Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 1

NHỮNG SAI SÓT THƯỜNG GẶP TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC LỚP 10
Tổ Toán- Tin THPT Nguyễn Hiền

Trong giảng dạy ở bất kỳ loại lớp nào cũng có những sai sót của học sinh. Mức độ sai sót
tùy thuộc vào trình độ của đối tượng học sinh lớp đó. Có những sai sót rất ngô nghê, nhưng cũng
có những sai sót không dễ gì phát hiện được nếu ta không nắm vững kiến thức ở lĩnh vực đó.
Trong quá trình giảng dạy hình học lớp 10,chúng tôi thường gặp một số sai sót của học
sinh. Nhận diện rõ những sai lầm của học sinh, “ bắt mạch” tìm nguyên nhân của sai sót đó để có
hướng “ điều trị ” thích hợp nhằm giúp học sinh tránh sai sót, đó cũng là nhiệm vụ quan trọng của
người giáo viên trong giảng dạy.
Với quan điểm cùng nhau học hỏi, góp ý trao đổi những kinh nghiệm với nhau để góp
phần phục vụ tốt cho sự nghiệp giảng dạy của chúng ta, tổ Toán Tin trường Nguyễn Hiền cũng
góp phần chía sẻ một số kinh nghiệm như sau:
Trong Toán học, đúng chỉ có một, nhưng cái sai thì vô vàn. Mỗi sai sót đều có nguyên
nhân của nó, chúng tôi tạm chia các sai sót ra làm 3 loại như sau:
1/ Sai lầm trong ghi chép, tính toán.
2/ Sai lầm trong sử dụng định nghĩa, công thức , tính toán.
3/ Sai lầm do không nắm vững bản chất của kiến thức thuộc vấn đề đó.
(Chúng tôi loại bỏ đối tượng lười học, không chịu học, quay cóp trong làm bài nên sai
sót. Đây là loại chúng ta không nói đến. đối tượng này phổ biến ở các lớp hệ bán công trước đây)
I/ Sai lầm do ghi chép và tính toán:
Khi đọc bài làm của học sinh ta thường bắt gặp những lỗi ghi sai so với đề bài, ghi chép
cẩu thả, dòng trên ghi đúng, dòng dưới ghi sai. Tính toán không cẩn thận ví dụ như 3
2
= 6; ….
Đối tượng thường vấp những sai lầm này là những học sinh tiếp thu nhanh nhưng không
cẩn thận, chủ quan, một số sai sót như:
 Ghi véc tơ nhiều khi thiếu dấu mũi tên, véc tơ không chỉ ghi số 0

+ Cho học sinh trình bày trên bảng, giáo viên cho cả lớp nhận xét sửa sai.
+ Giáo viên thường xuyên nhắc nhở học sinh cẩn thận kiểm tra bài làm,phân tích những
chỗ sai lầm của học sinh.
II/ Sai lầm khi dùng định nghĩa, công thức , định lý:
Một số học sinh không nắm vững định nghĩa, công thức, định lý nên đã sai lầm trong giải
toán, mặc dù hướng giải bài toán đã được xác định. Một số sai lầm thường thấy:
 Hai véc tơ bằng nhau, chỉ chú ý đến độ dài, quên yếu tố cùng hướng. Ví dụ như cho
ΔABC đều ta có
AB BC CA
 
  
.(Giáo viên cho học sinh nhắc lại định nghĩa hai vec tơ bằng
nhau)

( H 1)
A
B

C

C
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 2
 Góc giữa hai véc tơ, học sinh thường quên yếu tố cùng gốc. Ví dụ như cho Δ ABC đều  Sử dụng sai độ dài véc tơ tổng vec tơ hiệu
| | | | | |
a b a b
  
   
;
| | | | | |
a b a b
  
   

