TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b
b) a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
c) a
3
+b
3
≥ ab(a+b)
d) a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3

2
+1≥ ab+a+b với mọi a,b
b) a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
⇔ a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
-a(b+c+d+e)≥ 0
⇔
0
4444
2
2
2



+−+








+− eae
a
dad
a
cac
a
bab
a
⇔
0
2222
2222
≥







2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
c) a
3
+b
3
≥ ab(a+b) ⇔ a
3
+b
3
- ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)
2
(a
2
-2ab+b
2
) ≥ 0
⇔ (a+b)
2
(a-b)
2
≥ 0

) ≥ 0 ⇔ (a- b )
2
( a
2
+ab+ b
2
) ≥ 0
⇔ (a- b )
2









+






+
4
3
2
2

Hướng dẫn:
a) (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
⇔ 2(a+b+c)
2
≥ 6(ab+bc+ca)
⇔ 2a
2
+2b
2
+2c
2
+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0
⇔ (a-b)
2
+(a-c)
2
+(b-c)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2

+(c-ab)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng:
a
4
+b
4
≥ a
3
+b
3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng:
a
4

0
4
3
2
2
2
≥








+






+ b
b
a
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =
2
1
b) a
4

24
3
24
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥








+









+− a
a
cacc
c
bcbb
b
aba
4. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng:

21 <
+
+
+
+
+
<
ca
c
cb
b
ba
a
Hướng dẫn:
Do a,b,c> 0 nên:
( )
( ) ( )a a b ac a a b a b c a a b< + ⇒ + + < + + +

( ) ( ) ( )

a
++
+
<
+
<
++
(1)

cba
ba
cb
b
cba
b
++
+
<
+
<
++
(2)

cba
cb
ca
c
cba
c
++

<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Hướng dẫn:
Ta có :

ca
a
cba
a
dcba
a
+
<
++
<
+++
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
db
a
dcb
b
dcba

+
+
+
c)
cabcab
a
c
c
b
b
a
++≥++
333
Hướng dẫn:

a)
c
b
a
a
b
c
b
ac
a
bc
2≥




ab +
≤
+
,
4
cb
cb
bc +
≤
+
,
4
ac
ac
ca +
≤
+
,
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
c) Ta có: a
3
+b
3
≥ ab(a+b) với a,b>0
⇒
( )
baab
b
a
+≥+

+≥+
2
2
2
2
b.
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
222
c.
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+




+−








+
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a






−=+






+−








+
a
b
b
a
a
b
b
a

c
2
2
≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh
c. Xét :

( ) ( ) ( )
( )
a
cb
cba
cb
cbacb
cb
a
=
+
+
≥
+
++
=
+
+
+ 4
4
)(4
2
4

Hướng dẫn:
a+b+c=2 ⇒2-a=b+c
⇒(2-a)
2
=(b+c)
2
≥ 4bc =4[1-a(b+c)]=4[1-a(2-a)]
⇒(2-a)
2
≥ 4(a-1)
2
⇒ a(3a-4)≤ 0 ⇒0≤ a ≤
3
4

Làm tương tự cho b và c.
9. Cho a, b,c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả mãn a+b+c=0.
Chứng minh : a
2
+b
2
+c
2
≤
6
Hướng dẫn:
Ta có -1
≤
a,b,c
≤

(a+b+c)+6=6
Vậy a
2
+b
2
+c
2
≤
6
10. Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+b+c=1
Chứng minh : b+c≥ 16abc
Hướng dẫn:
Cách 1: b+c≥ 16abc ⇔ b+c≥ 16bc(1-b-c)
⇔b+c≥ 16bc-16b
2
c-16bc
2
⇔16b
2
c+16bc
2
-16bc+b+c≥ 0
⇔ c(16b
2
-8b+1)+b(16c
2
-8c+1) ≥ 0
⇔ c(4b-1)
2
+b(4c-1)