®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
I.ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình
Khái niệm bất phương trình.
Nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình tương đương.
Phép biến đổi tương đương các bất
phương trình.
2. Dấu của một nhị thức bậc nhất
Dấu của một nhị thức bậc nhất.
Hệ bất phương trình bậc nhất một
ẩn.
3. Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai.
Bất phương trình bậc hai.
Bài tập.
1. Xét dấu biểu thức
f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
g(x)=
1 1
3 3
−
− +
x x
h(x) = -3x
2
+ 2x – 7
k(x) = x
2
- 8x + 15

1 1 1
1 2 2
+ >
− + −
x x x
g) (2x - 8)(x
2
- 4x + 3) > 0
h)
2
11 3
0
5 7
x
x x
+
>
− + −
k)
2
2
3 2
0
1
x x
x x
− −
≤
− + −


5 3 8
+ + − ≤
x x
4) Giải hệ bất phương trình sau
a)
5
6 4 7
7
8 3
2 5
2
x x
x
x

+ < +



+

< +


.
b)
( )
1
15 2 2
3

1
( 2)(3 )
0
1
x
x
x x
x
+

>


−

+ −

<

−

1
®Ị c¬ng «n tËp khèi 10
5) Với giá trị nào của m,
phương trình sau có nghiệm?
a) x
2
+ (3 - m)x + 3 - 2m = 0.
b)
2

≥
0 ,
∀ ∈¡x
CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
1.Bảng phân bố tần số - tần suất.
2. Biểu đồ
Biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
Đường gấp khúc tần số, tần suất.
Biểu đồ tần suất hình quạt.
3. Số trung bình
Số trung bình.
Số trung vị và mốt.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê
Bài tập.
1. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vò:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44 44 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 54
54 54 50 50 50 50 48 48 48 48
48 48 48 48 48 48 50 50 50 50
a/Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn
thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
2
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156

52
0
55
0
515 55
0
11
0
52
0
43
0
55
0
880

a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình

b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
3
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Góc và cung lượng giác
Độ và rađian.
Góc và cung lượng giác.
Số đo của góc và cung lượng
giác.
Đường tròn lượng giác.
2. Giá trị lượng giác của một
góc (cung)

πα
π
<<
2
a) Cho Tính cosα, tanα,
cotα.
b) Cho tanα = 2 và
2
3
π
απ
<<
Tính sinα, cosα.
4. Chứng minh rằng:
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4;
b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x
5. Chứng minh rằng trong tam giác
ABC ta có:
a) sin(A + B) = sinC
b) sin






+
2
BA
= cos








=
=+
5
3
1
7
3
1
3
2
5
3
yx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)



=+
=+
55
55

mnmynx
nmnymx
2
22

4. Tìm m để hai đờng thẳng sau song song

my
m
xmyx =++=++
1
)1(,046
5. Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt nhau trên Oy

mymxmmyx 3)32(,2 =+++=

Hệ gồm một phơng trình bậc nhất vàmột phơng trình bậc hai hai ẩn
Dạng



=++++
=+
)2(
)1(
22
khygxeydxycx
cbyax
PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2).
1. Giải hệ phơng trình

yxyxyx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)



=+
=
22
12
22
yx
ymx
2)



=+
=
22
12
22
yx
ymx
3. Tìm m để đờng thẳng
0)1(88 =++ mymx

cắt parabol
02




=
=+
1. Giải hệ phơng trình
1)



=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
2)



=+
=++
30
11
22
xyyx
xyyx
3)






=








++
=








++
49
1
1)(
5
1
1)(

=+
=+
myx
yx
66
22
1
2)



=++
=+++
mxyyx
yxyx
)1)(1(
8)
22
3. Cho hệ phơng trình



=++
=+
3
2
22
xyyx
myx





=
=+
0),(),(
0),(),(
xyfyxf
xyfyxf
1. Giải hệ phơng trình
1)





=
=
yxx
xyy
43
43
2
2
2)






yxx
xyy
83
83
3
3

2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
1)





=+
=+
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
2)





+=
+=




=++
=++
932
222
22
22
yxyx
yxyx
2)





=+
=+
42
1332
22
22
yxyx
yxyx
3)





