TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC
1. Chứng minh rằng:

50
1

28
1
27
1
26
1
50.49
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
++++=++++
Hướng dẫn:
Đặt A =
50.49
1

6.5
1
4.3


++++−++++++
50
1

6
1
4
1
2
1
2
50
1
49
1

4
1
3
1
2
1
1
1
=





28
1
27
1
26
1
++++
2. Cho a,b,c. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3
-3abc= (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab+bc-ca)
( THI HSG TPHCM 1998-1999 VÒNG 2)
Hướng dẫn:
Thay a
3
+b
3
= (a+b)
3
-3ab(a+b)

2
111
=++
cba
thì
2
111
222
=++
cba
.
Hướng dẫn:
Ta có
2
111
=++
cba
Bình phương 2 vế ta có:

4
111
2
111
222
=






=++
cba
4. Cho
1=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
. Chứng minh rằng :
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

0
222
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb

+
+
++
222
nên:
cbac
ba
c
b
ac
b
a
cb
a
++=+
+
++
+
++
+
222
Vậy
0
222
=
+
+
+
+
+ ba

− c
ba
b
ac
a
cb
ba
c
ac
b
cb
a
Hướng dẫn:
Đặt x=
c
ba
z
b
ac
y
a
cb −
=
−
=
−
,,
Ta có:
( )
z

bc
babacc
cb
a
c
ba
b
ac
cb
a
x
zy
2222

−−−
−
=
−+−
−
=






−
+
−
−

b
y
xz
22
2
,
2
=
+
=
+
,
Tóm lại ta có
abc
cba
ab
c
ca
b
bc
a
z
yx
y
xz
x
zy
333222
.22
++

Hay : a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
Vậy :
6
6
y z z x x y abc
x y z abc
+ + +
+ + = =
Do đó :
( )
9
111
=








++++
zyx
zyx


+
−
+






+
−
+






+
−
+
ac
ac
cb
cb
ba
ba
111
=

abc
+++
8
(1-x)(1-y)(1-z)=






+
−
−






+
−
−






+
−

+++
2
.
2
.
2
=
( )( )( )
accbba
abc
+++
8
Vậy: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
7. Cho a, b, c là 3 số thực khác nhau . Chứng minh rằng:

1 −=
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+

cb
b
y
cb
cb
−
=+⇒
−
+
2
1
và y-1=
cb
c
−
2
z=
ac
c
z
ac
ac
−
=+⇒
−
+
2
1
và z-1=
ac

−
⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM
9. Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện
111
22
=−+− xyyx
.
Chứng minh rằng: x
2
+y
2
=1
Hướng dẫn:
Điều kiện:
11;11 ≤≤−≤≤− yx

Ta có:
111
22
=−+− xyyx
( ) ( ) ( )( )
111211
222222
=−−+−+−⇒ yxxyxyyx
( )( )
01112
22222222
=−−−+−+−⇒ yxxyyxyyxx
( )( ) ( )( )
011211

10. Chứng minh rằng:
Nếu ta có :
d
c
b
a
=
thì
44
44
4
dc
ba
dc
ba
+
+
=






−
−
( THI HSG MIỀN BẮC 1969-1970)
Hướng dẫn:
Ta có
d




−
−
==
dc
ba
d
c
b
a
(1)
Ta lại có :
44
44
4
4
4
4
dc
ba
d
b
c
a
+
+
==
(2)

−
222
thì suy ra được :
z
abc
y
cab
x
bca −
=
−
=
−
222
( THI HSG MIỀN BẮC 1971-1972)
Hướng dẫn:
Ta đặt :
c
xyz
b
zxy
a
yzx −
=
−
=
−
222
= k
⇒a =


−
=
−
22
2
2
2
.

⇔
2
3332
3
k
xyzzyx
x
bca −++
=
−
(1)
Tương tự ta có :
2
3332
3
k
xyzzyx
y
cab −++
=

12
7
<< A
Hướng dẫn:
Trước hết ta biến đổi A thành
100
1

53
1
52
1
51
1
++++
. Do đó:
A=






++++







76
1
>>>
A>
12
7
4
1
3
1
25.
100
1
25.
75
1
=+=+
A<
6
5
3
1
2
1
25.
73
1
25.
50
1

9
1

4
1
3
1
2
1
++++
. Chứng minh rằng:
9
8
5
2
<< S
Hướng dẫn:
a) Ta có:
( ) ( )
2
1
.
1
1.
1
1.
1
1
11
b

b
bb
1
1
11
1
11
2
−
−
<<
+
−
Ta có
2
1
1
1
2
1
3
1
2
1
2
−<<−

3
1
2

1
2
1
−<<− S

Vậy :
9
8
5
2
<< S

BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
14. Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì

9
111
≥++
cba
(THI HSG TP.HCM 1988-1989 VÒNG 2)
Hướng dẫn:
Ta có:

( )
b
c
a
c
c





++






++=
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
⇒
9
111
≥++
cba
15. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn bất đẳng thức:

∈N , (x+4)
2
∈N , 4(y-3)
2
∈N
⇒(3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
∈N
⇒(3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
=0 (1 ) hoặc (3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
=1 (2 )
Ta có:
(1) ⇔













=−
=+
=+





=−
=+
=+
03
14
043
03
04
143
2
2
y
x