GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
Phần I: Phần mở đầu
I. lý do chọn đề tài.
- Phơng trình bậc hai một ẩn là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong chơng
trình toán 9, đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm đợc một số cách giải và công thức nghiệm của
phơng trình bậc hai để giải phơng trình bậc hai một ẩn một cách nhanh chóng và chính xác.
- Đối với những học sinh có học lực trung bình thì việc áp dụng phơng công thức
nghiệm của phơng trình bậc hai để giải các phơng trình bậc hai có hệ số là các số nguyên có
thể là đơn giản, nhng đối với những phơng trình bậc hai có hệ số là phân số hoặc có hệ số vô
tỉ thì việc giải các phơng trình này trở nên khó khăn, dễ gây nhầm lẫn cho học sinh khi giải.
- Khi làm việc trên những phơng trình bậc hai chứa tham số học sinh thờng lúng túng
trong việc tìm lời giải, hoặc thờng mắc phải những sai lầm khi biện luận về nghiệm của ph-
ơng trình, với những bài toán biện luận về sự tồn tại nghiệm của phơng trình học sinh lại cha
nắm đợc phơng pháp chung để giải.
- Việc nắm vững công thức nghiệm của phơng trình bậc hai có thể giúp học sinh vận
dụng vào những phơng trình chứa tham số để biện luận số nghiệm của phơng trình theo tham
số hoặc tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm, phơng trình có một nghiệm,
phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
- Giải phơng trình bậc hai lại là cơ sở cho nhiều kiến thức rất đa dạng sau này nh áp
dụng hệ thức Viét vào phơng trình bậc hai, giả bài toán bằng cách lập phơng trình, áp dụng
phơng trình bậc hai để giải một số phơng trình quy về bậc hai, giải hệ phơng trình đa về ph-
ơng trình bậc hai, giải bài toàn bằng cách lập phơng trình,.............
- Với những lý do trên đây tôi xin đa ra chuyên đề Ph ơng trình bậc hai để khắc
phục một số khó khăn mà học sinh thờng mắc phải ở trên đồng thời với chuyên đề này tôi hy
vọng sẽ cung cấp cho học sinh và các độc giả một hệ thống khiến thức khá đầy đủ vè phơng
pháp giải phơng trình bậc hai và một số kiến thức có liên quan.
II. Phạm vi, đối tợng, mục đích của đề tài.
1. Phạm vi nghên cứu của đề tài:
1
GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
- Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn.

III. Tài liệu tham khảo:
- SGK toán 9 (tập 2)
- SBT toán 9 (tập 2)
- Để học tốt toán 9 (tập 2). Nhà xuất bản Hà Nội
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 . Nhà xuất bản giáo dục
- Lời giải môn toán kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 . Nhà xuất bản Đại học quốc gia thành
phố Hồ Chí Minh.
- 30 bộ đề ôn tập toán 9. Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh.
Phần II. Nội dung nghiên cứu của đề tài
I.Định nghĩa ph ơng trình bậc hai:
Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số
cho trớc, còn gọi là các hệ số và a

0.
3
GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
VD: 2x
2
3x + 5 = 0
-x
2
+ 4 = 0 (còn đợc gọi là phơng trình bậc 2 một ẩn khuyết hệ số b)
5x
2
+ 2x = 0 (còn đợc gọi là phơng trình bậc hai một ẩn khuyết hệ số c)
-3x
2
= 0 (còn đợc gọi là phơng trình bậc hai một ẩn khuyết cả hệ số b và hệ số c)

>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
a
b
x
2
;
2
21

=
+
=
- Lu ý: Nếu b = 2b ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
'

= b
2
ac
1. Nếu
'

< 0 phơng trình vô nghiệm
2. Nếu
'

= 0 phơng trình có nghiệm kép:

2
=
a
c
+ Nếu a b + c = 0 phơng trình có nghiệm x
1
= -1; x
2
=
a
c

Phơng pháp 5: Ngoài ra ta có thể sử dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm của phơng trình
trong trờng hợp có thể.
Nếu phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:







==

=+=
a

Ta có:
416124)3(1.42
2
==+==
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3
2
42
,1
2
42
21
=

==
+
=
xx
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
= 1 , x
2
= -3
Cách 3: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
Ta có:
2431)3(11'
2
==+==

phơng trình có hai nghiệm phân biệt


=+=+=+=+
3
1
03
01
0)3)(1(0)1(3)1(033032
22
x
x
x
x
xxxxxxxxxx
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= -3
Cách 5: Sử dụng phơng pháp biến đổi A
2
= m