+=++
=++
myxyx
yxyx
1732
1123
22
22
2)





=+−
=+−
myxyx
yxyx
22
22
54
132
Mét sè HÖ ph¬ng tr×nh kh¸c
1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
1)



=+−
=−


=−+−
=+
0)(9)(8
012
33
yxyx
xy
5)





=−−
=+
21
1
22
yx
yx
6)





=+
=−
yxyx

222
zyx
yxz
zyx
2)





=−
+=+−+
523
5
3
2
323
22
yx
x
xyy

3. T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
a)
mx 31 =−
vµ
124
22
=− mx
b)

h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt






+−=−++
=++
myxyyxmx
ynxyx
22
22
)(
1

II.HÌNH HỌC.
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
1.Tích vô hướng của hai vectơ.
Định nghĩa
Tính chất của tích vô hướng.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Độ dài của vectơ và khoảng cách
giữa hai điểm.
2. Các hệ thức lượng trong tam giác
Định lí côsin, định lí sin.
Độ dài đường trung tuyến trong
một tam giác.
Diện tích tam giác.
Giải tam giác.

3) Xét xem góc B tù hay nhọn
4) Tính độ dài đường cao AH
5) Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác
B i 2à . Cho tam giác ABC có a
= 13 ; b = 14 ; c = 15
a) Tính diện tích tam giác
ABC
b) Góc B nhọn hay tù
c) Tính bán kính đường tròn
nội tiếp r và bán kính
đường tròn ngoại tiếp R
của tam giác
d) Tính độ dài đường trung
tuyến m
a

Bài 3 Cho tam giác ABC có a =
3 ; b = 4 và góc C = 60
0
; Tính
các góc A, B, bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp và trung
tuyến m
a
.
Bài 4 Viết phương trình tổng
qt, phương trình tham số của
đường thẳng trong mỗi trường
hợp sau:

c) Viết phương trình đường
thẳng qua A và cắt hai trục
tọa độ tại M,N sao cho AM
= AN
d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân
đường cao kẻ từ A trong
tam giác ABC
Bài 8. Viết phương trình đường
tròn có tâm I(1; -2) và
a) đi qua điểm A(3;5).
b) tiếp xúc với đường
thẳng có pt x + y = 1.
Bài 9. Xác định tâm và bán
kính của đường tròn có phương trình:
x
2
+ y
2
- 4x - 6y + 9 = 0.
Bài 10. Cho đường tròn có
phương trình:
x
2
+ y
2
- 4x + 8y - 5 = 0.
Viết phương trình tiếp
tuyến của đường tròn tại điểm
A(-1;0).
Bài 11. Viết phương trình

cho M cách điểm A(0;1)
một khoảng bằng 5
b) Tìm giao điểm của d và
đường thẳng
: 1 0x y∆ + + =
Bài 15 Tính bán kính đường
tròn tâm I(3;5) biết đường
tròn đó tiếp xúc với đường
thẳng
:3 4 4 0x y∆ − − =

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG.
Chuyªn ®Ị 1 : VÐc tơ và tọa độ vÐc tơ.
A. tãm t¾t lÝ thut.
I. Hệ Trục toạ độ
II. Tọa độ vÐc tơ.
1. Đị nh ngh ĩ a.

( ; )u x y u xi y j= ⇔ = +
r r r r
2. C¸c tÝnh ch ấ t.
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y= =
r r
, ta cã :
a.
( '; ')u v x x y y+ = + +

u v
y y
=

= ⇔

=

r r
.
3. VÝ d ụ.
VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cđa vÐc tơ sau :
;a i= −
r r

5 ;b j=
r r

3 4 ;c i j= −
r r r

1
( );
2
d j i= −
ur r r
0,15 1,3 ;e i j= +
r r r

0

a. T×m toạ độ cđa vÐc tơ sau

2 4 .u a b c= + −
r r r r

2 5v a b c= − + +
r r r r
;
w 2( ) 4 .a b c= + +
uur r r r
b. T×m c¸c số
,x y
sao cho
.c xa yb= +
r r r
c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng
. ; . ; ( ); ( )a b b c a b c b a c+ −
r r r r r r r r r r
VÝ dụ 4. Cho
1
5 ; 4 .
2
u i j v ki j= − = −
r r r r r r
Tìm
k

,u v
r r
cùng phng.