;
a b
 

III/ Sai lầm do nắm không vững bản chất của vấn đề.
Có những vấn đề, bài toán mà khi giải học sinh đi theo đường mòn nên dễ sai lầm khi gặp trường
hợp cá biệt
a/ Sai lầm do bệnh máy móc rập khuông.
Ví dụ1: Khi gặp bài toán: “ trong mặt phẳng cho 2 điểm A; B nằm cùng phía với đường
thẳng (d), tìm điểm M  (d) sao cho MA + MB ngắn nhất ”. Học sinh đã giải: lấy điểm A’ đối
xứng với A qua (d), gọi M  (d), ta có MA = MA’ nên MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B , do đó
MA + MB ngắn nhất khi A’, M và B thẳng hàng, hay M là giao điểm của A’B và (d) ( H3a)
d
d
M M

 
,
C
A
B
( H.2
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 3
mà
(3;6)
AB 

và
( 3; 9)
D D
CD x y
  

, do đó
AB DC

 



3 3 6
9 6 15
D D
D D
x x

2
+ ( y + 1)
2
= 9, viết phương trình tiếp
tuyến của ( C) đi qua điểm M( 5; 4)
Học sinh đã trình bày:
Đường tròn ( C) có tâm I(2 ; 1) và bán kính R = 3
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (Δ ) qua điểm M, thì phương trình của ( Δ ) có dạng:
y = k(x  5) + 4

kx y  5k + 4 = 0
Điều kiện cần và đủ để ( Δ ) tiếp xúc với ( C) là d( I; ( Δ ) ) = R


2
| .2 1 5 4|
3
1
k k
k
  




( 3k + 5)
2
= 9(k
2
+ 1)

a b
  




(3a 5b)
2
= 9( a
2
+ b
2
)

b = 0 hoặc 15a + 8b = 0
ta được 2 tiếp tuyến là ( Δ
1
) x = 5 và ( Δ
2
): 8x 15y + 100 = 0 y
x
O
I
A
M

( H4a)

2


A = 45
0
.
Nguyên nhân sai lầm: Học sinh ngộ nhận chân đường cao H nằm giữa B và C, sót
trường hợp H nằm ngoài B và C. Khi đó BC = 2 và cosA =
7
5 2
và A

8
0
7’48’’. A
B
C
A
B C
H
H

(H 4b)
Ví dụ 5: Cho ΔABC cân tại A, cạnh đáy BC = 6, bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 5.
Tính độ dài cạnh bên ?
Tóm tắt lời giải của học sinh:
Sử dụng đinh lý Sin cho Δ ABC ta có:


 AB
2
= 90 => AB =
3. 10

 Nguyên nhân sai lầm: Có 2 giá trị của góc A có giá trị sinA = 3/5, đó là 2 góc bù
nhau, nên lời giải trên còn sót trường hợp cosA = 
4
5
, khi đó AB =
10

c/ Sai lầm do không kiểm tra lại yếu tố của đề cho
Ví dụ 5: ( Đ H Thương mại 1991)-Trong mpOxy cho ΔABC có A( 2 ; 1) phân giác
trong góc B có phtrình (d
1
): x  2y +1 = 0,
Phân giác trong góc C có phương trình(d
2
): x + y + 3 = 0, viết phương trình cạnh BC.
Học sinh đã trình bày( tóm tắt)
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua phân giác góc B, ta tìm được A
1
( 0; 3)
Gọi A
2
là điểm đối xứng của A qua phân giác góc C, ta tìm được A

(H5b)
(H5a)
B
C
A2
A
A(2;-1)
A2
B
C
A1
A1

Ví dụ 6: Trong mpOxy cho Δ ABC có đỉnh B( 2; 1), đường cao AH và phân giác trong
góc C có phương trình lần lượt là: (d
1
) 3x  4y +27 = 0 và (d
2
): x + 2y  5 = 0. Viết phương
trình các cạnh Δ ABC.
Tóm tắt lời giải của học sinh:
Cạnh BC qua B( 2; 1) và vuông góc với AH nên có phương trình: 4x + 3y 5 = 0
Ta có C = BC  (d
2
) nên tọa độ điểm C( 1; 3)
Ta gọi B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác (d
2
) nên B’ nằm trên AC. Ta tìm được
B’(4; 3), khi đó phương trình cạnh AC là: y 3 = 0
A = AC  AH => tọa độ A( 5; 3) , phương trình cạnh AB: 4x + 7y 1 = 0 ( H6a)

phải làm cho học sinh thấy rõ bản chất của vấn đề khi giảng dạy lý thuyết . Đồng thời chú ý
những trường hợp đặc biệt của các vấn đề, các định lý, các công thức

