Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 1 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

b
c
a
A
B
C
HÌNH HỌC
ÔN TẬP :
1) Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Cho
ABC

vuông tại A , AH là đường cao . Ta có :


2
BC
AM 
( trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )
2) Các hệ thức lượng trong tam giác thường :
a) Định lí hàm số cosin :


2 2 2
2 cosa b c bc A  
2 2 2
2 cos
b a c ac B
  
2 2 2
2 cosc a b ab C  
2 2 2
cos
2
b c a

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
( R là bk đường tròn ngoại tiếp của
ABC
)

A
B
C
H

M
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 2 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi

a b c
ah bh ch 


1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ac B  


4
abc
S
R

,
.S p r


( )( )( )S p p a p b p c   
( Với
2
a b c
p
 

, r là bán kính đường tròn nội tiếp
ABC
)
c) công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác :


AM AN MN
k
AB AC BC
   

 Chú ý :
2
2
AMN
ABC
S
AM
k
s AB


 
 
 
 

4) Diện tích của đa giác :
a) Diện tích của tam giác vuông:
S =
1
2
tích hai cạnh góc vuông

ABC

2
3
4
a
S 

Chiều cao :
3
2
a
h 

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 3 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

B
e) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

1
2
S 
tích hai đường chéo
Tứ giác ABCD có hai đường chéo
vuông góc
AC BD
thì
1
.
2
S AC BD f) Diện tích hình thang :
S=
1
2
(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao


ứng minh
( )// ( )mp mp 

 Ch
ứng minh
( )

ch
ứa hai đường thẳng cắ
t nhau song song v
ới
( )


3/ Ch
ứng minh hai đường thẳng song song
: Áp d
ụng một trong các định lí sau

 Hai mp
( ) , ( ) 
có đi
ểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song a , b

thì
( ) ( ) // //Sx a b
  


( )// , ( ) ( ) ( ) //a a b a      

d


 



  


 

 M
ột mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song

 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
 S
ử dụng phương pháp hình học phẳng : đường trung bình , định lí Talét đảo , ….

4/ Ch
ứng minh đường thẳng
( )d mp


 Ch
ứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
( )

 Ch
ứng minh

ờng thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến , cũng vuông góc với mặt phẳng kia
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
d a
a
a d
 
  






   






5/ Ch
ứng minh đường thẳng
d d


ẢNG CÁCH

1/ Góc gi
ữa hai đường thẳng
:

/ / '
( , ) ( ', ')
/ / '
a a
a b a b
b b

 



2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 5 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S


( ) ( )
( ), (( ),( )) ( , )
( ),
d
a a d a b
b b d
 
  

 


   


 


4/ Kho
ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Là đ
ộ dài đoạn vuông góc

v
ẽ từ điểm đó đến đường thẳng

5/ Kho
ảng cách

ảng cách giữa hai mặt phẳ
ng song song
( ), ( ) 
l
ần lượt chứa d và d’

d’
d
M
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 6 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

O
H
A
C

đều thường gặp
:
1) Hình chóp tam giác
đều
:
Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC

 Đáy ABC là tam giác đ
ều

 Các m
ặt bên là các tam giác cân tại S

 Ch
ều cao : SO

 Góc gi
ữa cạnh bên và mặt đáy:
 

SAO SBO SCO 

 Góc gi
ữa mặt bên và mặt đáy :

SHO


2

ặt bên là các tam giác cân tại S

 Ch
ều cao là SO

 Góc gi
ữa cạnh bên và mặt đáy:
 


SAO SBO SCO SDO  

 Góc gi
ữa mặt bên và mặt đáy :

SHO

Nh
ắc lại :

- Một tam giác đều có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , chiều cao h =
- M
ột hình vuông có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , độ dài đường chéo =

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 7 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn


1)Thể tích khối chóp :

V=
1
3
.h .B

B : là diện tích mặt đáy
h : là chiều cao của khối chóp 2) Thể tích khối lăng trụ :
V = B.h
B : là diện tích mặt đáy
h : là chiều cao của khối
lăng trụ
Ghi chú : Lăng trụ đứng có chiều cao

V =
3
a

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 8 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718 1) T
ỉ thể tích ' ' '
' ' '
. .
SA B CTrung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

T
A
C
B
S
T
A
D
C
S
M
ẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1- Nh

ỉnh của h
ình chóp 3- Cách xác đ
ịnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
:

 D
ạng 1
: Hình chóp có các
đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông

Hình chóp S.ABC có
 
0
90SAC SBC 


Tâm T c
ủa mặt

S.ABCD là trung đi
ểm của
SC
Bán kính
2
SC
R  Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 10 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

 Dạng 2 :
+ Hình chóp có các c
ạnh bên bằng nhau


tr
ục

, d
ựng đường trung trực
d c
ủa cạnh
bên
SA c
ắt


t
ại I


I là tâm c
ủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 D
ạng 3
: V
ới hình chóp
có m
ột mặt bên vuông góc với đáy.