.
c. To trng tâm
G
ca
ABC

l :
1 2 3 1 2 3
( ; )
3 3
x x x y y y
G
+ + + +
.
d. Ba im
, ,A B C
thng hng
,AB AC
uuur uuur
cùng phng.
3. Ví d .
Ví d 1. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im không thẳng
h ng.
b. Tính chu vi
ABC
.
c. Tìm ta trc tâm

b. Tìm to trng tâm
ABC
.
c. Tìm to im
E
sao cho
ABCE
l hình bình hình.
đờng thẳng.
Chuyên đề 1: phơng trình đờng
thẳng.
A. kiến thức cơ bản.
I. Véc tơ chỉ ph ơng và véc tơ pháp tuyến
của đ ờng thẳng.
1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ
0n
r r
đợc
gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng
thẳng

nếu nó có giá


.
2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ
0u
r r
đợc
gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng

r
hoặc
( ; )u b a=
r
.
- Nếu
1 2
( ; )u u u=
r
là véc tơ chỉ phơng của đ-
ờng thẳng

thì véc tơ pháp tuyến là
2 1
( ; )n u u=
r
hoặc
2 1
( ; )n u u=
r
.
II. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng
thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ pháp tuyến




+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
(2) . (
.Rt
)
* Chú ý : Nếu đờng thẳng

có hệ số góc k
thì có véc tơ chỉ phơng là
);1( ku =

IV. Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng
quát và ph ơng trình tham số .

1. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng
(1) thì
);( ban =


. Từ đó đờng thẳng


t

Ă
).
2. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng
(2) thì vtcp
);(
21
uuu =


. Từ đó đờng thẳng

có vtpt là
);(
12
uun =


hoặc
);(
12
uun =


. Và phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi :

0 0
( ; )M x y
và có một vtcp
1 2
( ; )u u u=
r
.
Ví dụ 1 : Viết phơng trình đờng thẳng


trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1; 2)M
và có một
vtcp
(2; 1)u =
r
.
b. Đi qua hai điểm
(1;2)A
và
(3;4)B
;
( 1;2)A
và
( 1;4)B
;
(1;2)A
và
(3;2)B

.
Ví dụ 2 : Viết phơng trình tổng quát của đ-
ờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1;2)M
và có một vtpt
(2; 3)n =
r
.
b. Đi qua
(3;2)A
và
// : 2 1 0.d x y =
c. Đi qua
(4; 3)B
và
1 2
: ( )
x t
d t R
y t
= +



=

Ă

chiều dơng trục
Ox
góc
0
45
.
III. Luyện tập.
1. Viết phơng trình đờng thẳng

trong
các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(3;2)A
và
( 1; 5)B
;
( 3;1)M
và
(1; 6)N
;
b. Đi qua
A
và có vtcp
u
r
, nếu :
+
(2;3)A
và
( 1;2)u =

(1;1)A
và có hệ số góc
2k =
.
g. Đi qua
(1;2)B
và tạo với chiều dơng
trục
Ox
góc
0
60
.
2. Viết phơng trình các cạnh
ABC

biết :
a.
(2;1); (5;3); (3; 4).A B C
b. Trung điểm các cạnh là :
( 1; 1); (1;9); (9;1).M N P
c.
( 4; 5)C
và hai đờng cao
( ) :5 3 4 0;( ) :3 8 13 0AH x y BK x y+ = + + =
.
d.
( ) :5 3 2 0AB x y + =
và hai đờng cao
( ) : 4 3 1 0;( ): 7 2 22 0AH x y BK x y + = + =

( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song
song hay rùng nhau ?
Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán
xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
II. Phơng pháp.
1. Cách 1:
Nếu
1 2
1 2
a a
b b

thì hai đờng thẳng cắt
nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
=
thì hai đờng thẳng
song song nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2

toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
b. bài tập cơ bản.
I. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng
thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong tr-
ờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
1 4
: 2 4 10 0; : ( )
2 2
x t
x y t
y t
=

