Chuyên đề: Hình học
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC
=
3a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a
thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
ĐS:
3
1
;cos
2 4
a
ϕ
=
.
( Trích đề thi ĐH 2008 – A).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3a
và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
ĐS:
3
3 5
;cos
3 5
a
ϕ
=

3
6
48
a
.
( Trích đề thi CĐ 2009)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = 2a. hình chiếu vuông góc
của S lên (ABC) là trung điểm E của AB, SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di
động trên tia đối của tia BA sao cho góc
·
( )
90
o
ECM
α α
= <
và H là hình chiếu vuông góc của S lên MC.
Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a,
α
và tìm
α
để thể tích đó lớn nhất. ĐS:
3
1
.sin 2
12
a
α
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – A).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần

;
1
2
7
13
V
V
=
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – D).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác
SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD). ĐS:
3
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – D).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN BD⊥
và tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ĐS:
2
4
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – B).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong
mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh
AM BP⊥
và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. ĐS:

( Trích đề dự bị 1 - 2007 – A).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa (SBC) và (ABC) là 60
o
; ABC và SBC là các tam giác đều cạnh
a. tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC). ĐS:
3a
13
( Trích đề dự bị 2 - 2007 – A).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
SA ⊥
đáy. Cho
, 2AB a SA a= =
. Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh
( )
SC AHK⊥
và tính thể tích khối chóp OAHK.
ĐS:
3
2a
27
.
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – B).
Bài 17. Trong mp (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao
cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy S sao cho góc giữa (SAB) và (SBC) là 60
o
. Gọi
H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích của
2
Chun đề: Hình học

.
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – D).
Bài 19. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA
1
.
Chứng minh
1
BM B C⊥
và tính
( )
1
,d BM B C
. ĐS:
a 30
10
.
( Trích đề dự bị 2 - 2007 – D).
Bài 20. Ch hình hộp đứng ABCD. A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a,
3
'
2
a
AA =
và
·
60
o

( Trích đề dự bị 2 - 2006 – A).
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
60
o
BAD =
,
SA
⊥
đáy, SA = a. Gọi
C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình
chóp lần lượt tại B’,D ’ . Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. ĐS:
3
3
18
a
.
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – B).
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa 2 mp (ABC) và ( A’BC). Tính tgα và thể tích khối chóp A’BB’C’C.
ĐS:
2 2
2 3
tan
b a
a
α
−
=
và

2
;
3 3
a a
.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – D).
Bài 26. Tính thể tích hình chóp S.ABC biết , SA = a SB = b SC = c,
·
·
60 , 90
o o
ASB BSC= =
,
·
120
o
CSA =
.
ĐS:
2
12
abc
.
Bài 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy = a, chiều cao = a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm
của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK.
ĐS:
29
8
a
.

a
.
( Trích đề thi ĐH 2009 – A).
Bài 31. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng
(ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vng tại C và
·
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên mặt
phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
ĐS:
3
9
208
a
.
(Trích đề thi ĐH 2009 – B).
Bài 32. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C
= 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ
diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). ĐS:
3
4
9
IABC
a
V =
; d(A,IBC)