Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Ph ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
+ +
+ +
+ +
+ + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
II- Ph ơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu
của hai bình phơng: A
2
B

+
+ + +
+ + + + + +

2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1 x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
+
+ + + + +
+ + + +
+ + + + + +
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
III- Ph ơng pháp đổi biến
Các bài toán
Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử

5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + +
, vi 2m = a+ b + c.
B i 2: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b

4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +
Chuyờn 2: Xác định đa thức
* nh lớ Beout (BờZu) v ng dng:
1) nh lớ BờZu:
D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x - a bng f(a) (giỏ tr ca
f(x) ti x = a):
)()()()( afxqaxxf
+=
(Beout, 1730 - 1783, nh toỏn hc Phỏp)
H qu: Nu a l nghim ca a thc f(x) thỡ f(x) chia ht cho x - a.
p dng: nh lớ BờZu cú th dựng phõn tớch mt a thc thnh nhõn t.

*Phng phỏp2: Cho hai a thc P(x) v Q(x) tha món deg P(x) > deg
Q(x)
Gi thng v d trong phộp chia P(x) cho Q(x) ln lt l M(x) v N(x)
Khi ú ta cú:
)()().()( xNxMxQxP
+=
(Trong ú: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vỡ ng thc (I) ỳng vi mi x nờn ta cho x ly mt giỏ tr bt kỡ :

=
x
(

l hng s). Sau ú ta i gii phng trỡnh hoc h phng trỡnh tỡm
cỏc h s ca cỏc hng t trong cỏc a thc ( a thc thng, a thc chia,
a thc b chia, s d).
Vớ d: Bi 1(Phn bi tp ỏp dng)
Gi thng ca phộp chia A(x) cho x + 1 l Q(x), ta cú:
)().1(263
232
xQxaxaxxa
+=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++

2x dx+ +
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx
+++
2
23
chia hết cho đa
thức:
1
2
++
xx
. Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf
+++=
234
219)(
chia hết cho đa
thức:
2)(
2
=
xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++=
kkkf

2376)(
234
+++=
xaxxxxQ

chia ht cho a thc
bxxxM
+=
2
)(
.
c) Xỏc nh a, b
axxxxP
++=
85)(
23
chia ht cho
bxxxM
++=
2
)(
.
Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
=+