+ =

= +

Ă
c)
1
1 5 6 5 '
: ( ) : ( ' )
2 4 2 4 '

ờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
:8 10 12 0; : 4 3 16 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
5
:12 6 10 0; : ( )
3 2
x t
x y t
y t
= +

+ =

= +

Ă
c)
1
6 5 '
: ( ) : ( ' )
1 2
2 4 '
10 5
2
x t
x t

1 2
;
cắt nhau. Khi đó góc giữa
1 2
;
là
góc nhọn và đợc kí hiệu là:
( )
1 2
,
.
* Đặc biệt:
- Nếu
( )
1 2
, 90
o
=
thì
1 2

.
- Nếu
( )
1 2
, 0
o
=
thì
1 2

đợc xác định theo công thức:
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
=
+ +
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng
thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phơng của
chúng.
b. bài tập cơ bản.
I. Xác định góc giữa hai đờng thẳng.
Ví dụ: Xác định góc giữa hai đờng thẳng
1 2
: 4 2 6 0; : 3 1 0x y x y + = + =
( )
1 2
:3 2 1 0; :
7 5
x t
x y t
y t
=

+ =

Ă Ă
II. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
một điểm cho trớc và tạo với đờng thẳng
cho trớc một góc cho trớc.
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng
:3 2 1 0d x y + =
và
( )
1;2M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d
một góc
45
o
.
Ví dụ 2: Cho
ABC
cân đỉnh
A
. Biết
( ) ( )
: 1 0; :2 3 5 0AB x y BC x y+ + = =
.
Viết phơng trình cạnh
AC

: 3 7 0; : 1 0x y mx y + = + + =
Tìm
m
để
( )
1 2
, 30
o
=
.
Bài 3: Cho đờng thẳng
: 2 3 0d x y + =

và
( )
3;1M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d
một góc
45
o
.
Bài 4: Cho
ABC
cân đỉnh

( )
11;0M
.
Bài 7: Cho
ABC

đều, biết:
( )
2;6A
và
( )
: 3 3 6 0 BC x y + =
Viết phơng trình các cạnh còn lại.
Đờng tròn.
A. Tóm t t lý thuy t.
1. Ph ng trình chính t c.
Trong mt phng
Oxy
cho ng tròn tâm
( ; )I a b
bán kính
R
. Khi ó phng trình
chính tc ca ng tròn l :
2 2 2
( ) ( ) .x a y b R + =
2. Ph ng trình tổng quát.
L phng trình có dng :
2 2
2 2 0x y Ax By C+ + + + =

.
§¸p số :
2 2
4 2 20 0x y x y+ − − − =
.
VÝ dụ 3. Viết phương trình đường tròn có
tâm
( 1;2)I −
và tiếp xóc với đường thẳng
: 2 7 0x y∆ − + =
.
§¸p số :
2 2
4
( 1) ( 2)
5
x y+ + − =
.
VÝ dụ 4. Viết phương tr×nh đường trßn qua
( 4;2)A −
và tiếp xóc với hai trục toạ độ.
§¸p số :
2 2
( 2) ( 2) 4x y+ + − =
hoặc
2 2
( 10) ( 10) 100x y+ + − =
.
4. B à i toán tìm tham s ố để ph ươ ng trình
d ạ ng

4 4
I R =
VÝ dụ 2. Cho phương tr×nh :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + − − + + − =
.
a. T×m điều kiện của
m
để pt trªn là
đường trßn.
b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.
VÝ dụ 3. Cho phương tr×nh
2 2
( 15) ( 5) 0x y m x m y m+ + − − − + =
.
a. T×m điều kiện của
m
để pt trªn là
đường trßn.
b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.
VÝ dụ 4. Cho phương tr×nh
( )
m
C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + − − − + =
.
a. T×m
m

C
.
II. BÁI TẬP.
1. T×m phương tr×nh đường trßn
( )C
biết
rằng :
a.
( )C
tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã
b¸n kÝnh
3R =
.
b.
( )C
tiếp xóc với
Ox
tại
(5;0)A
và
cã b¸n kÝnh
3R =
.
c. Tiếp xóc với
Oy
tại
(0;5)B
và đi qua
(5;2)C
.

