Phương pháp tọa độ trong không gian

79

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian

1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
e ; e ; e
e e e 1
e e e e e e 0
x Ox y Oy z Oz x Ox
x Ox y Oy z Oz
′ ′ ′ ′
⊥ ⊥ ⊥



′ ′ ′
∈ ∈ ∈



= = =


⋅ = ⋅ = ⋅ =

A x y z
B x y z
C x y z






⇒
Trung điểm của AB có tọa độ là:
1 2 1 2 1 2
I , ,
2 2 2
x x y y z z
+ + +
 
 
 

Điểm chia AB tỉ số
k
là điểm thoả mãn
JA
k
JB
=




1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , e e e
, , e e e
a a a a a a a a
b b b b b b b b

= ⇔ = + +



= ⇔ = + +

  
 
  
 
.
Nếu
( )
( )
1 1 1
2 2 2
, ,
, ,
A x y z
B x y z




z
y

2
e


3
e
O

x
L
M
M’
K
H
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

80

IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI
1.

( )
cos ,a b a b a b

5.

( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b+ = + + + + +



6
.
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b− = − + − + −


;
7.

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
AB x x y y z z= − + − + −



sin ,
a b a b a b a b a b a b
a b
a a a b b b
− + − + −
=
+ + + +







V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ:
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , ; , , ; , ,a a a a b b b b c c c c
= = =

 

1. Định nghĩa:

[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a
a a

( )
2 2 2
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
sin ,
a a a a
a a
a b a b a b
b b b b b b
⋅ = + + = ⋅
  
  , ,a b c

 
đồng phẳng
⇔

[ ]
0
a b c
⋅ ⋅ =

 

VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH:

,
AD
V AB AD AA
′
 
′
= ⋅
 
hép
  

www.VNMATH.com
Phương pháp tọa độ trong không gian

81

BÀI TẬP
Bài 1.
Cho
( ) ( ) ( )
3; 4; 1 ; 2;0;3 ; 3; 5; 4
A B C− −
. Tìm độ dài các cạnh của
∆
ABC.
Tìm cosin của các góc A, B, C. Tìm diện tích
∆
ABC.
Bài 2.
Cho

Cho
( )
4;12; 3
d
= −

. Hãy phân tích vectơ
d

theo 3 vectơ
, ,a b c

 
.
Bài 5.
Cho
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;1 , 1;1; 2 , 1;1; 0 , 2; 1; 2
A B C D
− − − −
. CMR:
A
,
B
,
C
,
D
là 4
đỉnh của tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D.

, ,x y z

∈
(ABC).
Tìm hệ thức liên hệ giữa
, ,x y z
. Tìm trực tâm H của
∆
ABC.
Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.
Bài 8.
Cho tứ diện ABCD với
( ) ( ) ( ) ( )
;2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1;0 , 0; 1;2
A B C D− −
,
đường cao AH. Tìm tọa độ H và AH.
Bài 9.
Cho
( ) ( ) ( )
2; 2; 2 , 0; 3 2;3 2 , 2;3 2; 3 2
A B C− − + − +
.
CMR
∆
ABC vuông tại A. Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông.
Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO.
Bài 10.

Tìm tọa độ trực tâm của ABCD.
Bài 13.
Cho hình chóp SABC với
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 5; 0; 3 , 7; 2; 2
A B C−
,
( )
,
SA ABC S Oyz
⊥ ∈
. Tính tọa độ S.
Xác định tọa độ giao điểm của O
x
, O
y
với (ABC).
Bài 14.
Cho
( )
1; 2; 1
A
−
. Tìm B đối xứng với A qua
Oxy
, C đối xứng với A qua
trục O
z
. Tính
ABC

( )
0; 0;1
k

một góc nhọn.
Bài 16.
Cho
( ) ( )
1; 2; 1 , 4; 3; 5
A B−
. Xác định
Om x∈
sao cho M cách đều A, B.
Bài 17.
Cho
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1
A B C− − − −
.
Chứng minh:
A
,
B
,
C
không thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm
∆
ABC
Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
∆


. Tìm
c

biết
14, ,
c c a c b= ⊥ ⊥

   
,
c

tạo với
( )
0; 0;1
k

một góc tù.
Bài 21.
Cho
0
v
≠

. Gọi
, ,α β γ
là 3 góc tạo bởi
v

với