- D
ựng trục

c

0
120BAC 
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 3 :
a) Tính th
ể tích của khối
chóp tam giác đ
ều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2
3
a

b) Tính th
ể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy
m
ột góc 60
0

c) Tính th
ể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằ
ng a , m
ặt bên hợp với đáy
một góc 60
0Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đỉnh S cách đều A , B , C và
SA tạo với (ABCD) một góc 60
0


Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy AB
CD là hình vuông c
ạnh a , mp (SAB) vuông góc với mp
đáy ,SA = SB , góc giữa SC với mp đáy bằng
0
45
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
(CĐ A-2010) ĐS :
3
5
6
a
V 

Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy
ABCD là hình ch
ữ nhật , các mặt bên ( SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) , cho AB = a , AD = 2a , SC tạo với mặt đáy (ABCD) một
góc 45
0
. Tính th
ể t
ích c
ủa khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 8: Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng

27 3 9
;
104 13
S ADE
a a
V d 

b) Tính khoảng cách từ E đến mp (SAB).

Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,


0
90BAD ABC 
, AB = BC = a
,AD =2a ,
( )SA ABCD
, SA = 2a . G
ọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD .Chứng minh
BCNM là hình ch
ữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BC
NM theo a. ( CĐ khối A – 2008 )
ĐS:
3
3
a
V 

Bài 11: Cho hình chóp tứ gác đều S.ABCD có AB = a , SA =
2


Chứng minh
( )SC AHK
và tính thể tích của khối chóp OAHK
Bài 13 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B . Biết SA vuông góc với đáy
(ABC) . Cho AB = a ,
3BC a
, SA = a . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và cắt
SB tại K . Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo a. Bài 14 : Cho lăng tr
ụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,góc
0
30ACB 
,
AA’= 3a , AC = 2a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) M
ặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện . Tính
th
ể tích của
m
ỗi khối đa diện đó Bài 15 : Cho hình l
ăng trụ đứng ABC . A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và

AC = a , góc

có c
ạnh a . Gọi O
1
là tâm c
ủa hình vuôngA
1
B
1
C
1
D
1
.
Tính th
ể tích của khối lập phương và thể tích của khối tứ diện A
1
O
1
BD . Ch
ứng minh :
1 1
( )BD ACBBài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
đáy , cạnh bên SB =
3a

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Xác đ

Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD.

Bài 21 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a
a) Tính th
ể tích của khối chóp S.ABC

b) Xác đ
ịnh tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC.

Bài 22 : Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a

a) Tính th
ể tích của khối chóp S.ABCD

b) Xác đ
ịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.Bài 23 : Cho hình chóp S.ABC có có đáy là
ABC
vuông tại A ,

.Chứng minh
 
OK SAB
.
d) G
ọi M là trung điểm OC , qua M dựng mp(

) vuông góc AB, c
ắt AB , SA , SC lần lượt tại
N, P , Q .T
ứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNPQ.

e) Xác đ
ịnh tâm và
tính bán kính m
ặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S
xu
ống mặt đáy là trung điểm H của AB ,
SAB
đ
ều .

a) Tính góc h
ợp bởi SD , SB với đáy và thể tí
ch c
ủa khối chóp S.ABCD.

ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Bài 26 : Cho lăng tr
ụ ABC.A’B’C’ ,đáy là tam giác đều cạnh a , điểm A cách đều A’ , B’, C’ và
AA’ h
ợp với
đáy m
ột góc 60
0
.
a) Tính th
ể tích khối lăng trụ .

b) Ch
ứng minh BB’C’C là hình chữ nhật .Tính
xq
S
lăng tr
ụ .

c) Xác đ
ịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.A’B’C’.
ầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .
(ĐH B-2010) ĐS :
3
3 3 7
;
8 12
a a
V R
 Bài 29 :Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a, hình chiếu vuông góc
của S lên mp (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
AC
AH =
4
. Gọi CM là đường cao tam giác
SAC .Ch
ứng minh M là tr
ung đi
ểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

(ĐH D-2010) ĐS :
3
14
48
a
V


3
2
a
V 
,
1
cos
4
 

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 15 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Bài 32 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC)
bằng
0

3a
và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần l ượt là trung điểm của các cạnh AB
, BC . Tính theo a th
ể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM
, DN ( ĐH khối B – 2008 ) ĐS :
3
3
3
a
V 
,
5
cos
5
 

Bài 35: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a , cạnh
bên
' 2
AA a

. G
ọi M là
trung đi
ểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và kho
ảng cách giữa hai đường thẳng AM , B’C

( ĐH khối D – 2008 ) ĐS:

Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là h
ình thang
,góc


0
90ABC BAD 
, BA = BC = a,
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 16 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a
2
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SB. Ch
ứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng

Bài 41 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông
góc v
ới mặ
t ph
ẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các

đư
ờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

( ĐH khối D – 2006 ) ĐS :
3
3 3
50
a
V 

Bài 42 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t
ại
B, BA = 3a, BC = 4a; m
ặt phẳng
(SBC) vuông góc v
ới mặt phẳng (
ABC). Bi
ết
SB =
2 3a
và góc
0
30SBC

. Hình
chiếu vuông góc của A
1
trên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD .Góc giữa hai mp
(ADD
1
A
1
) và (ABCD) b
ằng
0
60
.Tính th
ể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B
1
đ
ến
mp(A
1
BD) theo a. (ĐH khối B – 2011 ) ĐS :
3
3
2
a
V 
;
3
2
a
d 

ọi
M là trung đi
ểm của
AB; m
ặt
ph
ẳng qua
SM và song song v
ới
BC, c
ắt
AC t
ại
N. Bi
ết góc giữa hai mặt phẳng (
SBC) và (ABC)
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
. (ĐH khối A – 2011 ) ĐS :
3
3V a

;
2 39
13
a
d 