=
=





21
xx
xx

Hai số 1; -3 thoả mãn hệ thức trên
vậyphơng trình có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
= -3
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
- 6x
2
+ 7x 2 = 0
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát:
Ta có:
114849)2)(6.(47
2
====
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3
2
12
17
,
2
1
12
17

====
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
2
1
12
17
,
3
2
12
17
21
=

==
+
=
xx
Vạy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
3
2
,
2
1
21
==
xx
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
035
3

==

=
xx
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
=
4
3
; x
2
= 3
Cách 2: Biến đổi rồi sử dụng công thức nghiệm:
(Nhận xét: Để phơng trình với hệ số là phân số thì khi tính toán biệt số

sẽ gặp phải khó
khăn khi thực hiện các phép tính. Để dẽ dàng hơn ta có thể đa phơng trình về phơng trình
có hệ số nguyên)
Nhân hai vế của phơng trình với 3 ta đợc:
09154035
3
4
22
=+=+
xxxx
Ta có:
9811442259.4.4)15(
2
====
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt

3327243)2.12.(23'
2
==+==
> 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm: x
1
=
62
2
34
2
333
==
+
; x
2
=
6
2
32
2
333
=

=

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
=
62

+
; x
2
=
6
2
62
2
636
=

=

Ví dụ 5:
Giải phơng trình:
02)12(
12
1
2
=+

xx
Giải:
Cách 1: Thực hiện quy đồng mẫu số phơng trình có dạng:
0222)223(
0)12.(2)12(
2
22
=++
=+

xx
Nhận xét: Các hệ số của phơng trình: a b + c =
02)12()12(
=+
phơng trình có hai nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
222
12
2
+=
+
Chú ý: Đối với những phơng trình khi sử dụng công thức nghiệm để giải việc tính biệt số


khó khăn ta có thể sử dụng một số các phơng pháp khác để giải:
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
022)22()
2
=++
xxa
06
23
1
)
2
=+


;
2
2
)22(22
2
=
+
=
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
= 2 ; x
2
=
2
Cách 2: Phan tích thành nhân tử:



=
=




=
=

==
=+=++

xxxx
7
GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
Phơng trình có hai nghiệm:
3
2
)23()23(
;2
2
)23()23(
21
=
+
==
++
=
xx
Vậy phơng trình có hai nghiện x
1
= -
2
; x
2
= -
3
Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Thực hiện nhân với biểu thức liên hợp ta đợc:




; x
2
= -
3
c) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
Ta có:
1242523.2.4)5(
2
===
Phơng trình có hai nghiệm:
2
22
15
;
2
3
22
15
21
=

==
+
=
xx
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x
1
=
2
3

x
x
x
x
xxxxx
xxxxx
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x
1
=
2
3
; x
2
=
2
d) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
Ta có:
3223)3223()23).(32.(2)23()32(
612)23()32(624612)23()32(24.6)2332('
222
22222
==+
+=++=+=
Phơng trình có hai nghiệm:
2
2
4
6
34
6

2

Cách 2: Phân tích thành nhân tử:




=
=








=

=





+
=+

=++=+++
=+++=+++

Bài 1: Giải các phơng trình:
a) 4x
2
6x + 7 = 0
b) 9x
2
6x + 26 = 0
8
GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
c) x
2
+ 4x 12 = 0
d) x
2
+ 8x 10 = 0
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
0
2
1
2
1
)
2
=
xxa
01
6
1
3
1

4
15
35
1
2
1
)
2
=+

+
xxb
012385)
2
=
xxc
01)25(6)
2
=++
xxd
Dạng bài 2: Điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai:
Ph ơng pháp:
Với phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0(a

0)
Tìm điều kiện của tham số sao cho:
Dạng 1: Phơng trình vô nghiệm: Điều kiện là:
0

0'
>
.
Tóm lại ta có điều kiện:



>

0
0a
hoặc



>

0'
0a
2. Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm kép bao gồm:
- Điều kiện để phơng trình là một phơng trình bậc hai, tơng ứng với a
0

- Điều kiện để phơng trình bậc hai có ghiệm kép tơng ứng với
0
=
hoặc
0'
=
Tóm lại ta có điều kiện: