ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Đại số & Giải tích:
Chương 4 : Giới hạn
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
1/
2
3
2
8n 3n
lim
n
−
2/
2
2
2n 3n 1
lim
n 2
− −
− +
3/
(
)
2
lim n 1 n 1
− − +
4/
3 4 1
lim
2.4 2

n
− −
− − + = = = −
− + +
− + +
.
2/
2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1n 2
1
n
− −
− −
= = = −
−− +
− +
4/
3 4 1
lim
2.4 2
n n


+−






n
nn
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1) Lim
3
2 3
2 5 3
3
n n
n n
− +
−

2) lim
2
)54(
)32)(21(
−
−+
n
nn


3
23
+−
++−
nn
nnn

8) lim
22
3
)13(
)23()1(
+
+−
n
nn
9)
)1213lim(
−−−
nn
10) lim
nn
nn
5.32
54
+
−
Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức:
1

−
−
Bài tập: Tính tổng
1/
( )
2 1
1
1 1
1 ... ...
10 10 10
n
n
S
−
−
= − + − + + +
2/ S =
2
2 2 2
1 ... ...
100 100 100
n
+ + + + +
3/
( )
n 1
n
1
1 1 1
, , ,..., ,...

x x
x
→
=
(với n > 0)
- Khử dạng vô định
0
0
;
∞
∞
;
∞ − ∞
; 0 x ∞
Ghi chú:
1
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x
0
thì f(x) = (x-x
0
).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1.
a b−
là
a b+
2.
a b+
là
a b−

x
x
x
−
→
+
−
3,
3
2 1
lim
3
x
x
x
−
→
−
−
4,
2
4
1
lim
( 4)
x
x
x
→
−

−
+ −
8,
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
9,
2 2
4 1
lim
2 3
x
x x x
x
→−∞
− − +
+
10,
0
1 1
lim 1
1

2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
14,
3 2
3 2
3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
x
x x x
x x x
→
− − −
− + −
15,
3
0
( 3) 27
lim
x
x
x
→
+ −

f x khi x x
f x
f x khi x x
≠

=

=

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x
0
?
Phương pháp chung:
B
1
: Tìm TXĐ: D = R
B
2
: Tính f(x
0
);
)(lim
0
xf
xx
→
B
3
:
)(lim

1
: Tính f(x
0
) = f
1
(x
0
)
B
2
: (liên tục phải) tính:
0 0
1 1
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
+ +
→ →
= =
B
3
: (liên tục trái) tính:
0 0
2 2
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− −
→ →
= =

B
1
: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B
2
: Kết luận về số nghiệm của PT trên
[ ]
;a b
Bài tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
2
1,
2
4
2
( )
2
4 2
x
voi x
f x
x
voi x

−
≠ −

=
+





tai x = 0 4,



−
=
2
12
)(
x
x
xf

1,
1,
≥
<
x
x
tại x = 1
Bài tập 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2
2
2
( )
2
2 2 2


−
=


=

3,







−−
=
2
1
11
)(
x
x
xf
0,
0,
=
≠
x
x

( )
3 1f x x
= − +
Bài tập 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
2
1
( )
2 3 1
x voi x
f x
ax voi x

<
=

− ≥

2,
( )
2
2
x 1
1
x = -1
x x
khi
f x
x
a khi

f

= − <

⇒ <

= >


Nên phương trình
( )
0f x
=
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;1x ∈
, vậy bài toán được chứng minh.
2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
3
2 10 7 0x x− − =
3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3
1000 0,1 0x x+ + =
4, CMR: Phương trình x
4
-3x
2
+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
5, Chứng minh phương trình

( )
′
n
x
=n.x
n-1
(n
∈
N, n
≥
2)
( )
′
n
U
=n.U
n-1
.
U
′
2
1 1
x x
′
 
= −
 ÷
 
(x
≠

( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/
/
/
cot1
sin
1
cot
1
cos
1
sincos
cossin
+−=−=
+==
−=

UUU
−=
=
−=
=
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )
U V U V
′
′ ′
± = ±

( )
UV U V UV
′
′ ′
= +

(k.U) k.U
′ ′
=
(k là hằng số)
2
U U .V U.V
V V
′
′ ′
−
 
=

 
Bài toán 1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.
12
3
+−=
xxy
2.
3
2
2
5
+−=
x
xy
3.
2
4
2
10
x
xy
+=

4.
)1)(2(
3
++=
xxy

=
x
x
y

11.
42
562
2
+
+−
=
x
xx
y

12.
1
35
2
++
−
=
xx
x
y
13.
76
2
++=

x

18) y =
2
3 2
2
x
x x
-
- +

19)
3
3
2
a b
y
x x
x
= −
20)
3 3
y a bx
= +

21)
2 2
3
3 3
2

=
−

27)
1
y
x x
=
28/ y= x
2
1 x
+

29/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
30/ y=
x
x
−
+
1
1

31/ y= (2x+3)
10

4
x
y
=

6)
xx
xx
y
cossin
cossin
−
+
=
7)
3
y cot (2x )
4
π
= +

8)
2
y 2 tan x= +

9)
3
cos x 4
y cot x
3sin x 3

3
2
y cot 1 x= +

17) y= sin(sinx)
18)
2
y sin (cos3x)=

19)
xsin x
y
1 tan x
=
+

20)
sin x x
y
x sin x
= +

21)
x 1
y tan
2
+
=

22)

=
x
x
y

12
2
2
−
−+−
=
x
xx
y

32
43
2
2
++
+−
=
xx
xx
y
Dạng toán 2. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x ; x

12
−
−
x
x
; x
0
= 3
g) y = x.sinx; x
0
=
π
3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x
0
=
π
3
i) Cho
13)(
+=
xxf
, tính f ’’(1)
k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x)
m) Cho
( ) ( )
6
f x x 10
= +
.

= − + =

c) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin
33
−
+
; y’' = - y d) Cho y =
4x
3x
+
−
; 2(y’)
2
=(y -1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
; y’ = cotg
4
x f) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+

+−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x
4
– 2x
3
– 1
Bài tập 3. Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
+x
2
+ π .
Bài tập 4. Cho
3 2
y x 3x 2= − +
. Tìm x để: a) y’> 0 b) y’< 0
5