1
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x

cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
xx
xx
xx
xx

  
  
  

2. Hai cung bù nhau:
x


và x

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
xx

   
   
   
   

4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x


và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
xx
xx
xx
xx




  
  


5. Các hằng đẳng thức lượng giác
22
2
2

2 2 2 2
sin2 2sin cos : sin 2sin cos
22
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x

     

8. Công thức nhân ba:
33
sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x   

9. Công thức hạ bậc:

22
1 cos2 1 cos2
sin cos
22
xx
xx



10. Công thức biến đổi tích thành tổng

 
 
 

xy
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy



  



A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho
33
sin < < .Tính cos ,tan ,cot .
52

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0
oo
180 < a < 270
.Tính sina , tana, cota.
Bài 3: Cho
o o o o

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

22
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
22
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y

Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
6 6 4 4 4 2 4 2
2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4


3
Bài 2: Tính:

2cos sin tan
22
A 2cos ;
cot sin
2
33
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2

Bài 3: Đơn giản biểu thức:

95
A sin 13 cos cot 12 tan ;
22
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2


Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

A B C
a /sin(A B) sinA; b/cosA cos(B C) 0; c/sin cos;
22
3A B C
d/cosC cos(A B 2C) 0; e/sinA cos 0
2

III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12

Bài 10: Tính
cos x
3
biết
12 3
sinx , ( < x < 2 )
13 2

Bài 11: Cho 2 góc nhọn
,
có

Bài 14: Tính
tan
4
theo
tan
. Áp dụng: Tính tg15
o

Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
oo
tan25 tan20 1 tan15
A sin20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan25 .tan20 1 tan15
3 tan225 cot81 .cot69
D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3
cot261 tan 201

Bài 16: Tính:

3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
22
b/B tanx.tan x tan x tan x tan x tanx

5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
22
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1

( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
oo
2
a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30
55
d/ 2sin x.sin 2x.sin3x; e/8cosx.sin2x.sin3x;
f /sin x .sin x .cos2x; g/ 4cos a b .cos b c .cos c a
66

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH 5

a/ cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sinx


Bài 24: Chứng minh
ABC
cân nếu:
2
C sinB
a / sinA 2sinB.cosC; b/ tanA tanB 2cot ; c/ tanA 2tanB tanA.tan B; d/ 2cosA
2 sinC

Bài 25: Chứng minh
ABC
đều nếu:
13
a / cosA.cosB.cosC ; b/ sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C; c/ cosA cosB cosC
82

Bài 26: Chứng minh
ABC
cân hoặc vuông nếu:

2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tanB sin B
a / tanA.tanB.tan 1; b/ ; c/
2 tanC sin C sin B sin C sin B sin C

Bài 27: Hãy nhận dạng
ABC

4)
os 0 ; osx= 1 x= 2 ; osx = -1 x= 2
2
c x x k c k c k

   
      

5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
xk




Hàm số y = cotx xác định khi
xk



Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x


3) y = sin
4x 

II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
 
2
sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x
Phương pháp: Bƣớc 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x    

Bƣớc 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

  


   


   
 0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ

Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
22
kk


   



Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
 
2 ; 2kk   

Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
 
2 ; 2kk   

Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
22
kk


    



Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng

4) y = cosx trên đoạn
13 29
;
36





5) y = tanx trên đoạn
121 239
;
36





6) y = sin2x trên đoạn
3
;
44




7) y = tan3x trên khoảng





;
33






23 25
;
44





362 481
;
34






y = sinx


Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
 
; 

2) y = -2cos
2
3
x





trên đoạn
2
;
33






IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1    
; 0


x



7) y =
2
sin 4sinx + 3x 
8) y =
2
4 3 os 3 1cxChú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
 
;ab
thì
 
 
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn
 
;ab
thì






4) y = cos

x trên đoạn
13
;
42


C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v 







2
2
kvu

cos
ba
a



8
asinx +bcosx = c 
)sin(.
22

 xba
= c với
22
cos
ba
a



.
Cách 2 :
Xét phương trình với x =  + k , k  Z
Với x   + k đặt t = tan
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :


5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx 
, 6.
tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x  

