Hỡnh hc khụng gian 11. Quan h vuụng gúc.
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi O là trọng tâm của tam giác BCD.
CMR:
( )
BCDAO
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh SA
vuông góc với mp(ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SC, SD.
a) CMR:
( ) ( ) ( )
SACmpBDSADmpCDSABmpBC ,,
b) CMR:
( )
AHKmpSC
và điểm I cũng thuộc mp(AHK).
c) Chứng minh:
( )
SACmpHK
. Từ đó suy ra:
AIHK
Bài 3. Cho tứ diện SABC có:
( )
ABCSA
. Gọi H, K lần lợt là trực tâm của các tam
giác ABC, SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng qui.
b)
( )
BHKSC
c) HK
( )

BD

.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA
( )
ABCDSA
và đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và D, với
2
AB
DCAD ==
. Gọi I là trung điểm của AB. a)Chng
minh
SCDISB, CI
.
b)Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp S.ABCD l nhng tam giỏc vuụng.
Bi 7. Cho t din ABCD cú
( )
BCDAB
, trong tam giỏc BCD, v cỏc ng cao BE
v DF ct nhau ti O. Trong mp( ADC), v
ACDK

ti K.
a) Chng minh
( ) ( )
ABEADC
,
( ) ( )
DFKADC

Bài 9. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính góc
giữa hai đường thẳng AB và CD. Biết AB = CD = 2a;
3aMN =
.
Bài 10. Cho tứ diện đều ABCD, có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính
( )
DMAB,
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính
( )
AGCD,
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạn bằng a, SC = a và
( )
ABCSC ⊥
. Tính ( SA, SC).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB= a.
( )
ABCDSA ⊥
,
SA= a. Tính ( SB, CD).
Bài 13. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của AB. Trên đường
thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H, lấy S sao cho
2
3a
SH =
. Tính (SD, AC).
Bài 14. Cho tam giác vuông cân ABC, cạnh huyền
22=AB
. Trên đường vuông góc
với mp(ABC) tại C, lấy điểm S sao cho: SC=1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC

3a
. SA
( )
2
,
a
SAABC =⊥
. Gọi
M là trung điểm của AB. Tính góc giữa mp(SMC) và mp(ABC).
Bài 22. Cho hình hộp đứng
1111
. DCBAABCD
, có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,
góc a bằng
0
30
, cạnh
2
3
A
1
a
A =
. Tính góc giữa
( )
11
BDCA
và ( ABCD).
Bài tập 42, 43,45, 50. SBT. Trang 122, 123.
2

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’
c) Tính cotang của góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC).
Bài 28. Cho hình lăng trụ tam giác đều
'''. CBAABC
có cạnh đáy bằng a, cạnh
2
2a
A'=A
. Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a) Chứng minh
( )
O'COAB ⊥
b) Tính d(AB, B’C).
Bài 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Biết AB= a và góc giữa mặt bên và mặt
đáy bằng
0
60
. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Bài 30. Cho hình chóp O.ABC có
( )
ABCOA ⊥
và OA=4, OB=7, BC=5, CA=8. Tính
( )
BCOd ,
.
Các bài tập
6358 →
. SBT. Trang 162.
3
Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc.

( )
2
2
;
a
SAABCSA =⊥
. Tính góc giữa (SBC) và (SAC).
ĐH KB. 2003.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD
bằng
0
60
. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh
rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Háy tính AA’ theo a để tứ giác
B’MDN là hình vuông.
HVCTQG 2001.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
( )
ABCSA ⊥
. Đặt
SA= h.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvvà H là trực tâm tam
giác SBC. Chứng minh
SCOH ⊥
HVCNBCVT 2001.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ =a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Gọi M là điểm trên đoạn AD sao cho
.3=

c) Xác định vị trí của B trên (C) sao cho tổng diện tích hai tam giác SAB và CAB
lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
CĐSP NTMGTW I.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc đoạn AB.
a) Đặt AM = m,
( )
am ;0∈
. Tìm giá trị của m theo a để góc giữa hai đường thẳng
DM và AC’ bằng
0
60

b) Khi M là trung điểm của AB, hãy tính diện tích thiết diện của hình lập phương
cắt bởi mp (B’DM).
ĐH Đà Lạt 2000.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
( )
ABCDSA ⊥
, AB=a, AD= b,
SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện
là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy.
ĐH Huế 2000.
Cho tứ diện SABC có
ABC
∆
vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a và
( )
ABCSA ⊥
.

HVQHQT KD. 2000.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với các cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của các cạnh A’D’, D’C’, C’C, AA’.
a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi
tứ giác MNPQ theo a.
b) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a.
ĐH KD. 2007. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc BAC = góc BAD =
0
90
. BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và
.2aSA =
Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a
khoảng cách từ H đến mp(SCD).
6