a
x a
limf (x)
f (x)
lim
g(x) limg(x)
→
→
→
=

x a x a
lim f (x) limf (x)
→ →
=
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu
x a x a
limg(x) limh(x) L
→ →
= =
thì
x a
limf (x) L
→
=
Định lý 3: Nếu
x a x a

sin kx
lim 1
kx
→
=

x 0
kx
lim 1
sin kx
→
=
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞
1.Tính các giới hạn sau
a)
2x
2x3x2
lim
2
2x
−
−−
→
b)
1x
3x5x3x
lim
2
23
1x

23
3x
−−
++−
→
f)
3x2x
1x
lim
23
4
1x
+−
−
−→
g)
1xx2
3x2x
lim
2
2
1x
−−
−+
→
h)
2
3
2x
x4

lim
4x
−
−+
→
b)
x
x1x1
lim
0x
−−+
→
c)
49x
3x2
lim
2
7x
−
−−
→
d)
4x
31x4
lim
2
2x
−
−+
→

1x
+−
−++
→
i)
1x
xx
lim
2
1x
−
−
→
j)
23x
1x
lim
1x
−+
−
→
k)
31x4
x2x
lim
2x
−+
−+
→
l)

lim
32
1x
−
−++
→
3.Tính các giới hạn sau:
a)
33
2x
x8x8
x
lim
+−−
→
b)
1x
2xx
lim
3
35
1x
+
++
−→
c)
1x1
x
lim
3

−
−++
−→
g)
2x
2xx10
lim
3
2x
−
+−−
→
h)
4x
2x6x
lim
2
3
2x
−
+−+
→

i)
3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2

→
b)
x2sin
x5
lim
0x
→
c)
x7sin
x4sin
lim
0x
→
d)
2
0x
x
x6cos1
lim
−
→
e)
xcos1
x3cos1
lim
0x
−
−
→
f)

x
−
π
→
j)
11x
1xsinxcos
lim
2
44
0x
−+
−−
→

k)
xcosxsin1
xcosxsin1
lim
0x
−−
−+
→
l)
)
xcos
1
xsin
1
(lim

x2cosxsin1
lim
2
0x
−+
→
q)
tgx1
xcosxsin
lim
4
x
−
−
π
→
r)
2
0x
x11
1x2cos
lim
−−
−
→
5. Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 3 1
lim .

π

e)
x
2
lim(1 cos2x)tgx
π
→
+
f)
x
4
1 tgx
lim
1 cot gx
π
→
−
−
g)
x
4
sinx - cosx
lim
1 - tgx
π
→
h)
3
x

lim
x
→
+ − −
l)
x
lim(sin x 1 sin x)
→∞
+ −
m)
x
lim(cos x+1 cos x)
→∞
−
6. Tính các giới hạn sau:
a)
)
1x
3
1x
1
(lim
3
1x
−
−
−
→
b)
)

+
+−
∞→
d)
1x2
x3xx
lim
2
x
−
−+
∞→
e)
)x3xx(lim
2
x
++−
∞→
f)
)x5x3(lim
x
−−−
−∞→
g)
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 14