Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ
Lời nói đầu
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ quan
trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho học sinh khá,
giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng xuyên ở trong các
nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp cho học sinh khá không chỉ
nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu
kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó,
giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn Toán nói chung và Toán lớp 9 nói riêng, phần " giải Phơng trình"
là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi
tốt nghiệp , thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, học sinh cần nắm
thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật
đầy đủ về các dạng của phơng trình. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo
viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú,
tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây
không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh.
Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa ra một
hệ thống kiến thức về giải ph ơng trình bằng PP đặt ẩn phụ với một mong ớc là
làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời dạy và ngời học trong
việc bồi dỡng học sinh khá giỏi.
Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ là một hệ thống kiến thức có đặc thù
riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của nhiều loại phơng
trình. Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ
minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp ngời đọc dễ
dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong sự đóng góp ý kiến các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
A, Lí do chọn đề tài
-1-

-2-
Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ
Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những
vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong
muốn.
b, Mục đích nghiên cứu
Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình
bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà
các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này.
Hai là, hệ thống một số dạng phơng trình có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ,
trên cơ sở đó phân tích những u việt hay hạn chế của từng dạng phơng trình khi giải
bằng PP đặt ẩn phụ.
Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc và biết cách so sánh
cũng nh nhận ra PP đặt ẩn phụ với các phơng khác khác khi cùng giải một PT, từ đó
tìm ra cách giải một phơng trình sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối u nhất.
-3-
Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ
c, Nội dung chính
I, Hiện trạng học tập của HS
Trong quá trình bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 9. Tôi thấy các em cha linh
hoạt trong việc áp dụng các kiến thức đã biết để giải phơng trình một cách thành thạo
và nhanh nhất. Để góp phần giúp học sinh khắc phục đợc hạn chế đó tôi đã tập trung
nghiên cứu, tổng hợp một số dạng phơng trình thờng gặp để đa ra một PP giải mới đó
là " Giải PT bằng PP đặt ẩn phụ ".
Đề tài này đợc áp dụng trong các buổi học bồi dỡng học sinh khá - giỏi hoặc
các buổi ngoại khoá môn Toán lớp 9 có tác dụng bổ sung kiến thức cho học sinh và
phát triển t duy Toán.
Trớc khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em
học sinh khá giỏi lớp 9 của nhà trờng về phơng trình và áp dụng vào giải toán qua đề
bài sau.

SL % SL % SL % SL %
35
3
09
12
34
11
31
09
26
*) Nhận xét:
Sau khi kiểm tra HS lớp 9 của trờng với đề KT trên, tôi thấy học sinh còn tồn tại
nh sau:
- Học sinh cha biết cách giải một pt ngắn gọn, trong trình bày còn dài dòng rắc
rối.
- Học sinh cha biết vận dụng kiến thức đã học để giải các bài toán cụ thể.
- Học sinh cha phát huy đợc t duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến
thức mới, thờng là áp dụng một cáchmáy móc các kiến thức đã học.
-4-
Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ
II, Nội dung chuyên đề
Dạng 1: Phơng trình trùng phơng:
0
24
=++
cbxax
(*)

( )
0

2
( 0)t x t=
Ta đợc
2
3 5 8 0y y+ =
8
( 1)( ) 0
3
y y + =

y =1 hoặc y = -8 ( loại)
Với y = 1
11
2
==
xx
Vậy phơng trình (1) có nghiệm
1
=
x
Dạng tổng quát:
)0(0
2
=++
acbxax
nn
(*)
* Phơng pháp giải: Đặt y = x
n
, PT (*)

- m - 2
a) Để (2) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2') phải có 2 nghiệm dơng phân biệt.
Do đó:
1 2
1 2
> 0
x + x > 0
x x > 0









2
2 0
1 0
3 0
m m
m
m

>

>



Phơng trình (2) có nghiệm: x
1
=2; x
2
= -2; x
3
= 0
c) Điều kiện để phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
- Hoặc phơng trình (2') có nghiệm kép dơng.
- Hoặc phơng trình (2') có 2 nghiệm phân biệt nhng chỉ có một nghiệm dơng,
nghiệm còn lại là âm.
d) Phơng trình (2) vô nghiệm khi:
- Phơng trình (2') vô nghiệm.
- Phơng trình (2') có hai nghiệm âm.
Cụ thể:
+ Phơng trình (2') vô nghiệm khi


< 0 hay m
2
-m - 2 < 0

(m + 1)(m - 2) < 0
Lập bảng xét dấu của tích (m + 1)(m - 2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m - 2 nhờ vào tính đồng biến,
nghịch biến của đồ thị hàm số y = ax+b (a

0)
Bảng xét dấu:
m -

hay
2
2 0
( 3) 0
2( 1) 0
m m
m
m



>


<

(*)
Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phơng trình m
2
- m -2
0

cho nghiệm m
2;1

m
Kết hợp với điều kiện (*) ta đợc: m

-1
-6-



>




<



+ Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm khi:
- Phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dơng khi
0
0
2
b
a
=




>


- Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm d-
ơng, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi
0
<

Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là: x = 0; x =
a
b

+ Phơng trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phơng trình bậc hai trung gian có hai
nghiệm dơng phân biệt. Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là hai cặp số đối
nhau, khác nhau.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t = 0 (xảy ra khi b = c = 0) thì
phơng trình có nghiệm x = 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của phơng trình trùng phơng là số lẻ thì trong đó phải có
nghiệm số kép.
-7-
Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ
Dạng 2: Phơng trình dạng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + k = 0 (*) với a

0
Trong đó
2
k d
a b

=
ữ


2
22
1
2
1
x
xy
x
xy
+=+=
pt (**)

A(y
2
- 2 ) + By + C = 0
Ví dụ 2.1 Giải phơng trình sau:
4 3 2
4 6 4 1 0x x x x + + =
(1)
Giải:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (1)
Chia cả 2 vế của pt (1) cho
2
x
ta có:
2 2
2 2
4 1 1 1
(1) 4 6 0 4 6 0pt x x x x
x x x x

x
= = + + = = =
Vậy phơng trình có nghiệm là x= 1.
Ví dụ 2.2: Giải phơng trình 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (2) nên chia cả hai vế cho
x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng:
2x
3
+ 3x - 16 +
0
23
2
=+
x
x



016
1
3

2
1
2
2
2
=+
t
x
x
Phơng trình (2)

2
( )
01632
2
=+
tt
02032
2
=+
tt
Giải phơng trình:
02032
2
=+
tt
Ta đợc
1
3 13
4

=++
xx
Ta đợc: x
1
=-2+
;3
x
2
=-2-
;3
(Thoả mãn x
0

)
-Với
5,2
=
t
ta có
5,2
1
=+
x
x
(x
0

)
015,2
2


= + Nhận xét:
+ Giải phơng trình đối xứng: bằng phép biến đổi tơng đơng và đổi biến đa về phơng
trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phơng trình đối xứng ban
đầu.
+ Về số nghiệm của phơng trình đối xứng:
- Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

phơng trình đầu vô nghiệm.
- Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t
1
, t
2
nhng các phơng trình
1
t
bx
d
x
=+
;
2
t
bx
d
x
=+

Biến đổi vế trái: x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3 = x
4
+ 6x
3
+ 9x
2
- 12x +3 = (x
2
+3x)
2
- 4(x
2
+3x) +3
Phơng trình (3) trở thành: (x
2
+3x)
2
- 4(x
2
+3x) + 3 = 0. Đặt x
2
+3x = t
Thay vào (x
2

+3x=3

x
2
+3x-3=0
Giải ra ta đợc: x
3,4
=
2
213

Vậy phơng trình (3) có 4 nghiệm : S =






++
2
213
;
2
213
;
2
133
;
2
133

+(a+d)x+ad
Do a + d = b + c nên ta đặt x
2
+(a+d)x + k = t.
Khi đó, ta sẽ đa đợc phơng trình về dạng: At
2
+Bt +C =0
Giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của t (khi phơng trình có nghiệm).
Giải tiếp phơng trình: x
2
+(a+d)x+ad = t ta sẽ có kết luận về nghiệm của phơng trình
ban đầu.
Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đơng nhiên phơng trình ban
đầu vô nghiệm.
Ví dụ 3.1: Giải phơng trình:
( 1)( 2)( 3)( 4) 3x x x x+ + + + =
(1)
Giải
pt (1)
2 2
( 5 4)( 5 6) 3x x x x + + + + =
(1')
Đặt
2
5 4y x x= + +

pt (1')


2

Biến đổi phơng trình (2) ta đợc:
[ ][ ]
19)2)(7()4)(1(
=+++
xxxx
19)145)(45(
22
=+++
xxxx
(2')
Đặt x
2
+ 5x - 14 = t

x
2
+5x+4 = t+18
-10-
Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ
Thay vào phơng trình (2') có: t (18+t) = 19

t
2
+ 18t - 19 = 0
Do 1 + 18 - 19 = 0 nên t
1
=1; t
2
= -19
+) Với t =1 thay vào x

55
+
x
3
=
2
55

Vậy phơng trình(2) có 4 nghiệm đơn:S=






++
2
55
;
2
55
;
2
855
;
2
855
*) Đối với phơng trình dạng:
mxcxbxaxd
=+++

đầy đủ dẫn đến ta sẽ khó giải bởi THCS cha học. Bằng việc nhóm hợp lý 2 đôi hệ số,
khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đa đợc về phơng trình bậc hai trung gian.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

phơng trình ban đầu vô nghiệm.
+ Khi giải phơng trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm đợc giá trị ta trả biến
và giải phơng trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phơng trình này (nếu có) là
nghiệm của phơng trình đầu.
Bài tập áp dụng: Giải phơng trình:
1)
8)3)(2)(1(
=+++
xxxx
2)
024)4)(3)(1)(2(
=+++
xxxx
3)
2
3)12)(10)(6)(5.(4 xxxxx
=++++
4)
xxxx .8)7)(6)(5(3
=+++
Dạng 4: Phơng trình dạng
cbxax
=+++
44
)()(
(*)