Cho học sinh tập phân tích mổ xẽ các lời giải của bạn, tìm các sai sót. Nếu làm như vậy
học sinh trình bày bài làm khá chặt chẽ, ít sai sót.
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 6

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢNG DẠY MÔN ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11
Tổ Toán – Tin THPT Trần Đại Nghĩa

1.Một ví dụ về khái niệm Cung lượng giác. Nhiều học sinh sai lầm khi cho rằng, độ và radian là
hai đơn vị giống nhau nên viết
0
x 30 k2
  
hoặc
0
x k180
3

  ; hoặc x = arcsin2/3 +
k360
0
. Do vậy khi dạy khái niệm đơn vị đo góc và cung, giáo viên cần phải: nhấn mạnh hai đơn vị
đo “độ và radian” là khác nhau, chỉ dùng một trong hai đơn vị trong cùng một biểu thức, đồng thời
số đo cung và độ dài cung là khác nhau, lấy ví dụ để học sinh phân biệt.
Giải phương trình: tg3x = tg5x.
Lời giải:
Ta có

3x l
x l
2
6 3
x m m Z


  



 
   
 

 
  
 
 



   Ví dụ 2.3.Giải hệ
0
x y 45
tgx tgy 1
 




 


Do đó, tgx, tgy là nghiệm phương trình: t
2
– t = 0
t 0
t 1







Trường hợp 1:
 
x k
tgx 0
k,n Z
tgy 1
y n
4
 




 


Bình luận:
Lời giải trên có hai sai lầm:
Trước hết cho rằng
0
x y 45 tg(x y) 1
    
. Thật ra
0
x y 45 tg(x y) 1
    
. Sai lầm này dẫn đến nghiệm ngoại lai.
Cuối cùng, x, y trong hệ ở đề bài có đơn vị đo là độ. Nhưng trong lời giải tính x, y
theo đơn vị đo radian.
Lời giải đúng là:
Ta có y = 45
0
– x, nên
tgx + tg(45
0
– x ) = 1
Đặt t = tgx thì ta có phương trình:
2
t 1
t 0
1 t
t 1
t 1


0 0
x 45 k.180 k Z
0
do ®ã y = -k.180
   
2.Cách bố trí các phương pháp và dạng bài tập về phương trình lượng giác của SGK chương
trình cơ bản còn hạn hẹp, còn thiếu các dạng bài tập về sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác đưa về dạng tích. Trong khi đó các bài tập trong các đề thi Đại học, Cao đẳng thì thường có
các bài tập dạng này. Điều này gây thiệt thòi cho các học sinh học chương trình cơ bản.
3.Trong chương Đại số tổ hợp nên đưa bài Nhị thức Niu Tơn về cuối chương để kiến thức về
Tổ hợp-Xác xuất được liên tục.
4.Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí.
Ví dụ 01: Tìm giới hạn
I =


n
n 1
1 2
lim sin sin sin
n n n n

 
 
 
  
 
 
 


.
Nên I = 0 + 0 + + 0 = 0
(!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu
hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn.
Lời giải đúng là: Đặt


n
n 1
1 2
A sin sin sin
n n n n
 
 
 
   
 
 
 
,
ta có:
2nA
n
sin
2n






 
n 1
2n

Nên


 
n n
n n
n 1
2 sin
n 1
2 2 2
2 n 2 n
A lim A lim . .sin .1.sin
2 n 2
2 n.sin sin
2 n 2 n
  
 

 

    
 
  
,
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.

