Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
-
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc
chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
-
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng
trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a

0
-
Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a


B A B A
AB x x y y
= +
-
Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
-
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1

.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x
2
.
Bài 8:
8.1)Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax
2
và hai đường thẳng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x= −
(d
2
): 4x + 5y – 11 = 0
a) Tìm a biết (P), (d
1
), (d
2

2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Chuyên đề 4
: Phương trình bậc hai
PHẦN II. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b
2
- 4ac
+Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1

2
=
a
b−
+Nếu ∆
’
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
∆+−
; x
2
=
a
b
'
∆−−
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a≠0)

= -1; x
2
=
a
c−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S

)
Nếu ∆
’
thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆
’
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x

a
b
C. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
E. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c−
F. Nếu phương trình ax

=
a
c−
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b−
và tích hai nghiệm là
a
c
D.Phương trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích hai nghiệm là
2
3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a
≠
0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:
∆
≥ 0)
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN

−=
−−−
=x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :



=
−
−
b) Giải phương trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16;

)
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23

* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2
3
x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6.
3
x
2
– (1-
3
)x – 1 = 0
7.(2+

2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x

)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả
mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x
2

=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13
−
; x
2
=
5
13

1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x

+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+
−
+ x
x
x
x
7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2

=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2

2
=
5−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2

+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
* Bài tương tự:
Cho phương trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x

3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++

=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán
này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆
’
= (-1)
2
- 1.k = 1 – k
Nếu ∆
’
< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=1
Nếu ∆
’
> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1

’
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆
’
= 3m-2 = 0 ⇔ m =
3
2
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x =
3
1
3

1
−
≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2
=⇒=
−
−
=
−
−
x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh

1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2
+






−m
Do
0
2
1
2
≥



0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔



>+−
<−
⇔ m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)

≥
⇔














≤
≤





≥
≥
⇔





m
m
m
m
m
m
m
Vậy m ≥
2
3
hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



−−=
−=+
⇔



+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21

1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
) ⇔
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1
21

x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=⇔

Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x
+ = − + = − = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = − = −
   
   
   
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm

m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = − + + =
− −
(m≠1)
⇒ y
1
; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-
m
m
−1
2
.y +
1
2
−m
m
= 0 (m≠1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp

a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
a) C/m A= 8m

– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) C/m phương trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2

+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1








+








x
x

của phương trình
thoả mãn điều kiện x
1
2
+x
2
2

≥
10.
Bài 175
Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
a) C/m A= 8m

Bài 178
Cho hai phương trình: x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax
2
+ 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
a) Tương đương với nhau.
b) Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 179
a) C/m đẳng thức:
(m
2
+ m + 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b) Cho phương trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm

và khi đó hãy tìm giá trị
của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 183
Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 184
Cho phương trình : x
2
– 2mx + m + 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm
b) Khi đó tính giá trị của biểu thức: E=
21
xx +
theo m
Bài 185
Cho phương trình : 3x
2

xy +=+=
Bài 187
Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x
1
2
– x
2
2
= 5/9
Bài 188
Cho phương trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2

2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn: y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
,
3
11
1
2
2
1
=
−







x
x
x
x
> 7
Bài 191
Cho phương trình : 2x
2
+ 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
b) C/m các nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

2
2121
2
2
13

C/m phương trình :
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với mọi a, b, c.
Bài 195
Co hai phương trình : x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
X
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
b) Định m để 2 phương trình tương đương
c) Xác định m để phương trình: (x
2
+mx+2)(x
2
+2x+m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 196
Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai: (2a + 1)x
2
– (3a – 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x
2
– (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
Có hai nghiệm chung
Bài 197
Với giá trị nào của tham số k thì hai phương trình sau có nghiệm chung : 2x
2
+ (3k + 1)x – 9 = 0
6x
2

và x
2
thoả mãn hệ thức :
21
21
x
1
x
1
2
xx
+=
+
Bài 202
Cho biết phương trình: x
2
+ px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phương trình: x
2
+ qx + 2 = 0 có hai nghiệm là
b và c
C/m hệ thức : (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 203
Cho các phương trình : x
2
- 5x + k = 0 (1)
x
2
- 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 một trong các nghiệm của phương trình
(1)

2
+ ax + 8 = 0
x
2
+ x + a = 0
Bài 207
Tìm tất cả các số nguyên k để các phương trình bậc hai:
2x
2
+ (3k – 1)x – 3 = 0
6x
2
– (2k – 3)x – 1 = 0
a) Có nghiệm chung
b) Tương đương với nhau
Bài 208
Cho phương trình bậc hai: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
2
x
x
x
x
1

2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 . Hãy việt phương trình bậc hai nhân
x
1
3
và x
2
3
làm hai nghiệm
Bài 211
Cho f(x) = x
2
– 2(m+ 2)x + 6m + 1
a) CMR: phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn
hơn 2
Bài 212
Cho phương trình : x
2
-2(m + 1)x + m
2
+ m - 6 = 0
a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