7.
3(1 cos2 )
cos
2sin
x
x
x


8.
2
1
sin2 sin
2
xx

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0

10.
42
4sin 12cos 7xx

5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
 Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
 Xét
cos 0x 
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
9
5.
22
1
sin sin2 2cos
2
x x x  

6/ Phương trình dạng : a( cosx

sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22  t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22  t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t

4
cos 
ĐS : x = k3 , x= 
4

+k3 , x = 
4
5

+k3
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(

4


2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan
3
( x -
4

) = tanx - 1 ĐS : x = k v x =
4

+ k
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4

+ k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 10
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :

3
(x -
4

) =
2
sinx ĐS : x =
4

+k
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = 
3

+ k v x=
4

+
2

k

7/ 3sin
4
x +5cos

sin
1
cos
1
 xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3

4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5 


 x
x
xx
x
16/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin3

D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phƣơng án A và
B. Phƣơng án A có thể thực hiện bởi n cách; phƣơng án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc đƣợc thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc đƣợc
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trƣớc là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k
mà
1 k n
. Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trƣớc, ta đƣợc một
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A

k! n k ! k!
  



c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
 
 
*
k n k
nn
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n




  
   

III. Khai triển nhị thức Newton
 
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k0

C C C C 1 C 1 C 0         

Chú ý:
–
 
n
n
k n k k
n
k0
a b C a b




là khai triển theo số mũ của a giảm dần. 12
–
 
n
n
k k n k
n
k0
a b C a b




   
 
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
    


Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập
 
A 0,1,2,3,4,5
có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
 
 
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
  


Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập
đƣợc bao nhiêu tam giác?

n1
2P
A1
P


.
Bài 9: Tìm
*
n
, nếu có:
 
33
n n 1
6n 6 C C . 2

  Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
 
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n n
k0
a b C a b C a C a b C a b C a b C b

3
2x
x




, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
Bài 12: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
 
8
2
1 x 1 x




Bài 13: Cho khai triển:
 
10
2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x a x     
, có các hệ số
0 1 2 10
a ,a ,a , ,a
. Tìm hệ
số lớn nhất

Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
x3
3x

2) Hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển
12
5
3
1
x
x

3) Hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển
8
2
1 x (1 x)

4) Hệ số của số hạng chứa
5

x
trong khai triển:
10)
3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)

11) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
10 10
(1 x) (x 1)
.

Dạng 7: Tìm tổng có chứa
k
n
C

Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị
thích hợp, từ đó suy ra kết quả.
Bài 16: Tính tổng:
   
kn
0 1 2 n 0 1 2 k n
1 n n n n 2 n n n n n
S C C C C ; S C C C 1 C 1 C             

Bài 17: Tính tổng:
0 2 4 2n 1 3 2n 1
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n


u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u
n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai d
được cho bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng
cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề
bên nó, tức là
2
11 


kk
k
uu

)(
2
1 nn
uu
n
S 

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

, 8,5,2/a
tìm u
15
.

, 32,4,32/ b
tìmu
20
.
ĐS:
31840/
44/
20
15


ub
ua

Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng

Biết u
1
+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u
13
+ u
16
= 147. 15
Tính u
1
+ u
6
+ u
11
+ u
16
.
Bài 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a

/2
129
14
/1
9
5
13
53
u
u
S
uu













72
31
/4
2
45

Bài 12: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
14
= 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 13: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
= 17, d = 3. Tính u
20
và S
20.

ĐS: u
20
= 74, S
20
= 910
Bài 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10
= 10, d = -4.
Tính u
1
và S

20
= 1350

CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ
số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một
số không đỗi gọi là công bội.
Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có
u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ).
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n

11
.


kkk
uuu

)2( k

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q

1
u
1
, u
2
, ,u
n
,
Đònh lí: Ta có:
1
1
1



q
q
uS

và q của cấp số nhân biết:





144
72
35
24
uu
uu

Bài 4: Tìm u
1
và q của cấp số nhân (u
n
) có: u
3
=12, u
5
=48.
Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (u
n
) biết:






Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng:
A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuông D)Hình thoi
Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3). Phép đối xứng qua trục ox biến
điểm M thành M’. Tìm tọa độ điểm M'
Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh
của đường thẳng d qua phép tònh tiến vectơ
(1;1)v
?
Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh
của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox.
Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến
điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N?
Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y-
6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’. Tìm phương trình d'
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2
=36
. Phép tònh tiến theo vectơ
(1;2)v
biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2
=25
. Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ?
A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vò tự tỉ số k=

=
1
k
OM

Câu 16 : trong mp oxy cho điểm M( •-2;4 ). Phép vò tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M
thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N
Câu 17 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vò tự tâm O tỉ số
k = 3 biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'?
Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )
2
+ y
2
= 16. phép vò
tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C') 18
Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là
phép naò sau đây:
A) phép đối xứng trục B) phép tònh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm
Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép
2
o
V
và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N?
Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
1


và

ta đi tìm hai điểm chung I ; J của

và









= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :


Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung


M

d và d








I
J

19

1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD.
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)

1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm
giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)

1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =
4
1
MB ; N nằm trên AC sao cho
AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)

1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lƣợt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

1. 7: Cho hai đƣờng thẳng a ; b  (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?


Chỉ ra A ; B ; C




Kết luận : A; B; C









A; B; C thẳng hàng

Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :

Đặt a

b = P


A
C




2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng  không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD
lần lƣợt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?

2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện
đồng quy ?

2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu
b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?

Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau : 
Giả sử : a không chéo b


Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng

( đồng phẳng )


Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc
mâu thuẫn với một điều đúng nào đó


21
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng
b)Chứng minh AB chéo với CD ?

3. 2: Cho hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai
điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đƣờng thẳng MN có song song AB
hoặc CD không ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng

3. 3: Cho đƣờng thẳng a cắt hai đƣờng thẳng b và c. Hỏi ba đƣờng thẳng a, b, c có đồng
phẳng không ? Tại sao ?

3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG 

Giả sử phải tìm giao điểm d   = ?
Phương pháp 1:
Tìm a





4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lƣợt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt
(ABC) tại P. Xác định giao điểm P

4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lƣợt là các điểm nằm trên
AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)

4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lƣợt là trung điểm của AC;
BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)

4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ;
SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)

4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lƣợt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K
sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đƣờng thẳng BC với (IHK) ?


d
a
M


M

d
a

. . . trong mặt phẳng

cũng nhờ vào quá trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên
Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :

I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến

II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ

5. 1: 1) Cho hình lập phƣơng ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lƣợt là trung điểm AA’
; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phƣơng ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lƣợt là trung điểm DC ; AD
; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP)
với mặt phẳng (A’B’C’D’)

5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lƣợt là
trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba
điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lƣợt là các điểm nằm trên SA ;
SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp

*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N
là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA =
2
1
MD ; ND =
2
1
NC


*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lƣợt là
trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1

5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là
trọng tâm SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?
b) Chứng minh (CGM) chứa đƣờng thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?

*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm
SAB ; SAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp

5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng  qua I cắt AB; BC;
CD; DA tại M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?



c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính
KS
KA
HD: b) 2 c) 2

7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ =
4
1
BC
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD

8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song
song với BC. Mặt phẳng  quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?

9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả :

SA’ =
1n
1

SA ; SB’ =
1n2
1



Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Chứng minh đƣờng thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a
là giao tuyến của (P) và (Q) .

7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất
kì.Gọi ( a )  là mặt phẳng chứa đƣờng thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a )  ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?

7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là
điểm bất kì trên cạnh AB.( a ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng ( a )  cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA // 

7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a )  di
động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC .
a)Mặt phẳng ( a )  cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lƣợt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện
A’B’C’D’ là hình gì ?
b)Chứng minh rằng ( a )  khi chuyển động luôn luôn chứa một đƣờng thẳng cố định
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a )  di động thì M di
động trên đƣờng thẳng cố định

7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt
phẳng () chứa AM và  BD
a)Chứng minh () luôn luôn đi qua một đƣờng thẳng cố định khi M chuyển động trên
cạnh SC
b) () cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?