3
1
u
3



dãy


n
u
là không tăng,
không giảm.
(!): Ta thấy rằng định lí Weierstrass về sự hội tụ của dãy đơn điệu và bị chặn có giới hạn
chỉ là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần. Bài toán được giải như sau:
Vì 0


n
2 ( 1) 3
n n
 


*
n N
 
và
n

18 11 12 13
41811
C C C C   

thỏa:
1a: Tam giác ABC đều và H là trọng tâm CMR: SA=SB=SC.
1b: AM,BN,CP lần lượt là ba dường cao,H là trực tâm và ba tam giác SAM,SBN,SCP
vuông tại S .CMR: SA,SB,SC đôi mọt vuông góc với nhau.
1c: H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .CMR SA,SB,SC tạo với đáy những góc
bằng nhau.
1d :H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.CMR: Các mặt bên

Vấn đề 2: sai sót: Không xác định các yếu tố liên quan đến thiết diện khi cắt bởi mặt
phẳng qua các đường sinh của mặt trụ,nón ,cầu tạo ra.Ví dụ:
2a: Cho hính nón đỉnh S đáy là đường tròn tâm O .Một thiết diện qua hai đường sinh.Hãy
xác định hình chiếu của O đến thiết diện.
2b: Cho hình trụ tâm O và
'
O
.Một thiết diện qua hai đường sinh .Hãy xác định hình chiếu
của O đến thiết diện.
2c: Cho hình cầu tâm O, A là điểm thuộc mặt cầu .Một thiết diện của mặt cầu qua A
không qua O .Hãy xác định hình chiếu của O đền thiết diện.
Khắc phục: Ta giải quyết bài toán bằng cách xem trụ, nón, cầu do hình chữ nhật, tam giác
vuông , nửa đường tròn quay thích hợp tạo ra tức là qui về các bài toán sau.
2a Cho hình chóp S.OAB ,SO là đường cao, đáy là tam giác cân tại O.Xác định chân
đường cao kẻ từ O.
2b Cho lăng trụ đứng
OABBAO .
///
,đáy là tam giác cân tại O .Xác định hình chiếu của O
xuống mặt bên
AB
B

Vấn đề 4: sai sót: Không lập được pt mặt cầu ,mặt phẳng, đường thẳng do không nắm
được định nghĩa gốc.
Ví dụ : Lập pt Mặt cầu biết tâm và bán kính,pt mặt phẳng biết qua điểm M và có VTPT,pt
đường thẳng qua M và có VTCP.
Khắc phục: Ngoài việc cho HS nhớ thuộc lòng công thức ta còn nhấn mạnh các pt đó các
pt đó công thức khoảng cách,tích vô hướng và tích véc tơ với một số .Một số trong chúng xuất
phát từ tiên đề nên việc hình thành không mang tính tự nhiên ,do vậy ta cần củng cố liên tục.

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 10
Vấn đề 5: sai sót: không xác được hệ phương trình tương ứng khi giải bài toán tương giao
giữa các đối tượng và lúng túng khi sử dụng các kí hiệu trong pt tổng quát, tham số ,chính tắc.
Ví dụ :Từ hai pt tham số của hai đường thẳng xét vị trí tương đối của chúng.
Khắc phục:Ta cho học sinh thấy bản chất xuất phát các điều sau
5a/
21
ddA  vàdA
1

2
dA
nên tọa độ A là nghiệm của hệ tạo bởi pt tham số của
21
vàdd

5b/ giải hệ ,nếu hệ vô nghiệm thì tiếp tục xét quan hệ các véc tơ chỉ phương trên cơ sở
nắm ý nghĩa đằng sau các kí hiệu.
Trên đây là những vấn đề mang tính chủ quan của chúng tôi nên có nhiều sai sót ,rất mong quí
đồng nghiệp góp ý.



Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 11

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tổ Toán – Tin THPT Nông Sơn Hình học giải tích không gian được giới thiệu ở chương trình hình học lớp 12 - THPT qua
ba bài học:
§1 - Hệ toạ độ trong không gian.
§2 - Phương trình mặt phẳng.
§3 - Phương trình đường thẳng.
Yêu cầu về chuẩn kiên thức đối với học sinh:
- Biết các khái niệm hệ toạ độ trong không gian, toạ độ vectơ, toạ độ điểm, biểu
thức toạ độ các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm.
- Biết khái niệm tích vectơ và ứng dụng của tích vectơ.
- Biết phương trình mặt cầu.

- Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng.
- Bài toán 3: Viết phương trình mặt cầu.
- Bài toán 4: Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện cho trước.
Trong báo cáo lần này xin được trình bày hai bài toán 1 và bài toán 2.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
I. TOẠ ĐỘ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

1) ĐN:
kzjyixazyxa  );;(

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 12
2) Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ:




1 2 3 1 2 3
a ; ; ,b ; ;
Cho a a a b b b
 
 

 
 
1 1
2 2
3 3
1 1 2 2 3 3

  

1 1
1 2 3
2 2
1 2 3
3 3
. ( )
a kb
a a a
a k b k R a kb
b b b
a kb



       




 
(b
1
b
2
b
3
≠ 0)
1 1 2 2 3 3
3) Tích có hướng hai vectơ:
a. Định nghĩa: Cho 2 vectơ
 
 
1 2 3
1 2 3
a ; ;
b ; ;
a a a
b b b









. Tích có hướng hai vectơ trên là một vectơ,
KH:
[a, ]
b
 
, được xác định:
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2

3i)
[a, ] a b sin(a;b)
b 
     
.
4i) Ba vectơ
, ,
a b c
  
đồng phẳng khi chỉ khi:
[a, ]. 0
b c

  

c. Ứng dụng của tích có hướng:
1) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2) Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng.
3) Diện tích hình bình hành ABCD: S =

AC],[AB

; S
ABC
=
2
1

AC],[AB
4) Thể tích hình hộp :


B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB AB x x y y z z
   
      



Lưu ý:
- Trung điểm đoạn thẳng AB:
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
  

- Trọng tâm tam giác ABC:
( ; ; )
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
     

- Cho M(x;y;z), khi đó, toạ độ các điểm là hình chiếu của M trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz,
trên các mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, 0xz lần lượt là: (x;0;0), (0;y;0), (0;0;z), (x;y;0), (0;y;z),
(x;0;z).

; b
2
; b
3
). Khi đó:
,
n a b
 

 
  
là một véctơ pháp tuyến
của mp(). Hai véctơ nêu trên được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp().
3) Phương trình mp(): Phương trình mp() qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C):
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
) = 0

2
z+D
2
=0
°
 
 
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) : : : :
caét A B C A B C

°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) // ( )
 
   
A B C D
A B C D

°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
 
    
A B C D
A B C D

°

1 2
1 2
.
cos .
.
n n
n n


 
 

1 2
,
n n
 
lần lượt là vtpt của
( ),( )
 
.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
2) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

2 3
o o
1
z -z
x x y y
d
a a a
(a
1
a
2
a
3
≠ 0)
4)Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho hai đường thẳng d
1
qua M có vtcp
a

và đường
thẳng d
2
qua N có vtcp
b

. Khi đó:
- d
1
trùng d
2

,
a b
 
không cùng phương và
a

,
b

,
MN

đồng phẳng.
- d
1
chéo d
2
khi chỉ khi
a

,
b

,
MN

không đồng phẳng.
5)Khoảng cách :
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng: Cho điểm A và đường thẳng d đi qua M, có
vtcp

d
a b
 
 

 
 
  
 

6)Góc :
a) Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi  là góc giữa d và d
’

/
/
.
.
d
d
d
d
a a
a a







1. Phương trình mặt cầu:
 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= R
2
. (1)
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 15
 Phương trình dạng: x
2
+y
2
+z
2
+2ax+2by+2cz+d = 0 với
   
2 2 2
a b c d 0
là phương trình
mặt cầu tâm I(-a ; -b ; -c) và bán kính
2 2 2
R
   
a b c d


B. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP:
BÀI TOÁN 1: Viết phương trình mặt phẳng.