2
+ bx + 2a = 0 (2)
Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là nghiệm chung của phương trình : x
2
+
2x + ab = 0
Bài 216
Cho hai phương trình : x
2
+ ax + 2b = 0 (1)
x
2
+ bx + ac = 0 (2)
( a,b,c đôi một khác nhau và khác 0)
Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. C/m hai nghiệm còn lại của phương trình (1) và (2) là
nghiệm của phương trình x
2
+ cx + ab = 0
Bài 217
Cho phương trình: x
2
– (m – 1)x – m
2
+ m - 2 = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
b) Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x
1
2
+ x
2

2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
với a,b,c ≠ 0. C/m , ít nhất một trong ba phương trình trên đây phải có nghiệm
Bài 220
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm pân biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
1
x
1
x
1
21
=+
b) Lập một hệ thức giữa x
1
và x

1x
1
1
+
−
, x
2
=
1x
1x
2
2
+
−
Bài 222:
Cho phương trình: x
2
+ (m+1) + m = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để biểu thức: E = x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị bé nhất.

Bài 225
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x m + 3 = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
Bài 226
Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
– x
2
= 5 và x
1
3
+ x
2
3
= 35. Tính các nghiệm đó.
Bài 227
Giả sử phương trình x
2
+ ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiệm phân biệt trong đó đúng một nghiệm dương
x

1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

≥
4
Bài 229
Không giải phương trình: 3x
2
+ 17x – 14 = 0 (1)
Hãy tính giá trị của biểu thức: S=
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++

Bài 232
Cho phương trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm a và b
Bài 233
Cho f(x) = (4m – 3)x
2
– 3(m + 1)x + 2(m + 1)
a) Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình đó
b) Xác định m để m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương
c) Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc
vào m.
Bài 234
Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức:

)1()5(3)( yxyyxx +=+
Hãy tính giá trị của biểu thức: E =
yxyx
yxyx
−+
++ 32
Bài 235

Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0
px
2
+ qx + r = 0
có ít nhất một nghiệm chung.
C/m ta có hệ thức: (pc–ar)
2
= (pb–aq)(cq–rb)
Bài 237
Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0 (1)
x
2
– cx – d = 0 (2)
Các hệ số a, b, c, d thoả mãn: a(a–c)+c(c–a)+8(d–b) > 0
C/m ít nhất một trong hai phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
Bài 238
Giả sử phương trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dương. C/m : ax
2
+ bx
2
là một hợp số.
Bài 239
Giả sử phương trình bậc hai: x
2

+
3x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm nghiệm trong trường hợp M đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 241
Cho phương trình: x
2
+ px – 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
; C/m : nếu n là số tự nhiên thì: x
1
n

+ x
2
n
và x
1
n+1
+ x
2
n +1
đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau.
Bài 242
Cho phương trình bậc hai: x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0
a) C/m với mọi m phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm

4x
1
x
2
+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
– 1)(x
2
– 1) =
1
1
+a
(2)
Bài 245
Cho a ≠ 0. Giả sử x
1
và x
2
là nghiệm của phương trình
X
2
– ax -
0
2
1

2
4
Bài 247
Cho phương trình bậc 2: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a)Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép.
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1
Bài 248
Cho phương trình: x
2
–ax+a–1 = 0 có hai nghiệm là x
1
,x
2
.
a) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
M =
2
212
2
1
2
2
2
1
333
xxxx
xx
+

– 1 = 0 (1)
a) C/m phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2
5
1
2
2
1
−=+
x
x
x
x
Bài 252
Cho phương trình : (m – 1)x
2

2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 254
Cho phương trình : x
2
+ 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
= x
2
2
.
Bài 255
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
– 3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2

1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m2(x
2
=−−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình :
.02m5x)4m(2x)1m2(
2
=+++−−
có 2 nghiệm x

1
=++
Bài 5: Tìm m để phương trình :
.0m2x)4m(mx
2
=+−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0xx5)xx(2
21
2
2
2
1
=−+
Bài 6: Tìm m để phương trình :
.05mx)2m(x
2
=++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.10xx
2
2

2
1
=+
Bài 9: Tìm m để phương trình :
.05m4x)2m(2x
2
=+−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.1
x
x
x
x
1
2
2
1
=+
Bài 10: Tìm m để phương trình :
.03mx)1m2(x)2m(
2
=−+−−+
có 2 nghiệm x
1
,x
2

.0m3x)1m(2x)2m(
2
=−+−−+
Hãy lập hệ thức liên
hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.03mx)1m(2x
2
=−+−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.05mx)1m(2x)3m(
2

1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.0mx)1m(2x)1m(
2
=++−−
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
23