, biết :
a. Đường kÝnh
AB
.
b. T©m
O
và đi qua
A
; T ©m
O
và đi
qua
B
.
c.
( )C
ngoại tiếp
OAB∆
.
4. Vit phng trình ng tròn i qua ba
im :
a.
(8;0) , (9;3) , (0;6)A B C
.
b.
(1;2) , (5;2) , (1; 3)A B C
.
B. B i t p c b n.

1. Vit phng trình ng tròn

+ =
2. Cho ba im
(1;4) , ( 7;4) , (2; 5)A B C

.
a. Lp phng trình ng tròn
( )C
ngoi tip
ABC

.
b. Tìm to tâm v tính bán kính.
3. Cho ng tròn
( )C
i qua im
( 1;2) , ( 2;3)A B

v có tâm trên ng
thng
:3 10 0x y
+ =
.
a. Tìm to tâm ca ng tròn
( )C
.
b. Tính bán kính
R
.
c. Vit phng trình ca
( )C

2 2
( 4) ( 2) 7x y+ + =
d.
2 2
10 10 55x y x y+ =
b.
2 2
( 5) ( 7) 15x y + + =
e.
2 2
8 6 8 0x y x y+ + + =
c.
2 2
6 4 36x y x y+ =
.
f.
2 2
4 10 15 0x y x y+ + + + =
8. Vit phng trình ng tròn ng
kính
AB
trong các trng hp sau :
a.
(7; 3) , (1;7)A B

b.
( 3;2) , (7; 4)A B

9. Vit phng trình ng tròn ngoi tip
ABC

: 1 0x y
=
.
Phơng trình bậc hai &
hệ thức Vi-ét
Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phơng
trình

2
( 1) 5 20 0x m m x m+ + + + =
Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình

2
3 0x mx+ + =
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có
một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

2
8 5 0x x m + + =
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có
một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phơng trình trong trờng hợp này.

2
2( 1) 3 0x m x m + =

(1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M =
2 2
1 2
x x+
(
1 2
,x x
là nghiệm của phơng
trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình

2
2
2
1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b
x bx c
x cx a
+ + =
+ + =
+ + =

Chứng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất

.
c) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 6.
Bài tập 10: Cho phơng trình

2
2 (2 1) 1 0x m x m+ + =
(1)
a) m = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
3 4 11x x =
.
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ
thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11: Cho hai phơng trình


1 2
,x x
thoả mãn
1 2
2 0x x =
.
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với
m.
Bài tập 14: Cho phơng trình

2 2
(2 3) 3 2 0x m x m m + + + + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với
mọi m.
b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối
nhau .
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phơng trình
2
( 2) 2( 4) ( 4)( 2) 0m x m x m m + + + =
(1)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1)
có nghiệm kép.

2( ) 7x x
A
x x
+ +
=
+
.
c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của
phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình
2
7 0x kx+ + =
có hai nghiệm hơn kém nhau
một đơn vị.
Bài tập 18: Cho phơng trình

2
( 2) 1 0x m x m + + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái
dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng
phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.
Bài tập 19: Cho phơng trình

2
( 1) 0x m x m + + =
(1)
a) CMR phơng rình (1) luôn có nghiệm phân

(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
toả
mãn
2
2 1
x x=
.
Bài tập 22: Cho phơng trình

2
( 2) 2 1 0m x mx + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt .
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x

thoả mãn
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1x x+ + =
.
Bài tập 23: Cho phơng trình


2
0x px q+ + =
(1)
a) Giải phơng trình khi p =
( )
3 3 +
; q =
3 3
.
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai
nghiệm :
1 2
2, 1x x= =
c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
thì phơng trình
2
1 0qx px+ + =
có hai
nghiệm dơng
3 4
,x x
d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
1 2
3 3x va x
;
2
1
1

1 2 1 2
6x x x x+
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 10 0x m x m + + + =

(1)
a) Giải phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
Bài tập 28: Cho phơng trình
2
( 1) (2 3) 2 0m x m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Hãy
tính nghiệm này theo nghiệm kia.
Bài tập 29: Cho phơng trình
2 2