Lưu ý 1: Thông thường viết phương trình mặt phẳng bằng hai cách sau:
Tìm một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vtpt:
n

(A;B;C) của mặt phẳng , khi đó phương trình
của mặt phẳng :
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
) = 0
Sử dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
  
, với abc

qua A và d.
Giải:
- Mặt phẳng () đi qua điểm B(1;-1;1) nằm trên d.
- M.phẳng () có cặp vtcp:
d
v

= (2; 1; 2) và
AB

= (0;-3;-2), một vtpt của () là [
d
v

,
AB

] =
(4;4;-6).
Phương trình của () : 4(x-1) +4(y+1) -6(z-1)=0. Hay: 2x+2y-3z+3 = 0.

Ví dụ 3: Cho A(1;2;3), đường thẳng d:
1
1 1
2 1 2

 
 
y
x z

4).
Phương trình của () : 3(x-1) +2(y-2) -4(z-3)=0. Hay: 3x+2y-4z+5 = 0.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng
( )

song song cách đều 2 đường thẳng chéo nhau:
1
2 2
: 3

x t
d y
z t
 







và
2
2 1
:
1 1 2
x y z
d
 

đi qua đường thẳng d:
1
1 1
2 1 2

 
 
y
x z
và
cách đều hai điểm A(1;2;3), B(-2;3;-3).
Giải: Nhận thấy d và AB là hai đường thẳng chéo nhau. Có đúng 2 mặt phẳng () thoả
yêu cầu bài toán:
Mặt phẳng () đi qua d và đi qua trung điểm I(-1/2;5/2;0) của AB. Phương trình ():
16x+2y-17z+3=0.
Mặt phẳng () đi qua d và song song với AB. Phương trình ():
8x-6y-5z-9=0.

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua P(0;-2;0), song song đường thẳng d:
1 3
1 1 4
x y z
 
 
và cách d một khoảng bằng 4.
Giải: - d đi qua M(1;3;0) có vtcp :
d

= 0 hay A+B+4C=0. (1)
- D(d;
( )

) = d(M;
( )

) = 4
2 2 2
5A B
A B C


 
= 4. (2) Từ (1) và (2) đi đến:
B
2
+10BC+16C
2
= 0. Nếu C=0 thì B=A=0 mâu thuẩn với A
2
+B
2
+C
2
>0 nên C≠0. Vì vậy,
phương trình trên tương đương:
2
2
10 16 0

- Gọi
n

(A;B;C) là vtpt của
( )

, khi đó: A
2
+B
2
+C
2
>0 và phương trình mặt phẳng
( )

: A(x-
1)+By+Cz = 0.
- Mặt phẳng
( )

qua N(0;0;1) nên: -A+C=0. (1)
- Mặt phẳng
( )

hợp với mặt phẳng () một góc  sao cho cos = 2/3 nên:
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 17
2 2 2
2
cos( ; ) 2 2 2

2
3
6
1 3
3
3
1
3
a
a
b
b
c
c





 
  
 
 






Phương trình mặt phẳng

  
và: m  = 1 + n . Từ đó xác định được m=3 và n=2 hoặc m = -4-
13
và n = 3+
13
. Đi đến kết luận: Có 2 mặt phẳng
( )

thoả YCBT mà phương trình
lần lượt là:
1
2 3 2
x y z
  
và
1
2
4 13 3 13
x y z
  
 Ví dụ10: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua A(10;2;-1), song song đường thẳng d:
1 1
2 1 3
x y z


thay đổi, khoảng cách này bằng AA
/
khi chỉ khi H trùng A. Khi đó
( )

là mặt
phẳng qua A vuông góc AA
/
.
Phương trình
( )

: 7(x-10) +(y-2) -5(z+1)=0. Hay: 7x+y-5z-77 = 0.

BÀI TOÁN 2: Viết phương trình đường thẳng.

