Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9

Các bài toán rút gọnbiểu thức:
Bài 1: Cho biểu thức:
P =








+
+










+
1
1:
1
1
1

=x
Bài 3: Cho P =








+


x
x
xx
1
1
.









+
+







=
65
2
2
3
3
2
:
2
3
1
aa
a
a
a
a
a
a
a
P
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
1
1
:

M
(với
9,0 aa
)
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm giá trị của a để M = 4
3)Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10.
Tìm giá trị nguyên của M.
Bài 7: Cho biểu thức: A =
1
1
1
1
1

+

aa
a. Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.
Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức a là một số nguyên.
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
a.
yx
xy
yxy
y
xxy
x
A


a
a
Q
( Điều kiện:
)4;0 aa
a/ Rút gọn biểu thức Q.
b/ Tìm a để Q = 2.
Bài 10: Rút gọn biểu thức:









+
+








=
11
1

1
1a
1
:
1a
aa
1a2a
2a3a
P
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm a để:
1
8
1a
P
1

+

Bài 12: Cho biểu thức
4 3 2 4
:
2 2 2
x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ

Tìm toạ độ của tiếp điềm ?
2)Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (p) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
3)Trong trờng hợp đồ thị hàm số (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Gọi (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) là tọa độ hai điểm đó. Tính tỉ số:
21
21
xx
yy


Bài 2: Cho hàm số y = mx
2
a) Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -3x + 2 tại điểm M có hoành độ bằng 2 .
b) Với m tìm đợc ở câu a, chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số và đờng thẳng (d) có phơng trình y
= kx -1 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k. Gọi x
1
, x
2
tơng ứng là hoành
độ của A và B, chứng minh
21
xx

b, Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :
x
2
+ 2mx - 2m - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình (1) với m = -1
2.Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
3.Tìm nghiệm của phơng trình (1) khi tổng các bình phơng của hai nghiệm đó nhận giá trị
nhỏ nhất .
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai x
2
- x-3a -1 = 0 (ẩn x).
Tìm a để phơng trình nhận x = 1 là nghiệm .
Bài 4: Cho phơng trình x
2
+ (1 4a)x + 3a
2
+ a = 0 (x là ẩn, a là tham số)
1. Giải phơng trình với a = 2.
2. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
Bài 5: Cho phơng trình : 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
a. Giải phơng trình (1) với m = 2
b. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Tìm m sao cho phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x

1
2
+ x
2
2
+3x
1
x
2
(x
1
+x
2
).
Tìm giá trị của m để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho phơng trình
04)2(2
22
=+ nxnx

a/ Giải phơng trình khi n = 1.
b/ Tìm n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c/ Tìm n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 9: Cho phơng trình:
02)1(2
22
=+++ mxmx

Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm? Khi đó hãy tính theo m tổng các lập phơng hai
nghiệm của phơng trình.

Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến trớc ô tô thứ hai là
5
2
giờ. Tính
vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 7. Một khu vờn hình chữ nhật có diện tích 900m
2
và chu vi 122m. Tìm chiều dài và chiều rộng
của khu vờn.
v/ Các loại toán khác:
Bài 1: Giải phơng trình :
04444 =++ xxxx
với
8x
Bài 2: Tìm x,y nguyên thoả mãn phơng trình x + x
2
+ x
3
= 4y + 4y
2
Bài 3: Cho hệ phơng trình :



=++
=+
5)1(
5)1(
2
ymmx

=

+
+
4
3
2
1
3
5
3
1
1
2
yx
yx
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức
347324
++=
A
Bài 7: Cho hệ phơng trình



=++
=+
5)1(
5)1(
2
ymmx

a) CM: AMO = NMC
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng .
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A ; trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với A và C)
Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai là E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC
tại F (F không trùng với D). Chứng minh:
1.Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC
2. Tứ giác ABCF nội tiếp đợc đờng tròn
3. AC là tia phân giác của góc EAF
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O

Bài 3: Cho đờng tròn (O; R), điểm M nằm ngoài đờng tròn . Vẽ các tiếp tuyến MC, MD (C, D là các
tiếp điểm) và cát tuyến MAB đi qua tâm O của đờng tròn(A ở giữa M và B ).
a) Chứng minh : MC
2
= MA . MB
b) Gọi K là giao điểm của tia BD và tia CA . Chứng minh 4 điểm B, C, M, K nằm trên một đ-
ờng tròn .
c) Tính độ dài BK theo R khi CMD = 60
0
.
Bài 4: Từ điểm M ở ngoài đơng tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA đến đờng tròn. E là trung điểm AM; I,
H làn lợt là hình chiếu của E và A trên MO. Từ I vẽ tiếp tuyến MK với (O)
a. chứng minh rằng I nằm ngoài đờng tròn (O; R).
b. Qua M vẽ cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C ). Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp
Chứng minh HA là phân giác của góc BHC và tam giác MIK cân.
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9


= MH.MO



MBH

MOC



H
1
=

C
1


tứ giác BHOC nội tiếp.
b. Từ trên ta có

CHO =

B
1
=

C
1
= H

= ME
2
IE
2
= MI
2
(4)
Từ (3) và (4) suy ra IK = IM, vậy tam giác MIK cân tại I
Bài 5: Cho đờng tròn đờng kính AB ;trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A và C ; từ C kẻ đ-
ờng thẳng x vuông góc AB trên x lấy điểm D (D C) . Nối DA cắt đờng tròn tại M, nối BD cắt đờng
tròn tại N, nối CN cắt đờng tròn tại K.
1/ Chứng minh ADCN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn
2/ Chứng minh AC là phân giác của góc KAD
3/ Kéo dài MB cắt đờng thẳng x tại S. Chứng minh : 3 điểm S, A, N thẳng hàng
Bài 6:Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM =
AN.
1. Chứng minh BN = CM.
2. BN cắt CM tại I. Chứng minh AMIN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn.
3. Khi M và N thay đổi trên cạnh AB và AC (nhng ta luôn có BM = AN) thì I thay đổi trên đ-
ờng nào?
4. Giả sử
ABCNAM
3
2
==
. Tính góc AIC
Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC trong đoạn AC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm I đờng
kính AC. Gọi M là trung điểm của AB, từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AC. Nối D với C, DC cắt
đờng tròn tâm I tại F (F


Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9

a. Chứng minh ba điểm A, O
1
, O thẳng hàng và 3 điểm B, O
2
, O thẳng hàng
b. Chứng minh OO
1
.OB = OO
2
.OA
Đặt AB = c, AC= b, BC= a. Tính độ dài CD theo a, b, c.
Bài 10: Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy bằng 60
0
sao cho Ox cắt
cạnh AB tại M, Oy cắt cạnh AC tại N. Chứng minh rằng
a. Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy ra BC
2
= 4.BM.CN
b. MO là tia phân giác của góc BMN
Đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi góc xOy bàng 60
0
, quay quanh O
sao cho tia Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC theo thứ tự tại M và N.
Bài 11: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc
cung AD) sao cho CD = R. Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB ở M. Tiếp tuyến của (O;
R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt BD ở K
a. Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF vuông
b. Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD.