Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT – PHÂN DẠNG BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
Phương pháp :
* Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
- Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P).
- Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) .
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau .
- Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia .
- Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình
học phẳng .
2. Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước .
Cho khối đa diện (H) , ta tìm thiết diện của (H) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với
một đường thẳng d cho trước .
- Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc với d thì :
(P) // a (hay chứa a)
(P) // b (hay chứa b)
Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên .
- Dựng mặt phẳng (P) như sau :
Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d , trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M .
mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) .
Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học .
Đường vuông góc và đường xiên .
1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước .
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp :
Thực hiện các bước sau :
*Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ
dựng ).

HM d⊥
- Trong mặt phẳng (P),
·
1HMO v=
nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P)
4. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động .
Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động
luôn chứa một đường thẳng d cố định .
Phương pháp :
- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d
- Tìm
( ) ( )c P Q= ∩
- Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) .
Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q),
·
1AHE v=
nên H thuộc đường tròn đường kính AE .
5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng
Cách xác định góc giữa a và (P) .
Phương pháp : - Tìm giao điểm O của a với (P)
- Chọn điểm
A a∈
và dựng
( ),( ( ))AH P H P⊥ ∈
khi đó
·
·
AOH ( ,( ))a P=

Mặt phẳng vuông góc

hai mt phng.
4. Cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch: Khong cỏch T mt im n mt ng thng, n mt mt
phng. Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau v cỏch loi khong cỏch quy v dng trờn.
5. Bi toỏn dng thit din, tớnh din tớch thi din.
6. Mt phng trung trc, trc ng trũn, tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp v lng tr.
7. Cỏc hỡnh a din c bit v tớnh cht ca nú.
B. BI TP:
Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng:
1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a) Chứng minh BC

(SAB)
b) Gọi AH là đờng cao của

SAB. Chứng minh: AH

(SBC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC.
Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO

(ABCD)
b) IJ

(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA

(ABCD). Gọi H, I, K
lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
c) Chứng minh rằng: CD

2222
1111
OCOBOAOH
++=
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC
=
2a
. Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
.a Chứng minh: SH

(ABCD)
.b Chứng minh: AC

SK và CK

SD
7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R). CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I. Trên đ-
ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm
của D trên (O). Chứng minh rằng:
a. Tam giác SDE vuông ở S
b. SD

CE c) Tam giác SCD vuông.
An Vn Long THPT Trn Hng o page 3
Quan H Vuụng Gúc Trong Khụng Gian
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng cao
BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD
a. Chứng minh: AB


Chứng minh AC

BD và 2 tam giác ABC và ADC đối xứng với nhau qua mp(SAC)
11.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn
SD =
6
2
a
vuông góc với (ABC). Chứng minh:
a. Mặt phẳng (SAB)

(SAC)
b. Mặt phẳng (SBC)

(SAD)
12.Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD =
2
3
a
. Trên đờng thẳng vuông góc
với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB=a.
a. Chứng minh tam giác ASC vuông
b. Chứng minh: (SAB)

(SAD)
13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a, b, x, y để:
a. (ABC)

(BCD)

Tính góc giữa AB và CI (cos

=
3
6
)
17.Cho hình lập phơng ABCD.ABCD
a) Tính góc giữa: AB và BC; AC và CD (60
0
và 90
0
)
b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CD. Hãy tính góc giữa: MN và CD; BD và
AD; AP và DN. (60
0
, 45
0
, 90
0
)
Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng:
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA =
6a
vuông góc với đáy. Tính góc
của:
a) SC với (ABCD) (60
0
)
b) SC với (SAB)
7

3 6
;sin
2 4
a


=
ữ

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ)

(ABCD).
Tính góc hợp bởi SI với (SDC)
2
tan
3


=
ữ

20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi M,
N lần lợt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60
0
a) Tính MN, SO
10 30
;
2 2
a a
MN SO


23. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy là 60
0
và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2)
b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan

= 3)
c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy
( )
tan 2 3

=
An Vn Long THPT Trn Hng o page 5