Lưu ý: Thông thường viết phương trình đường thẳng bằng hai cách sau:
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 18
Tìm một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vtcp:
v


= (-4;6;-6) = -2(2;-3;3).
Phương trình đường thẳng AB:
1 2
1 3 (
4 3
R
 


   


 

x t
y t t )
z tVí dụ 2: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng
( )

: 2x-y+z+5=0 và
( )

: 2x-z+3=0.
Giải:
Cách 1: Gọi d là giao tuyến 2 mặt phẳng, ta có:
- d đi qua điểm M(0;8;3) là điểm chung của hai mặt phẳng


Cách 2: Gọi d là giao tuyến 2 mặt phẳng
( )

,
( )

.

M(x;y;x)

d ta có: 2x-y+z+5=0 và 2x-
z+3=0. Đặt x = t, từ hệ trên suy ra:
8 4
3 2



 


 

x t
y t
z t
Hệ này là phương trình tham số của d.
Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng qua A(0;1;-1), cắt và vuông góc đường
thẳng d:
1 4




 



x t
y t
z =-1+20t

Cách 2: Nhận thấy A

d. Gọi d
/
là đường thẳng thoả YCBT,
( )

là là mặt phẳng qua A vuông
góc d, phương trình
( )

: 4x-y-4z-3=0. Gọi H là hình chiếu của A trên d, khi đó: H =
( )
d


,
H(13/33;5/33;-13/33).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán

- Gọi
( )

là mặt phẳng qua A và d, phương trình
( )

: 4x+4y+3z-1=0.
Đường thẳng d
/
=
( ) ( )
 

; Phương trình đường thẳng d
/
:
13
1 28



 



x t
y t
z =-1+20t

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d

, phương trình đường thẳng d
/
:
62
25
 






x t
y t
z =-2-61t

Cách 1:
- Giao điểm của d và
( )

là M(0;0;-2).
- Hình chiếu vuông góc của N(12;9;1) trên
( )

là N
/
(186/35;-15/7;113/35).
phương trình đường thẳng d
/
là phương trình đường thẳng MN



x t
y t
z = 3-4t

Giải:
- Gọi B là giao điểm của d
/
và d, B(1+3t,-1+2t;3-4t).
. 0
AB n AB n
 
  
   
.
Suy ra t = 1 và B(4;1;-1)
- Phương trình đường thẳng d
/
là phương trình đường thẳng AB:
1 5
2
  


 



x t



,
d
v

]= (4;-1;-3)
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 20
Phương trình đường thẳng d
/
:
1 4
1
 


  



x t
y t
z=-3tVí dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d qua M(1;1;1) và cắt cả hai đường thẳng
d
1
:

MA

=(t-1;t-5;2-t) cùng phương
MB

=(-2k;-4+k;3-5k) nên:[
MA

;
MB

] =
0

. Suy ra t=3/19,
k=8/25 và A(3/19;-73/19;54/19)
Phương trình đường thẳng d là Phương trình đường thẳng AM:
1 16
1 92
 


 



x t
y t
z =1-35t



, d qua M và có vtcp [
n


,
n


] = (16;92;-35). Phương trình
đường thẳng d :
1 16
1 92
 


 



x t
y t
z =1-35t

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau:
d
1
:
1
5

.
Giải:
Cách 1:
- Ta có : vtcp của d
1
là:
u
1
=(2; 3; 1), vtcp của d
2
là :
u
2
= (3; 2; 2) và vtcp của d là
u
= [
u
1
,
u
2
] = (4; -1; -5).
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d
1
, vtpt của (P) là n
P
=[u
1
,u ]=14(-1; 1; -1) và
phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0


tz
ty
tx
5
3
2
1
4
3
22

Cách 2:
- Gọi A là điểm thuộc d
1
, B là điểm thuộc d
2
, khi đó: A(1+2t;-1+3t;5+t),
B(1+3k,-2+2k;-1+2k).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 21
- AB là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
khi chỉ khi:
1
2
. 0
. 0

3 3

- Phương trình đường thẳng AB:
6 4
4
3
7
5
3
x t
y t
z t


 


 



 

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của d là đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng d
1
:

1
cắt d
2
tại điểm I(3; 0; -1).
- Lấy A(1; -1; 0)

d
1
, B

d
2
sao cho IA = IB. Do B

d
2
nên toạ độ của
B(3-t; 2t; -1+t), IA = IB suy ra t = 1 hoặc t = -1 đi đến B(2; 2; 0) và B(4; -2; -2).
Với B(2; 2; 0), gọi K là trung điểm của AB, ta có K

= (
2
3
;
2
1
; 0) và đường phân giác
thứ nhất d đi qua I và K. Phương trình d:



 


 


 


Ví dụ10: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
3 2 1
2 1 1
x y z
  
 

và mặt phẳng
(P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng

nằm
trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới

bằng
42
.