2
2 3 5 0x x =
. Không giải phơng trình , hãy
tính : a)
1 2
1 1
x x
+
; b)
2
1 2
( )x x
;
c)
3 3
1 2
x x
+
d)
1 2
x x
Bài tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có các
nghiệm bằng :
a)
3
và 2
3
;
b) 2 -
3

2
0x mx n+ + =
cũng là m và n.
Bài tập 35: Cho phơng trình

2 3
2 ( 1) 0x mx m + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai
nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm
bằng bình phuơng nghiệm còn lại.
Bài tập 36: Cho phơng trình

2
2 5 1 0x x + =
(1)
Tính
1 2 2 1
x x x x+
( Với
1 2
,x x
là hai nghiệm
của phơng trình)
Bài tập 37: Cho phơng trình

2
(2 1) 2 1 0m x mx + =
(1)

để 4 +
3
là nghiệm của phơng
trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã
cho còn một nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn
lại ấy?
Bài tập 41: Cho phơng trình :
2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai
nghiệm
1 2
,x x
phân biệt mọi m.
3) Tìm m để
1 2
x x
đạt giá trị nhỏ nhất (
1 2
,x x
là
hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/
) .
Bài tập 42:
Cho phng trỡnh
1. Gii phng trỡnh khi b= -3 v c=2
2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai
nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1

2
3 = 0
1) Giải phơng trình với m =
3
2) Tìm m để phơng trình có đúng 3
nghiệm phân biệt
Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x
2
- 2mx +
m
22
1
= 0 (1)
1) Tìm m để phơng trình (1) có
nghiệm và các nghiệm của ptrình có
giá trị tuyệt đối bằng nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có
nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của
2 cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số
nguyên có hai nghiệm là:

53
4
1
+


+
Bài tập 47: Tìm m để phơng trình :
012
2
=+ mxxx
có đúng hai nghiệm phân
biệt.
Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau :
2
2
(2 3) 6 0
2 5 0
x m x
x x m
+ =
+ + =
( x là ẩn , m là tham số )
Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng
một nghiệm chung.
Bài tập 49:
Cho phơng trình :
2 2
2( 1) 1 0x m x m + + =
với x là ẩn , m là
tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai
nghiệm dơng
1 2

là nghiệm âm của phơng trình
. Hãy tính giá trị biểu thức :
8
1 1 1
10 13P x x x= + + +

Bài tập 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x:
x
2
- 2(m 2 ) x + m - 2
=0. (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép đó.
Bài tập 54:
Cho phơng trình : x
2
+ 2(m-1) x +2m - 5 =0.
(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có 2
nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để 2 nghiệm
1 2
,x x
của (1) thoả
mãn :
2 2
1 2
14x x+ =
.
Bài tập 55:

tập giá trị của hàm số
y=
2 2
2( 1) 1x m x m m+ + + + +
chứa đoạn
[ ]
2;3
.
Bài tập 57:Cho phơng trình :
x
2
- 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
này bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài tập 58: Cho phơng trình :
2 2
6 6 0.x x a a+ + =
1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có
nghiệm.
2) Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình này.
Hãy tìm giá trị của a sao cho
3
2 1 1
8x x x=
Bài tập 59: Cho phơng trình :


R . CMR ít nhất một
trong 4 phơng trình sau có nghiệm

2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
Bài tập 61:
1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn
đẳng thức
2 2 2
a b ab c+ =
. CMR phơng trình
2
2 ( )( ) 0x x a c b c + =
có hai nghiệm phân
biệt.

2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
(1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x :

2
1 1 1
0a x b x c+ + =
và
2
2 2 2
0a x b x c+ + =

Có nghiệm chung. CMR
:
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
.a c a c a b a b b c b c =
Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m + + =

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ
khi
0 1m
b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , chứng

,x x
là nghiệm của phơng trình (1) , tìm
m để
1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam
giác . CMR phơng trình

2
( ) 0x a b c x ab bc ac+ + + + + + =

vô nghiệm .
Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
2
0(1);
0(2).
ax bx c
cx dx a
+ + =
+ + =

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các
nghiệm p và q. CMR :
2 2 2 2
4m n p q+ + +

+6 = 0
c) (x
2
+x +2)
2
-12 (x
2
+x +2) +35 = 0
d) (x
2
+ 3x +2)(x
2
+7x +12)=24
e) 3x
2
+ 3x =
xx +
2
+1
f) (x +
x
1
) - 4 (
)
1
x
x +
+6 =0
g)
121

03)13()3
2
=++x

d)5x
4
- 7x
2
+2 = 0
e) (x
2
+2x +1)
2
-12 (x
2
+2x +1) +35 = 0 f)
(x
2
-4x +3)(x
2
-12x +35)=-16
g) 2x
2
+ 2x =
xx +
2
+1 .
Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x
2
-5x+1=0 (*) có


;
5
2
5
1
xxC +=
;
7
2
7
1
xxD +=
2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x
1
- 3, v = 2x
2
-3
b) u =
1x
1
1

, v =
1x
1
2

.

.
Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x
2
+(m+2)x +m= 0
a) Giải phơng trình với m =-
2
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
1
xxC
+=
Bài tập 77:
Cho phơng trình:
mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái
dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào
có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x
1

Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai
nghiệm phân biệt trái đấu
(m 1)x
2
2x + 3 = 0
Bài tập 80 Cho PT : x
2
2(m-2) x + ( m
2
+ m 3) =
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn :

1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có
các nghiệm x
1

+ x
2
2
= 6.
Bài tập 83: Cho PT : x
2
10x m
2
= 0 (1)
mx
2
+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác
không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch
đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm
x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện 6x
1
+ x
2
= 5
Bài tập 84: Cho Phơng trình x
2
2(m+1) x 3m
2


(a- 1) x + a = 0
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng
các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng
các nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x
2
5x + 6 = 0 (1) . Không giải
PT lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y
1
; y
2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT
(1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu
PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x
2
(m 1) x m
2
+m
2 = 0
a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đã cho có hai
nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x
1
; x
2

1
.x
2

1) Chứng minh A = m
2

-8m + 8
2) Tìm m sao cho A= 8
3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng
.
Bài tập 89: Cho phơng trình x
2
2(a- 1) x + 2a 5 =
0 (1)
a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với giá trị nào của a thì phơng trình (1)
có hai nghiệm x
1
, x
2

Bài tập 91: Cho phơng trình : x
2
(1- 2n) x + n 5 =
0
a) Giải PT khi m = 0
b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi
giá trị của n
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm cảu PT đã cho
Chứng minh rằng biểu thức : x
1
(1 + x
2
) +
x
2
(1 +x
1
)
Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình
x
2
+ ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên
Chứng minh rằng a
2
+ b
2

2
2


4
Bài tập 95: Cho các phơng trình x
2
+ bx +c =0 (1) và x
2

+cx +b = 0 (2)
Trong đó
2
111
=+
cb
Bài tập 96: Cho p,q là hai số dơng .Gọi x
1
; x
2
là hai
nghiệm của phơng trình
px
2
+ x +q = 0 và x
3
; x
4
là nghiệm của phơng
trình qx

2

Bài tập 99: Cho phơng trình x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ;
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Có các hệ số thoả mãn
( )
1 2 1 2
2a a b b +
.Cmr
ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :
( )
2 2 2 2 2 2
0a x b a c x b+ + + =
Vô nghiệm
Nếu a + b > c và
a b c >
Bài tập 101: Cho hai phơng trình :

nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x
1
, x
2
là hai nghiệm của hai phơng
trình x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
, x
3
là hai nghiệm của phơng
trình x
2
+ bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh
x
1
, x
3
là nghiệm của phơng trình x
2

+ cx + ab = 0 .
Bài tập 106: Cho phơng trình x
2
+ px + q = 0 (1) .Tìm
p,q và các nghiệm của phơng trình (1) biết rằng khi
thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm
của phơng trình : x

1
0
2
x ax
a
=
Chứng minh rằng :
4 4
1 2
2 2x x+ +
Bài tập 110 Cho phơng trình
2
2
1
0x ax
a
+ =
.Gọi
x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm GTNN của E =
4 4
1 2
x x+
Bài tập 111: Cho pt x
2
+ 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0