Giải:
- Ta có toạ độ điểm M là (1;-3;0)
- VTPT của(P) là
(1;1;1)

MN

vuông góc với
u


, N

(P) và MN =
42
nên ta có hệ:
2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1) ( 3) 42
x y z
x y z
x y z

   

   


    

Giải hệ ta tìm được N(5; - 2; - 5) hoặc N(- 3; - 4; 5).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 22
- Với N(5; -2; -5), ta có phương trình


- 3
- 3
3
3
-1
-1
- 3
2
- 2
2
-1
2
0
1
2
2
2
1
3
2
1
-1
2
- 2
2
- 3
2
1
2
3

0
-

2

3

6

4

2( )
rad
0
6


4


3


2


0

tan


0
3
3

1
3

//

cot


//
3

1
3
3

0

2/Các hệ thức cơ bản:
2 2
sin x cos x 1


( nếu k nguyên chẳn)
sin(x+k xsin)



( nếu k nguyên lẽ)
cos(x+k xcos)


( nếu k nguyên chẳn)
cos(x+k xcos)



( nếu k nguyên lẽ)
tan(x+k xtan)


( k là số nguyên)
cot(x+k xcot)


( k là số nguyên)
4/Những công thức đặc biệt
sinx = 1


2
2



kx 
2
( k là số nguyên)
5/Công thức liên hệ giữa các cung:
*Hai cung đối nhau:
cos(-x) =cosx
(cos đối)
sin(-x) =-sinx

tan(-x) =-tanx

cot(-x) =-cotx

+Nhớ :
cos(a-b)=cos(b-a)
sin(a-b)=-sin(b-a)
tan(a-b)=-tan(b-a)
cot(a-b)=-cot(b-a)











*Nhớ kỹ
sin(
xx cos)
2


cos(
xx sin)
2



tan( xx cot)
2


cot( xx tan)
2



6/Công thức biến đổi cơ bản:
*công thức cộng
cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb

cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 25
*công thức nhân ba:
3
sin 3a 3sin a 4 sin a
 

3
cos3a 4cos a 3cosa
 

*công thức hạ bậc:
2
1 cos2a
cos a
2

 ;
2
1 cos2a
sin a
2

 ;
2
1 cos2a
tan a
1 cos2a



cosa - cosb = -2sin(
2
ba

)sin(
2
ba

)

sin(a+b)
tana+tanb=
cosa.cosb
sin(a-b)
tana-tanb=
cosa.cosb

*công thức biến đổi tích thành tổng
   
 
1
cosa.cosb= cos a-b cos a+b
2

   
 
1
sina.sinb= cos a-b cos a+b
2


3. PT thuần nhất bậc hai đối với sinu, cosu.
4. Phương trình đối xứng đối với sinu và cosu.
+ Phương trình tích các PTLG cơ bản, các PTLG thường gặp.
+ Hệ các PTLG: phần này ta thuờng sử dụng: “Đưa về tổng các bình phương, đánh giá hoặc dùng
bất đẳng thức …”. Các năm gần đây ít thấy ra dạng này nên tôi không giới thiệu trong chuyên đề
này.
Ngoài ra, ta còn sử dụng cách đặt ẩn số phụ hợp lí để đưa về phương trình theo ẩn phụ đó và giải
tìm nghiệm. 1/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
1/ sinx=sin

.2
( ) .2
x k
x k
 
  
 



  

( sin bù)
( Lưu ý: pt sinx=m có nghiệm khi:
1 1
m
  